Ang
Fourier transform ay isang pagbabagong naghahambing sa mga function ng ilang totoong variable. Isinasagawa ang operasyong ito sa tuwing nakakakita tayo ng iba't ibang tunog. Ang tainga ay gumaganap ng isang awtomatikong "pagkalkula", na ang ating kamalayan ay may kakayahang gumanap lamang pagkatapos pag-aralan ang kaukulang seksyon ng mas mataas na matematika. Ang organ ng pandinig ng tao ay bumubuo ng isang pagbabagong-anyo, bilang isang resulta kung saan ang tunog (oscillatory motion ng mga conditional na particle sa isang nababanat na daluyan na nagpapalaganap sa anyo ng alon sa isang solid, likido o gas na daluyan) ay ibinibigay sa anyo ng isang spectrum ng sunud-sunod na mga halaga ng antas ng lakas ng tunog ng mga tono ng iba't ibang taas. Pagkatapos nito, gagawin ng utak ang impormasyong ito sa isang tunog na pamilyar sa lahat.
Mathematical Fourier Transform
Transformation ng sound waves o iba pang oscillatory na proseso (mula sa light radiation at ocean tide hanggang sa mga cycle ng stellar o solar activity) ay maaari ding isagawa gamit ang mathematical method. Kaya, gamit ang mga diskarteng ito, posible na mabulok ang mga function sa pamamagitan ng pagrepresenta ng mga oscillatory na proseso bilang isang hanay ng mga sinusoidal na bahagi, iyon ay, mga kulot na kurba napumunta mula sa mababa hanggang sa mataas, pagkatapos ay bumalik sa mababang, tulad ng isang alon sa dagat. Fourier transform - isang pagbabagong-anyo na ang function ay naglalarawan sa phase o amplitude ng bawat sinusoid na naaayon sa isang tiyak na frequency. Ang phase ay ang panimulang punto ng curve, at ang amplitude ay ang taas nito.
Ang Fourier transform (mga halimbawa ay ipinapakita sa larawan) ay isang napakalakas na tool na ginagamit sa iba't ibang larangan ng agham. Sa ilang mga kaso, ginagamit ito bilang isang paraan ng paglutas ng medyo kumplikadong mga equation na naglalarawan ng mga dinamikong proseso na nangyayari sa ilalim ng impluwensya ng liwanag, thermal o elektrikal na enerhiya. Sa ibang mga kaso, binibigyang-daan ka nitong tukuyin ang mga regular na bahagi sa mga kumplikadong oscillatory signal, kung saan maaari mong bigyang-kahulugan nang tama ang iba't ibang mga eksperimentong obserbasyon sa kimika, medisina at astronomiya.
Makasaysayang background
Ang unang taong naglapat ng paraang ito ay ang French mathematician na si Jean Baptiste Fourier. Ang pagbabagong-anyo, na kalaunan ay pinangalanan sa kanya, ay orihinal na ginamit upang ilarawan ang mekanismo ng pagpapadaloy ng init. Ginugol ni Fourier ang kanyang buong pang-adultong buhay sa pag-aaral ng mga katangian ng init. Gumawa siya ng malaking kontribusyon sa matematikal na teorya ng pagtukoy sa mga ugat ng algebraic equation. Si Fourier ay isang propesor ng pagsusuri sa Polytechnic School, kalihim ng Institute of Egyptology, ay nasa serbisyo ng imperyal, kung saan nakilala niya ang kanyang sarili sa panahon ng pagtatayo ng kalsada patungo sa Turin (sa ilalim ng kanyang pamumuno, higit sa 80 libong kilometro kuwadrado ng malarialmga latian). Gayunpaman, ang lahat ng masiglang aktibidad na ito ay hindi pumigil sa siyentipiko mula sa paggawa ng mathematical analysis. Noong 1802, nakuha niya ang isang equation na naglalarawan sa pagpapalaganap ng init sa mga solido. Noong 1807, natuklasan ng scientist ang isang paraan para sa paglutas ng equation na ito, na tinawag na "Fourier transform".
