Upang ilagay ito nang simple at maikli, ang saklaw ay ang mga halaga na maaaring makuha ng anumang function. Upang ganap na tuklasin ang paksang ito, kailangan mong unti-unting i-disassemble ang mga sumusunod na punto at konsepto. Una, unawain natin ang kahulugan ng function at ang kasaysayan ng hitsura nito.
Ano ang function
Lahat ng eksaktong agham ay nagbibigay sa amin ng maraming halimbawa kung saan ang mga variable na pinag-uusapan ay nakadepende sa ilang paraan sa isa't isa. Halimbawa, ang density ng isang sangkap ay ganap na tinutukoy ng masa at dami nito. Ang presyon ng isang perpektong gas sa pare-pareho ang dami ay nag-iiba sa temperatura. Ang mga halimbawang ito ay pinag-isa ng katotohanang ang lahat ng mga formula ay may mga dependency sa pagitan ng mga variable, na tinatawag na functional.
Ang function ay isang konsepto na nagpapahayag ng pagdepende ng isang dami sa isa pa. Mayroon itong anyo na y=f(x), kung saan ang y ay ang halaga ng function, na nakadepende sa x - ang argumento. Kaya, maaari nating sabihin na ang y ay isang variable na nakasalalay sa halaga ng x. Ang mga halaga na maaaring pagsamahin ng x ayang domain ng ibinigay na function (D(y) o D(f)), at naaayon, ang mga halaga ng y ay bumubuo sa hanay ng mga halaga ng function (E(f) o E(y)). May mga kaso kapag ang isang function ay ibinigay ng ilang formula. Sa kasong ito, ang domain ng kahulugan ay binubuo ng halaga ng naturang mga variable, kung saan ang notation na may formula ay may katuturan.
May mga tugma o pantay na feature. Ito ang dalawang function na may pantay na hanay ng mga wastong value, gayundin ang mga value ng mismong function ay pantay para sa lahat ng parehong argumento.
Maraming batas ng mga eksaktong agham ang pinangalanang katulad ng mga sitwasyon sa totoong buhay. Mayroong isang kawili-wiling katotohanan din tungkol sa pag-andar ng matematika. Mayroong teorama tungkol sa limitasyon ng isang function na "na-sandwich" sa pagitan ng dalawang iba na may parehong limitasyon - tungkol sa dalawang pulis. Ipinaliwanag nila ito sa ganitong paraan: dahil dinadala ng dalawang pulis ang isang bilanggo sa isang selda sa pagitan nila, napilitan ang kriminal na pumunta doon, at wala siyang pagpipilian.
Sanggunian sa makasaysayang feature
Ang konsepto ng isang function ay hindi agad naging pinal at tumpak, ito ay dumaan sa mahabang paraan upang maging. Una, ang Fermat's Introduction and Study of Plane and Solid Places, na inilathala noong huling bahagi ng ika-17 siglo, ay nagsabi ng sumusunod:
Sa tuwing may dalawang hindi alam sa huling equation, mayroong puwang.
Sa pangkalahatan, binabanggit ng gawaing ito ang functional dependence at ang materyal na imahe nito (lugar=linya).
Gayundin, sa parehong panahon, pinag-aralan ni Rene Descartes ang mga linya ayon sa kanilang mga equation sa kanyang akdang "Geometry" (1637), kung saan muli ang katotohananpag-asa ng dalawang dami sa isa't isa.
Ang mismong pagbanggit ng terminong "function" ay lumitaw lamang sa pagtatapos ng ika-17 siglo kasama si Leibniz, ngunit hindi sa modernong interpretasyon nito. Sa kanyang siyentipikong gawain, itinuring niya na ang isang function ay iba't ibang mga segment na nauugnay sa isang hubog na linya.
Ngunit noong ika-18 siglo na, nagsimulang matukoy nang mas tama ang function. Isinulat ni Bernoulli ang sumusunod:
Ang function ay isang value na binubuo ng variable at constant.
Ang mga iniisip ni Euler ay malapit din dito:
Ang variable na quantity function ay isang analytic expression na binubuo sa ilang paraan ng variable na dami at mga numero o pare-parehong dami.
Kapag ang ilang mga dami ay umaasa sa iba sa paraang kapag ang huli ay nagbago, sila mismo ay nagbabago, kung gayon ang una ay tinatawag na mga function ng huli.
