Application ng derivative. Pag-plot gamit ang Derivatives

2024 May -akda: Angel Austin | [email protected]. Huling binago: 2023-12-17 05:44

Ang

Mathematics ay nagmula sa Antiquity. Salamat sa kanya, ang arkitektura, konstruksiyon at agham ng militar ay nagbigay ng isang bagong pag-unlad, ang mga tagumpay na nakuha sa tulong ng matematika ay humantong sa paggalaw ng pag-unlad. Hanggang ngayon, ang matematika ay nananatiling pangunahing agham na matatagpuan sa lahat ng iba pang sangay.

Upang makapag-aral, ang mga bata mula sa unang baitang ay nagsisimulang unti-unting sumanib sa kapaligirang ito. Napakahalaga na maunawaan ang matematika, dahil ito, sa isang antas o iba pa, ay nangyayari sa bawat tao sa buong buhay niya. Susuriin ng artikulong ito ang isa sa mga pangunahing elemento - paghahanap at paglalapat ng mga derivatives. Hindi maiisip ng bawat tao kung gaano kalawak ang paggamit ng konseptong ito. Isaalang-alang ang higit sa 10 aplikasyon ng mga derivative sa ilang partikular na larangan o agham.

Paglalapat ng derivative sa pag-aaral ng isang function

Ang derivative ay isang limitasyonang ratio ng pagtaas ng isang function sa pagtaas ng argumento nito kapag ang exponent ng argumento ay may posibilidad na zero. Ang derivative ay isang kailangang-kailangan na bagay sa pag-aaral ng isang function. Halimbawa, maaari itong gamitin upang matukoy ang pagtaas at pagbaba ng huli, extrema, convexity at concavity. Ang differential calculus ay kasama sa compulsory curriculum para sa 1st at 2nd year students ng mathematical universities.

Mga zero sa saklaw at function

Ang unang yugto ng anumang pag-aaral ng graph ay nagsisimula sa paghahanap ng domain ng kahulugan, sa mas bihirang mga kaso - ang halaga. Ang domain ng kahulugan ay nakatakda sa kahabaan ng abscissa axis, sa madaling salita, ito ay mga numerical na halaga sa OX axis. Kadalasan ang saklaw ay nakatakda na, ngunit kung hindi, dapat suriin ang halaga ng x argument. Ipagpalagay, kung para sa ilang mga halaga ng argumento ang pag-andar ay hindi makatuwiran, ang argumentong ito ay hindi kasama sa saklaw.

Ang mga zero ng function ay matatagpuan sa isang simpleng paraan: ang function na f(x) ay dapat itumbas sa zero at ang resultang equation ay dapat lutasin na may kinalaman sa isang variable na x. Ang nakuhang mga ugat ng equation ay ang mga zero ng function, ibig sabihin, sa mga x na ito ang function ay 0.

Taasan at bawasan

Ang paggamit ng derivative upang pag-aralan ang mga function para sa monotonicity ay maaaring isaalang-alang mula sa dalawang posisyon. Ang isang monotonikong function ay isang kategorya na may mga positibong halaga lamang ng hinango, o mga negatibong halaga lamang. Sa simpleng salita, ang function ay tumataas lamang o bumababa lamang sa buong interval na pinag-aaralan:

1. Taasan ang parameter. FunctionAng f(x) ay tataas kung ang derivative ng f`(x) ay mas malaki kaysa sa zero.
2. Pababang parameter. Ang function na f(x) ay bababa kung ang derivative ng f`(x) ay mas mababa sa zero.

Tangent at Slope

Ang paglalapat ng derivative sa pag-aaral ng isang function ay tinutukoy din ng tangent (tuwid na linya na nakadirekta sa isang anggulo) sa graph ng function sa isang partikular na punto. Tangent sa isang punto (x₀) - isang linyang dumadaan sa isang punto at kabilang sa function na ang mga coordinate ay (x₀, f(x 0 _{)) at pagkakaroon ng slope f`(x}0_).

y=f(x₀) + f`(x₀)(x - x₀) - ang equation ng tangent sa ibinigay na punto ng graph ng function.