Thermal Conductivity Analysis
Nag-apply ang scientist ng mathematical method para ilarawan ang mekanismo ng heat conduction. Ang isang maginhawang halimbawa, kung saan walang mga paghihirap sa pagkalkula, ay ang pagpapalaganap ng thermal energy sa pamamagitan ng isang bakal na singsing na nahuhulog sa isang bahagi sa isang apoy. Upang magsagawa ng mga eksperimento, pinainit ni Fourier ang isang bahagi ng singsing na ito na sobrang init at ibinaon ito sa pinong buhangin. Pagkatapos nito, kumuha siya ng mga sukat ng temperatura sa kabaligtaran nito. Sa una, ang pamamahagi ng init ay hindi regular: ang bahagi ng singsing ay malamig at ang isa ay mainit; ang isang matalim na gradient ng temperatura ay maaaring maobserbahan sa pagitan ng mga zone na ito. Gayunpaman, sa proseso ng pagpapalaganap ng init sa buong ibabaw ng metal, ito ay nagiging mas pare-pareho. Kaya, sa lalong madaling panahon ang prosesong ito ay tumatagal ng anyo ng isang sinusoid. Sa una, ang graph ay maayos na tumataas at bumababa rin nang maayos, eksakto ayon sa mga batas ng pagbabago ng cosine o sine function. Unti-unting bumababa ang alon at bilang resulta, nagiging pareho ang temperatura sa buong ibabaw ng ring.
Iminungkahi ng may-akda ng paraang ito na ang paunang hindi regular na pamamahagi ay maaaring mabulok sa isang bilang ng mga elementarya na sinusoid. Ang bawat isa sa kanila ay magkakaroon ng sarili nitong yugto (paunang posisyon) at sarili nitong temperaturamaximum. Bukod dito, ang bawat naturang bahagi ay nagbabago mula sa pinakamababa hanggang sa maximum at pabalik sa isang kumpletong pag-ikot sa paligid ng singsing nang isang integer na bilang ng beses. Ang isang bahagi na may isang panahon ay tinatawag na pangunahing harmonic, at isang halaga na may dalawa o higit pang mga panahon ay tinatawag na pangalawa, at iba pa. Kaya, ang mathematical function na naglalarawan sa maximum na temperatura, phase o posisyon ay tinatawag na Fourier transform ng distribution function. Binawasan ng scientist ang isang bahagi, na mahirap ilarawan nang mathematically, sa isang madaling gamitin na tool - ang cosine at sine series, na buod upang ibigay ang orihinal na pamamahagi.
Ang esensya ng pagsusuri
Paglalapat ng pagsusuring ito sa pagbabago ng pagpapalaganap ng init sa pamamagitan ng isang solidong bagay na may annular na hugis, nangatuwiran ang mathematician na ang pagtaas ng mga tagal ng sinusoidal component ay hahantong sa mabilis na pagkabulok nito. Ito ay malinaw na nakikita sa pangunahing at pangalawang harmonika. Sa huli, ang temperatura ay umabot sa maximum at minimum na mga halaga ng dalawang beses sa isang pass, at sa una, isang beses lamang. Ito ay lumiliko na ang distansya na sakop ng init sa pangalawang harmonic ay magiging kalahati ng sa pundamental. Bilang karagdagan, ang gradient sa pangalawa ay magiging dalawang beses na mas matarik kaysa sa una. Samakatuwid, dahil ang mas matinding daloy ng init ay naglalakbay nang dalawang beses na mas maikli, ang harmonic na ito ay mabubulok ng apat na beses na mas mabilis kaysa sa pangunahing bilang isang function ng oras. Sa hinaharap, ang prosesong ito ay magiging mas mabilis. Naniniwala ang mathematician na binibigyang-daan ka ng paraang ito na kalkulahin ang proseso ng paunang pamamahagi ng temperatura sa paglipas ng panahon.