Function Graph
Ang graph ng function ay binubuo ng lahat ng mga punto na kabilang sa mga axes ng coordinate plane, ang mga abscissas na kumukuha ng mga value ng argumento, at ang mga value ng function sa mga puntong ito ay mga ordinates.
Ang saklaw ng isang function ay direktang nauugnay sa graph nito, dahil kung ang anumang abscissas ay ibinukod ng hanay ng mga wastong value, kailangan mong gumuhit ng mga walang laman na punto sa graph o iguhit ang graph sa loob ng ilang partikular na limitasyon. Halimbawa, kung ang isang graph ng form na y=tgx ay kinuha, pagkatapos ay ang halaga x=pi / 2 + pin, n∉R ay hindi kasama sa lugar ng kahulugan, sa kaso ng isang tangent graph, kailangan mong gumuhitpatayong mga linyang kahanay ng y-axis (tinatawag silang asymptotes) na dumadaan sa mga puntong ±pi/2.
Anumang masusing at maingat na pag-aaral ng mga function ay bumubuo ng isang malaking sangay ng matematika na tinatawag na calculus. Sa elementarya mathematics, ang mga tanong sa elementarya tungkol sa mga function ay tinatalakay din, halimbawa, pagbuo ng isang simpleng graph at pagtatatag ng ilang pangunahing katangian ng isang function.
Anong function ang maaaring itakda sa
Maaaring:
- maging isang formula, halimbawa: y=cos x;
- itinakda ng anumang talahanayan ng mga pares ng form (x; y);
- kaagad na magkaroon ng graphical na view, para dito ang mga pares mula sa nakaraang item ng form (x; y) ay dapat na ipakita sa mga coordinate axes.
Mag-ingat sa paglutas ng ilang problema sa mataas na antas, halos anumang expression ay maaaring ituring bilang isang function na may kinalaman sa ilang argumento para sa halaga ng function na y (x). Ang paghahanap ng domain ng kahulugan sa mga ganitong gawain ay maaaring maging susi sa solusyon.
Para saan ang saklaw?
Ang unang bagay na kailangan mong malaman tungkol sa isang function upang mapag-aralan o mabuo ito ay ang saklaw nito. Ang graph ay dapat maglaman lamang ng mga punto kung saan maaaring umiral ang function. Ang domain ng kahulugan (x) ay maaari ding tukuyin bilang domain ng mga katanggap-tanggap na halaga (dinaglat bilang ODZ).
Para tama at mabilis na makabuo ng graph ng mga function, kailangan mong malaman ang domain ng function na ito, dahil ang hitsura ng graph at fidelity ay nakasalalay ditopagtatayo. Halimbawa, upang bumuo ng isang function na y=√x, kailangan mong malaman na ang x ay maaari lamang kumuha ng mga positibong halaga. Samakatuwid, ito ay binuo lamang sa unang coordinate quadrant.
Saklaw ng kahulugan sa halimbawa ng mga elementary function
Sa arsenal nito, ang matematika ay may maliit na bilang ng mga simple at tinukoy na function. Mayroon silang limitadong saklaw. Ang solusyon sa isyung ito ay hindi magdudulot ng mga paghihirap kahit na mayroon kang tinatawag na kumplikadong pag-andar sa harap mo. Ito ay kumbinasyon lamang ng ilang simple.
- Kaya, ang function ay maaaring fractional, halimbawa: f(x)=1/x. Kaya, ang variable (aming argumento) ay nasa denominator, at alam ng lahat na ang denominator ng isang fraction ay hindi maaaring katumbas ng 0, samakatuwid, ang argumento ay maaaring tumagal ng anumang halaga maliban sa 0. Ang notasyon ay magiging ganito: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Kung mayroong ilang mga expression na may isang variable sa denominator, pagkatapos ay kailangan mong lutasin ang equation para sa x at ibukod ang mga halaga na i-on ang denominator sa 0. Para sa isang eskematiko na representasyon, 5 mahusay na napiling mga puntos ay sapat na. Ang graph ng function na ito ay magiging hyperbola na may patayong asymptote na dumadaan sa punto (0; 0) at, sa kumbinasyon, ang Ox at Oy axes. Kung ang graphic na larawan ay bumalandra sa mga asymptotes, ang ganitong error ay ituturing na pinakamalubha.