Geometric na kahulugan ng derivative: ang derivative ng function na f(x) ay katumbas ng slope ng nabuong tangent sa graph ng function na ito sa isang naibigay na punto x. Ang angular coefficient, naman, ay katumbas ng tangent ng anggulo ng inclination ng tangent sa OX axis (abscissa) sa positibong direksyon. Ang corollary na ito ay mahalaga sa paglalapat ng derivative sa graph ng isang function.

Extremum na puntos

Ang paglalapat ng derivative sa isang pag-aaral ay kinabibilangan ng paghahanap ng matataas at mababang puntos.

Upang mahanap at matukoy ang minimum at maximum na puntos, dapat kang:

• Hanapin ang derivative ng function na f(x).
• Itakda ang resultang equation sa zero.
• Hanapin ang mga ugat ng equation.
• Maghanap ng mataas at mababang puntos.

Upang maghanap ng mga sukdulanmga tampok:

• Hanapin ang minimum at maximum na puntos gamit ang paraan sa itaas.
• I-substitute ang mga puntong ito sa orihinal na equation at kalkulahin ang y_max at y_min

Ang maximum point ng function ay ang pinakamalaking value ng function na f(x) sa pagitan, sa madaling salita x_max.

Ang pinakamababang punto ng function ay ang pinakamaliit na value ng function na f(x) sa pagitan, sa madaling salita x_name

Ang

Extremum point ay pareho sa maximum at minimum na puntos, at ang extremum ng function (y_{max. at} y_minimum) - mga value ng function na tumutugma sa mga extremum point.

Convexity at concavity

Maaari mong matukoy ang convexity at concavity sa pamamagitan ng paggamit ng derivative para sa plotting:

• Ang isang function na f(x) na sinuri sa pagitan (a, b) ay malukong kung ang function ay matatagpuan sa ibaba ng lahat ng mga tangent nito sa loob ng interval na ito.
• Ang function na f(x) na pinag-aralan sa interval (a, b) ay convex kung ang function ay matatagpuan sa itaas ng lahat ng tangents nito sa loob ng interval na ito.

Ang puntong naghihiwalay sa convexity at concavity ay tinatawag na inflection point ng function.

Para maghanap ng mga inflection point:

• Hanapin ang mga kritikal na punto ng pangalawang uri (pangalawang derivative).
• Ang mga inflection point ay ang mga kritikal na puntong naghihiwalay sa dalawang magkasalungat na palatandaan.
• Kalkulahin ang mga value ng function sa mga function inflection point.

Partial derivatives

Applicationmay mga derivatives ng ganitong uri sa mga problema kung saan higit sa isang hindi kilalang variable ang ginagamit. Kadalasan, ang mga naturang derivative ay nakakaharap kapag nag-plot ng isang function graph, upang maging mas tumpak, sa espasyo, kung saan sa halip na dalawang axes ay mayroong tatlo, samakatuwid, tatlong dami (dalawang variable at isang pare-pareho).

Ang pangunahing panuntunan kapag kinakalkula ang mga partial derivatives ay ang pumili ng isang variable at ituring ang iba bilang mga constant. Samakatuwid, kapag kinakalkula ang partial derivative, ang pare-pareho ay nagiging bilang bilang isang numerical na halaga (sa maraming mga talahanayan ng mga derivatives, ang mga ito ay tinutukoy bilang C=const). Ang kahulugan ng naturang derivative ay ang rate ng pagbabago ng function z=f(x, y) sa kahabaan ng OX at OY axes, ibig sabihin, ito ay nagpapakilala sa steepness ng mga depressions at bulges ng constructed surface.

Derivative sa physics

Ang paggamit ng derivative sa pisika ay laganap at mahalaga. Pisikal na kahulugan: ang derivative ng path na may paggalang sa oras ay ang bilis, at ang acceleration ay ang derivative ng bilis na may paggalang sa oras. Mula sa pisikal na kahulugan, maraming sangay ang maaaring makuha sa iba't ibang sangay ng physics, habang ganap na pinapanatili ang kahulugan ng derivative.