Hamon sa mga kontemporaryo
Hinamon ng Fourier transform algorithm ang mga teoretikal na pundasyon ng matematika noong panahong iyon. Sa simula ng ikalabinsiyam na siglo, karamihan sa mga kilalang siyentipiko, kabilang ang Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre at Biot, ay hindi tinanggap ang kanyang pahayag na ang paunang pamamahagi ng temperatura ay nabubulok sa mga bahagi sa anyo ng isang pangunahing harmonic at mas mataas na mga frequency. Gayunpaman, hindi maaaring balewalain ng Academy of Sciences ang mga resulta na nakuha ng mathematician, at iginawad sa kanya ang isang premyo para sa teorya ng mga batas ng pagpapadaloy ng init, pati na rin ang paghahambing nito sa mga pisikal na eksperimento. Sa diskarte ni Fourier, ang pangunahing pagtutol ay ang katotohanan na ang discontinuous function ay kinakatawan ng kabuuan ng ilang sinusoidal function na tuluy-tuloy. Pagkatapos ng lahat, inilalarawan nila ang mga punit-punit na tuwid at mga hubog na linya. Ang mga kontemporaryo ng siyentipiko ay hindi kailanman nakatagpo ng isang katulad na sitwasyon, kapag ang mga hindi tuluy-tuloy na pag-andar ay inilarawan sa pamamagitan ng isang kumbinasyon ng mga tuluy-tuloy, tulad ng quadratic, linear, sinusoid o exponential. Kung sakaling tama ang mathematician sa kanyang mga pahayag, kung gayon ang kabuuan ng isang walang katapusang serye ng isang trigonometriko function ay dapat na bawasan sa isang eksaktong hakbang-hakbang. Noong panahong iyon, tila walang katotohanan ang naturang pahayag. Gayunpaman, sa kabila ng mga pagdududa, ang ilang mga mananaliksik (hal. Claude Navier, Sophie Germain) ay pinalawak ang saklaw ng pananaliksik at kinuha ang mga ito nang higit pa sa pagsusuri ng pamamahagi ng thermal energy. Samantala, patuloy na nahihirapan ang mga mathematician sa tanong kung ang kabuuan ng ilang sinusoidal function ay maaaring bawasan sa isang eksaktong representasyon ng isang hindi tuloy-tuloy.
200 taong gulangkasaysayan
Ang teoryang ito ay umunlad sa loob ng dalawang siglo, ngayon ito ay nabuo na sa wakas. Sa tulong nito, ang mga spatial o temporal na pag-andar ay nahahati sa mga bahagi ng sinusoidal, na may sariling dalas, yugto at amplitude. Ang pagbabagong ito ay nakuha sa pamamagitan ng dalawang magkaibang pamamaraan ng matematika. Ang una sa kanila ay ginagamit kapag ang orihinal na function ay tuloy-tuloy, at ang pangalawa - kapag ito ay kinakatawan ng isang hanay ng mga discrete na indibidwal na mga pagbabago. Kung ang expression ay nakuha mula sa mga halaga na tinukoy ng mga discrete interval, maaari itong nahahati sa ilang mga sinusoidal na expression na may discrete frequency - mula sa pinakamababa at pagkatapos ay dalawang beses, tatlong beses at iba pa na mas mataas kaysa sa pangunahing isa. Ang nasabing kabuuan ay tinatawag na seryeng Fourier. Kung ang paunang expression ay binibigyan ng halaga para sa bawat tunay na numero, maaari itong mabulok sa ilang sinusoidal ng lahat ng posibleng frequency. Ito ay karaniwang tinatawag na Fourier integral, at ang solusyon ay nagpapahiwatig ng integral transformations ng function. Hindi alintana kung paano nakuha ang conversion, dapat tukuyin ang dalawang numero para sa bawat frequency: amplitude at frequency. Ang mga halagang ito ay ipinahayag bilang isang kumplikadong numero. Ang teorya ng mga expression ng mga kumplikadong variable, kasama ang Fourier transform, ay naging posible upang magsagawa ng mga kalkulasyon sa disenyo ng iba't ibang mga de-koryenteng circuit, ang pagsusuri ng mga mekanikal na panginginig ng boses, ang pag-aaral ng mekanismo ng pagpapalaganap ng alon, at higit pa.
