Ang paksang "aritmetikong pag-unlad" ay pinag-aaralan sa pangkalahatang kurso ng algebra sa mga paaralan sa ika-9 na baitang. Ang paksang ito ay mahalaga para sa higit pang malalim na pag-aaral ng matematika ng serye ng numero. Sa artikulong ito, makikilala natin ang pag-unlad ng aritmetika, ang pagkakaiba nito, gayundin ang mga karaniwang gawain na maaaring harapin ng mga mag-aaral.
Ang konsepto ng algebraic progression
Ang
Numeric progression ay isang pagkakasunud-sunod ng mga numero kung saan ang bawat kasunod na elemento ay maaaring makuha mula sa nauna, kung may ilalapat na batas sa matematika. Mayroong dalawang simpleng uri ng progression: geometric at arithmetic, na tinatawag ding algebraic. Pag-isipan natin ito nang mas detalyado.
Isipin natin ang ilang rational na numero, ipahiwatig ito sa pamamagitan ng simbolo na a1, kung saan isinasaad ng index ang ordinal na numero nito sa seryeng isinasaalang-alang. Magdagdag tayo ng ibang numero sa isang1 , tukuyin natin ito d. Tapos yung pangalawamaaaring ipakita ang isang elemento ng isang serye tulad ng sumusunod: a2=a1+d. Ngayon magdagdag muli ng d, makakakuha tayo ng: a3=a2+d. Sa pagpapatuloy ng mathematical operation na ito, maaari kang makakuha ng isang buong serye ng mga numero, na tatawaging arithmetic progression.
Tulad ng mauunawaan mula sa itaas, upang mahanap ang n-th element ng sequence na ito, dapat mong gamitin ang formula: a =a1+ (n -1)d. Sa katunayan, ang pagpapalit ng n=1 sa expression, makakakuha tayo ng1=a1, kung n=2, ang formula ay nagpapahiwatig ng: a2=a1 + 1d, at iba pa.
Halimbawa, kung ang pagkakaiba ng isang arithmetic progression ay 5, at a1=1, nangangahulugan ito na ang mga serye ng numero ng uri na pinag-uusapan ay mukhang: 1, 6, 11, 16, 21, … Gaya ng nakikita mo, ang bawat isa sa mga termino nito ay mas malaki kaysa sa nauna nang 5.
Mga formula para sa pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic
Mula sa kahulugan sa itaas ng isinasaalang-alang na serye ng mga numero, sumusunod na para matukoy ito, kailangan mong malaman ang dalawang numero: a1 at d. Ang huli ay tinatawag na pagkakaiba ng pag-unlad na ito. Natatangi nitong tinutukoy ang pag-uugali ng buong serye. Sa katunayan, kung ang d ay positibo, kung gayon ang serye ng numero ay patuloy na tataas, sa kabaligtaran, sa kaso ng negatibong d, ang mga numero sa serye ay tataas lamang ng modulo, habang ang kanilang ganap na halaga ay bababa sa pagtaas ng bilang n.
Ano ang pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic? Isaalang-alang ang dalawang pangunahing formula na ginagamit upang kalkulahin ang halagang ito:
- d=an+1-a , ang formula na ito ay direktang sumusunod sa kahulugan ng pinag-uusapang serye ng numero.
- d=(-a1+a)/(n-1), ang ekspresyong ito ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpapahayag ng d mula sa ibinigay na formula sa nakaraang talata ng artikulo. Tandaan na ang expression na ito ay nagiging indeterminate (0/0) kung n=1. Ito ay dahil sa katotohanang kailangang malaman ang hindi bababa sa 2 elemento ng serye upang matukoy ang pagkakaiba nito.
Ang dalawang pangunahing formula na ito ay ginagamit upang malutas ang anumang problema sa paghahanap ng pagkakaiba sa pag-unlad. Gayunpaman, may isa pang formula na kailangan mo ring malaman.
Kabuuan ng mga unang elemento
Ang formula na maaaring gamitin upang matukoy ang kabuuan ng anumang bilang ng mga miyembro ng isang algebraic progression, ayon sa makasaysayang ebidensya, ay unang nakuha ng "prinsipe" ng matematika noong ika-18 siglo, si Carl Gauss. Isang German scientist, habang bata pa sa elementarya ng isang village school, napansin na upang magdagdag ng mga natural na numero sa serye mula 1 hanggang 100, dapat mo munang pagsamahin ang unang elemento at ang huli (ang magreresultang halaga ay magiging katumbas sa kabuuan ng penultimate at pangalawa, penultimate at ikatlong elemento, at iba pa), at pagkatapos ay dapat na i-multiply ang numerong ito sa bilang ng mga halagang ito, iyon ay, sa 50.