- Ngunit ano ang domain ng ugat? Ang domain ng isang function na may isang radikal na expression (f(x)=√(2x + 5)), na naglalaman ng isang variable, ay mayroon ding sariling mga nuances (nalalapat lamang sa root ng isang even degree). Bilangang arithmetic root ay isang positibong expression o katumbas ng 0, kung gayon ang root expression ay dapat na mas malaki kaysa sa o katumbas ng 0, malulutas namin ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, samakatuwid, ang domain nito function: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Ang graph ay isa sa mga sangay ng isang parabola, na iniikot ng 90 degrees, na matatagpuan sa unang coordinate quadrant.
- Kung tayo ay nakikitungo sa isang logarithmic function, dapat mong tandaan na mayroong isang paghihigpit tungkol sa base ng logarithm at ang expression sa ilalim ng sign ng logarithm, sa kasong ito maaari mong mahanap ang domain ng kahulugan bilang sumusunod. Mayroon kaming function: y=loga(x + 7), nilulutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay: x + 7 > 0, x > -7. Kung gayon ang domain ng function na ito ay D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Bigyang-pansin din ang mga trigonometric function ng form na y=tgx at y=ctgx, dahil y=tgx=sinx/cos/x at y=ctgx=cosx/sinx, samakatuwid, kailangan mong ibukod ang mga halaga kung saan ang denominator ay maaaring katumbas ng zero. Kung pamilyar ka sa mga graph ng trigonometric function, ang pag-unawa sa kanilang domain ay isang simpleng gawain.
Paano naiiba ang pagtatrabaho sa mga kumplikadong function
Tandaan ang ilang pangunahing panuntunan. Kung nagtatrabaho tayo sa isang kumplikadong function, hindi na kailangang lutasin ang isang bagay, pasimplehin, magdagdag ng mga fraction, bawasan sa pinakamababang karaniwang denominator at kunin ang mga ugat. Dapat nating imbestigahan ang function na ito dahil maaaring baguhin ng iba't ibang (kahit magkapareho) na mga operasyon ang saklaw ng function, na magreresulta sa isang maling sagot.
Halimbawa, mayroon tayong kumplikadong function: y=(x2 - 4)/(x - 2). Hindi natin maaaring bawasan ang numerator at denominator ng fraction, dahil posible lamang ito kung x ≠ 2, at ito ang gawain ng paghahanap ng domain ng function, kaya hindi natin isasaalang-alang ang numerator at hindi malulutas ang anumang hindi pagkakapantay-pantay, dahil ang halaga kung saan wala ang function, nakikita ng mata. Sa kasong ito, hindi makukuha ng x ang value na 2, dahil hindi mapupunta sa 0 ang denominator, magiging ganito ang notasyon: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Reciprocal functions
Para sa mga panimula, sulit na sabihin na ang isang function ay maaari lamang maging reversible sa pagitan ng pagtaas o pagbaba. Upang mahanap ang inverse function, kailangan mong palitan ang x at y sa notation at lutasin ang equation para sa x. Binabaliktad lang ang mga domain ng kahulugan at mga domain ng halaga.
Ang pangunahing kundisyon para sa reversibility ay isang monotone interval ng isang function, kung ang isang function ay may mga pagitan ng pagtaas at pagbaba, pagkatapos ay posibleng buuin ang inverse function ng anumang isang interval (tumataas o bumababa).
Halimbawa, para sa exponential function na y=exang reciprocal ay ang natural na logarithmic function na y=logea=lna. Para sa trigonometriko, ito ay magiging mga function na may prefix na arc-: y=sinx at y=arcsinx at iba pa. Ilalagay ang mga graph nang simetriko kaugnay ng ilang axes o asymptotes.
Mga Konklusyon
Ang paghahanap para sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ay bumababa sa pagsusuri sa graph ng mga function (kung mayroon man),pagtatala at paglutas ng kinakailangang tiyak na sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay.
Kaya, nakatulong sa iyo ang artikulong ito na maunawaan kung para saan ang saklaw ng isang function at kung paano ito mahahanap. Umaasa kami na makakatulong ito sa iyo na maunawaan nang mabuti ang pangunahing kurso sa paaralan.