Fourier Transform Ngayon
Ngayon, ang pag-aaral ng prosesong ito ay pangunahing binabawasan sa paghahanap ng epektibomga paraan ng paglipat mula sa isang function patungo sa nabagong anyo nito at vice versa. Ang solusyon na ito ay tinatawag na direct at inverse Fourier transform. Ano ang ibig sabihin nito? Upang matukoy ang integral at makagawa ng direktang pagbabagong Fourier, maaaring gumamit ng mga pamamaraang matematikal, o mga analytical. Sa kabila ng katotohanan na ang ilang mga paghihirap ay lumitaw kapag ginagamit ang mga ito sa pagsasanay, karamihan sa mga integral ay natagpuan na at kasama sa mga librong sangguniang matematika. Maaaring gamitin ang mga numerical na pamamaraan upang kalkulahin ang mga expression na ang anyo ay batay sa pang-eksperimentong data, o mga function na ang mga integral ay hindi available sa mga talahanayan at mahirap ipakita sa analytical form.
Bago ang pagdating ng mga computer, ang mga kalkulasyon ng naturang mga pagbabago ay lubhang nakakapagod, nangangailangan sila ng manu-manong pagpapatupad ng isang malaking bilang ng mga pagpapatakbo ng aritmetika, na nakadepende sa bilang ng mga puntos na naglalarawan sa pagpapaandar ng alon. Upang mapadali ang mga kalkulasyon, ngayon ay may mga espesyal na programa na naging posible upang ipatupad ang mga bagong analytical na pamamaraan. Kaya, noong 1965, lumikha sina James Cooley at John Tukey ng software na naging kilala bilang "Fast Fourier Transform". Pinapayagan ka nitong makatipid ng oras para sa mga kalkulasyon sa pamamagitan ng pagbabawas ng bilang ng mga multiplikasyon sa pagsusuri ng curve. Ang mabilis na paraan ng pagbabago ng Fourier ay batay sa paghahati ng kurba sa isang malaking bilang ng mga pare-parehong halaga ng sample. Alinsunod dito, ang bilang ng mga multiplikasyon ay hinahati nang may parehong pagbaba sa bilang ng mga puntos.
Paglalapat ng Fourier transform
Itoginagamit ang proseso sa iba't ibang larangan ng agham: sa teorya ng numero, pisika, pagpoproseso ng signal, combinatorics, probability theory, cryptography, statistics, oceanology, optics, acoustics, geometry at iba pa. Ang mga mayamang posibilidad ng aplikasyon nito ay batay sa isang bilang ng mga kapaki-pakinabang na tampok, na tinatawag na "Fourier transform properties". Isipin sila.
1. Ang pagbabago ng function ay isang linear operator at, na may naaangkop na normalisasyon, ay unitary. Ang ari-arian na ito ay kilala bilang Parseval's theorem, o sa pangkalahatan ang Plancherel theorem, o Pontryagin's dualism.
2. Ang pagbabago ay nababaligtad. Bukod dito, ang kabaligtaran na resulta ay may halos kaparehong anyo tulad ng sa direktang solusyon.
3. Sinusoidal base expression ay sariling differentiated function. Nangangahulugan ito na ang gayong representasyon ay nagbabago ng mga linear na equation na may pare-parehong coefficient sa mga ordinaryong algebraic.
4. Ayon sa "convolution" theorem, ginagawa ng prosesong ito ang isang kumplikadong operasyon sa elementary multiplication.