Sa tulong ng derivative, makikita ang mga sumusunod na value:

• Bilis sa kinematics, kung saan kinakalkula ang derivative ng distansyang nilakbay. Kung ang pangalawang derivative ng landas o ang unang derivative ng bilis ay natagpuan, pagkatapos ay ang acceleration ng katawan ay matatagpuan. Bilang karagdagan, posibleng mahanap ang agarang bilis ng isang materyal na punto, ngunit para dito kinakailangan na malaman ang pagtaas ng ∆t at ∆r.
• Sa electrodynamics:pagkalkula ng agarang lakas ng alternating current, pati na rin ang EMF ng electromagnetic induction. Sa pamamagitan ng pagkalkula ng derivative, mahahanap mo ang maximum na kapangyarihan. Ang derivative ng dami ng electric charge ay ang kasalukuyang lakas sa conductor.

Derivative sa chemistry at biology

Chemistry: Ang derivative ay ginagamit upang matukoy ang rate ng isang kemikal na reaksyon. Ang kemikal na kahulugan ng derivative: function p=p(t), sa kasong ito p ay ang dami ng isang substance na pumapasok sa isang kemikal na reaksyon sa oras t. ∆t - pagtaas ng oras, ∆p - pagtaas ng dami ng substance. Ang limitasyon ng ratio ng ∆p sa ∆t, kung saan ang ∆t ay nagiging zero, ay tinatawag na rate ng isang kemikal na reaksyon. Ang average na halaga ng isang kemikal na reaksyon ay ang ratio ∆p/∆t. Kapag tinutukoy ang bilis, kinakailangang malaman nang eksakto ang lahat ng kinakailangang mga parameter, kundisyon, upang malaman ang pinagsama-samang estado ng sangkap at ang daluyan ng daloy. Ito ay isang medyo malaking aspeto sa chemistry, na malawakang ginagamit sa iba't ibang industriya at aktibidad ng tao.

Biology: ang konsepto ng isang derivative ay ginagamit upang kalkulahin ang average na rate ng reproduction. Biyolohikal na kahulugan: mayroon tayong function na y=x(t). ∆t - pagtaas ng oras. Pagkatapos, sa tulong ng ilang pagbabago, nakukuha namin ang function na y`=P(t)=x`(t) - ang mahahalagang aktibidad ng populasyon ng oras t (average na rate ng reproduction). Ang paggamit na ito ng derivative ay nagbibigay-daan sa iyong panatilihin ang mga istatistika, subaybayan ang rate ng pagpaparami, at iba pa.

Derivative sa heograpiya at ekonomiya

Ang derivative ay nagbibigay-daan sa mga geographer na magpasyamga gawain tulad ng paghahanap ng populasyon, pagkalkula ng mga halaga sa seismography, pagkalkula ng radioactivity ng nuclear geophysical indicator, pagkalkula ng interpolation.

Sa economics, isang mahalagang bahagi ng mga kalkulasyon ang differential calculus at ang pagkalkula ng derivative. Una sa lahat, ito ay nagbibigay-daan sa amin upang matukoy ang mga limitasyon ng mga kinakailangang pang-ekonomiyang halaga. Halimbawa, ang pinakamataas at pinakamababang produktibidad ng paggawa, gastos, kita. Karaniwan, ang mga halagang ito ay kinakalkula mula sa mga function graph, kung saan makikita nila ang extrema, tinutukoy ang monotonicity ng function sa gustong lugar.

Konklusyon

Ang papel ng differential calculus na ito ay kasangkot, gaya ng nabanggit sa artikulo, sa iba't ibang istrukturang pang-agham. Ang paggamit ng mga derivative function ay isang mahalagang elemento sa praktikal na bahagi ng agham at produksyon. It's not for nothing na tinuruan kami sa high school at unibersidad na bumuo ng mga kumplikadong graph, mag-explore at magtrabaho sa mga function. Tulad ng nakikita mo, nang walang mga derivatives at differential kalkulasyon, magiging imposibleng kalkulahin ang mahahalagang indicator at dami. Natutunan ng sangkatauhan na magmodelo ng iba't ibang proseso at galugarin ang mga ito, upang malutas ang mga kumplikadong problema sa matematika. Sa katunayan, ang matematika ay ang reyna ng lahat ng agham, dahil ang agham na ito ay sumasailalim sa lahat ng iba pang natural at teknikal na disiplina.