Ang formula na nagpapakita ng nakasaad na resulta sa isang partikular na halimbawa ay maaaring gawing pangkalahatan sa isang arbitrary na kaso. Magiging ganito ito: S =n/2(a +a1). Tandaan na upang mahanap ang tinukoy na halaga, ang kaalaman sa pagkakaiba d ay hindi kinakailangan,kung alam ang dalawang termino ng progression (a at a1).
Halimbawa 1. Tukuyin ang pagkakaiba, alam ang dalawang termino ng seryeng a1 at isang
Ipakita natin kung paano ilapat ang mga formula na binanggit sa itaas sa artikulo. Magbigay tayo ng isang simpleng halimbawa: ang pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika ay hindi alam, kinakailangan upang matukoy kung ano ang magiging katumbas nito kung a13=-5, 6 at a1 =-12, 1.
Dahil alam natin ang mga halaga ng dalawang elemento ng numerical sequence, at isa sa mga ito ang unang numero, maaari nating gamitin ang formula No. 2 upang matukoy ang pagkakaiba d. Mayroon kaming: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. Sa expression, ginamit namin ang value n=13, dahil ang miyembro na may ganitong serial number ay kilala.
Ang resultang pagkakaiba ay nagpapahiwatig na ang pag-unlad ay tumataas, sa kabila ng katotohanan na ang mga elementong ibinigay sa kondisyon ng problema ay may negatibong halaga. Makikita na a13>a1, bagaman |a13|<|a 1 |.
Halimbawa 2. Mga positibong miyembro ng progression sa halimbawa 1
Gamitin natin ang resultang nakuha sa nakaraang halimbawa upang malutas ang isang bagong problema. Binubalangkas ito tulad ng sumusunod: mula sa anong sequence number nagsisimulang kumuha ng mga positibong halaga ang mga elemento ng progression sa halimbawa 1?
Tulad ng ipinapakita, ang pag-usad kung saan ang a1=-12, 1 at d=0. 54167 ay tumataas, kaya mula sa ilang numero ay magsisimulang magkaroon ng positibo lamang mga halaga. Upang matukoy ang numerong ito n, kailangang lutasin ng isang tao ang isang simpleng hindi pagkakapantay-pantay, namathematical na isinulat tulad ng sumusunod: a >0 o, gamit ang naaangkop na formula, muli naming isinusulat ang hindi pagkakapantay-pantay: a1 + (n-1)d>0. Kinakailangang hanapin ang hindi kilalang n, ipahayag natin ito: n>-1a1/d + 1. Ngayon ay nananatiling palitan ang mga kilalang halaga ng pagkakaiba at ang unang miyembro ng pagkakasunod-sunod. Nakukuha namin ang: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 o n>23, 338. Dahil ang n ay maaari lamang kumuha ng mga halaga ng integer, sumusunod ito mula sa nagresultang hindi pagkakapantay-pantay na sinumang miyembro ng serye na ang may numerong higit sa 23 ay magiging positibo.
Suriin ang iyong sagot sa pamamagitan ng paggamit ng formula sa itaas upang kalkulahin ang ika-23 at ika-24 na elemento ng pag-unlad ng arithmetic na ito. Mayroon kaming: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (negatibong numero); a24=-12, 1 + 230. 54167=0. 3584 (positibong value). Kaya, tama ang resultang nakuha: simula sa n=24, ang lahat ng miyembro ng serye ng numero ay magiging mas mataas sa zero.
Halimbawa 3. Ilang log ang magkakasya?
Magbigay tayo ng isang kakaibang problema: sa panahon ng pag-log, napagpasyahan na i-stack ang mga sawn log sa ibabaw ng bawat isa gaya ng ipinapakita sa figure sa ibaba. Ilang log ang maaaring isalansan sa ganitong paraan, alam na 10 row ang magkakasya sa kabuuan?
Sa ganitong paraan ng pagsasalansan ng mga log, mapapansin mo ang isang kawili-wiling bagay: ang bawat kasunod na row ay maglalaman ng isang mas kaunting log kaysa sa nauna, iyon ay, mayroong algebraic progression, ang pagkakaiba nito ay d=1. Ipagpalagay na ang bilang ng mga log sa bawat hilera ay miyembro ng pag-unlad na ito,at dahil din na a1=1 (isang log lang ang kasya sa pinakatuktok), makikita natin ang numerong a10. Mayroon kaming: a10=1 + 1(10-1)=10. Ibig sabihin, sa ika-10 hilera, na nasa lupa, magkakaroon ng 10 log.
Ang kabuuang halaga ng "pyramidal" na construction na ito ay maaaring makuha gamit ang Gauss formula. Nakukuha namin ang: S10=10/2(10+1)=55 log.