5. Ang discrete Fourier transform ay maaaring mabilis na kalkulahin sa isang computer gamit ang "mabilis" na paraan.
Mga Varieties ng Fourier transform
1. Kadalasan, ang terminong ito ay ginagamit upang tukuyin ang isang tuluy-tuloy na pagbabagong-anyo na nagbibigay ng anumang square-integrable na expression bilang isang kabuuan ng mga kumplikadong exponential expression na may mga tiyak na angular na frequency at amplitude. Ang species na ito ay may ilang iba't ibang anyo, na maaarinaiiba sa pamamagitan ng pare-parehong coefficient. Kasama sa tuloy-tuloy na paraan ang isang talahanayan ng conversion, na makikita sa mga sangguniang aklat sa matematika. Ang isang pangkalahatang kaso ay isang fractional na pagbabago, kung saan ang ibinigay na proseso ay maaaring itaas sa kinakailangang tunay na kapangyarihan.
2. Ang tuloy-tuloy na mode ay isang generalization ng maagang pamamaraan ng Fourier series na tinukoy para sa iba't ibang periodic function o expression na umiiral sa isang limitadong lugar at kumakatawan sa mga ito bilang serye ng sinusoids.
3. Discrete na pagbabagong Fourier. Ang pamamaraang ito ay ginagamit sa teknolohiya ng computer para sa mga siyentipikong kalkulasyon at para sa pagproseso ng digital na signal. Upang maisakatuparan ang ganitong uri ng pagkalkula, kinakailangan na magkaroon ng mga function na tumutukoy sa mga indibidwal na punto, panaka-nakang lugar o may hangganan sa isang discrete set sa halip na tuluy-tuloy na Fourier integral. Ang pagbabagong-anyo ng signal sa kasong ito ay kinakatawan bilang kabuuan ng sinusoids. Kasabay nito, ginagawang posible ng paggamit ng "mabilis" na paraan na maglapat ng mga discrete na solusyon sa anumang praktikal na problema.
4. Ang windowed Fourier transform ay isang pangkalahatang anyo ng klasikal na pamamaraan. Sa kaibahan sa karaniwang solusyon, kapag ginamit ang signal spectrum, na kinuha sa buong saklaw ng pagkakaroon ng isang naibigay na variable, dito lamang ang lokal na pamamahagi ng dalas ay partikular na interes, sa kondisyon na ang orihinal na variable (oras) ay napanatili.
5. Dalawang-dimensional na pagbabagong Fourier. Ang pamamaraang ito ay ginagamit upang gumana sa dalawang-dimensional na mga array ng data. Sa kasong ito, una ang pagbabago ay ginanap sa isang direksyon, at pagkatapos ay saiba pa.
Konklusyon
Ngayon, ang pamamaraang Fourier ay matatag na nakabaon sa iba't ibang larangan ng agham. Halimbawa, noong 1962 ang DNA double helix na hugis ay natuklasan gamit ang Fourier analysis na sinamahan ng X-ray diffraction. Ang huli ay nakatuon sa mga kristal ng mga hibla ng DNA, bilang isang resulta, ang imahe na nakuha sa pamamagitan ng diffraction ng radiation ay naitala sa pelikula. Ang larawang ito ay nagbigay ng impormasyon tungkol sa halaga ng amplitude kapag ginagamit ang Fourier transform sa isang ibinigay na istraktura ng kristal. Ang data ng phase ay nakuha sa pamamagitan ng paghahambing ng diffraction map ng DNA sa mga mapa na nakuha mula sa pagsusuri ng mga katulad na istrukturang kemikal. Bilang resulta, ibinalik ng mga biologist ang kristal na istraktura - ang orihinal na function.
Malaking papel ang ginagampanan ng Fourier transforms sa pag-aaral ng space, semiconductor at plasma physics, microwave acoustics, oceanography, radar, seismology at mga medikal na survey.
