Ang Function at ang pag-aaral ng mga feature nito ay isa sa mga pangunahing kabanata sa modernong matematika. Ang pangunahing bahagi ng anumang function ay ang mga graph na naglalarawan hindi lamang ng mga katangian nito, kundi pati na rin ang mga parameter ng derivative ng function na ito. Tingnan natin ang nakakalito na paksang ito. Kaya ano ang pinakamahusay na paraan upang mahanap ang maximum at minimum na puntos ng isang function?
Function: Definition
Anumang variable na nakadepende sa ilang paraan sa mga value ng isa pang value ay maaaring tawaging function. Halimbawa, ang function na f(x2) ay quadratic at tinutukoy ang mga value para sa buong set x. Sabihin nating x=9, kung gayon ang halaga ng ating function ay magiging katumbas ng 92=81.
May iba't ibang uri ang mga function: logical, vector, logarithmic, trigonometric, numeric at iba pa. Ang mga namumukod-tanging isip gaya nina Lacroix, Lagrange, Leibniz at Bernoulli ay nakikibahagi sa kanilang pag-aaral. Ang kanilang mga sinulat ay nagsisilbing tanggulan sa mga makabagong paraan ng pag-aaral ng mga tungkulin. Bago hanapin ang pinakamababang puntos, napakahalagang maunawaan ang mismong kahulugan ng function at ang hinango nito.
Ang derivative at ang tungkulin nito
Lahat ng function ay nasadepende sa kanilang mga variable na halaga, na nangangahulugan na maaari nilang baguhin ang kanilang halaga anumang oras. Sa graph, ito ay ipapakita bilang isang curve na bumababa o tumataas sa kahabaan ng y-axis (ito ang buong hanay ng mga "y" na numero sa kahabaan ng vertical ng graph). At kaya ang kahulugan ng isang punto ng isang maximum at isang minimum na function ay konektado lamang sa mga "oscillations". Ipaliwanag natin kung ano ang relasyong ito.
Ang derivative ng anumang function ay iginuhit sa isang graph upang pag-aralan ang mga pangunahing katangian nito at kalkulahin kung gaano kabilis ang pagbabago ng function (ibig sabihin, nagbabago ang halaga nito depende sa variable na "x"). Sa sandaling tumaas ang function, tataas din ang graph ng derivative nito, ngunit sa anumang segundo ay maaaring magsimulang bumaba ang function, at pagkatapos ay bababa ang graph ng derivative. Ang mga punto kung saan ang derivative ay napupunta mula sa minus hanggang plus ay tinatawag na mga minimum na puntos. Upang malaman kung paano hanapin ang pinakamababang puntos, dapat mong mas maunawaan ang konsepto ng derivative.
Paano kalkulahin ang derivative?
Ang pagtukoy at pagkalkula ng derivative ng isang function ay nagpapahiwatig ng ilang konsepto mula sa differential calculus. Sa pangkalahatan, ang mismong kahulugan ng derivative ay maaaring ipahayag tulad ng sumusunod: ito ang halaga na nagpapakita ng rate ng pagbabago ng function.
Mathematical na paraan upang matukoy ito para sa maraming mga mag-aaral ay tila kumplikado, ngunit sa katunayan ang lahat ay mas simple. Kailangan mo lang sumunodkaraniwang plano para sa paghahanap ng derivative ng anumang function. Ang sumusunod ay naglalarawan kung paano mo mahahanap ang pinakamababang punto ng isang function nang hindi inilalapat ang mga panuntunan ng pagkita ng kaibhan at hindi sinasaulo ang talahanayan ng mga derivatives.
- Maaari mong kalkulahin ang derivative ng isang function gamit ang isang graph. Upang gawin ito, kailangan mong ilarawan ang mismong function, pagkatapos ay kumuha ng isang punto dito (point A sa Fig.) Gumuhit ng linya patayo pababa sa abscissa axis (point x0), at sa point A gumuhit ng tangent para gumana ang graphic. Ang abscissa axis at ang tangent ay bumubuo ng isang anggulo a. Upang kalkulahin ang halaga kung gaano kabilis tumaas ang function, kailangan mong kalkulahin ang tangent ng anggulong ito a.
- Lumalabas na ang tangent ng anggulo sa pagitan ng tangent at ang direksyon ng x-axis ay ang derivative ng function sa isang maliit na lugar na may point A. Ang pamamaraang ito ay itinuturing na isang geometric na paraan upang matukoy ang derivative.
Mga paraan ng pagsasaliksik ng isang function
Sa kurikulum ng paaralan ng matematika, posibleng mahanap ang pinakamababang punto ng isang function sa dalawang paraan. Nasuri na natin ang unang paraan gamit ang graph, ngunit paano matukoy ang numerical value ng derivative? Upang gawin ito, kakailanganin mong matutunan ang ilang mga formula na naglalarawan sa mga katangian ng derivative at tumulong na i-convert ang mga variable tulad ng "x" sa mga numero. Ang sumusunod na paraan ay pangkalahatan, kaya maaari itong ilapat sa halos lahat ng uri ng mga function (parehong geometric at logarithmic).
- Kinakailangan na itumbas ang function sa derivative function, at pagkatapos ay pasimplehin ang expression gamit ang mga panuntunanpagkakaiba.
- hatiin sa zero).
- Pagkatapos nito, dapat mong i-convert ang orihinal na anyo ng function sa isang simpleng equation, na tinutumbasan ang buong expression sa zero. Halimbawa, kung ganito ang hitsura ng function: f(x)=2x3+38x, pagkatapos ay ayon sa mga tuntunin ng pagkita ng kaibhan, ang derivative nito ay katumbas ng f'(x)=3x 2 +1. Pagkatapos ay gagawing equation ang expression na ito ng sumusunod na anyo: 3x2+1=0.
- Pagkatapos malutas ang equation at mahanap ang mga puntos na "x", dapat mong iguhit ang mga ito sa x-axis at tukuyin kung ang derivative sa mga lugar na ito sa pagitan ng mga markang punto ay positibo o negatibo. Matapos ang pagtatalaga, magiging malinaw sa kung anong punto ang pag-andar ay nagsisimulang bumaba, iyon ay, binabago nito ang sign mula sa minus hanggang sa kabaligtaran. Sa ganitong paraan mahahanap mo ang parehong minimum at maximum na puntos.
Mga panuntunan sa pagkakaiba
Ang pinakapangunahing bahagi ng pag-aaral ng isang function at ang hinango nito ay ang pag-alam sa mga panuntunan ng pagkakaiba-iba. Sa tulong lamang nila posible na baguhin ang masalimuot na mga expression at malalaking kumplikadong pag-andar. Kilalanin natin ang mga ito, marami sa kanila, ngunit lahat sila ay napakasimple dahil sa mga regular na katangian ng parehong power at logarithmic function.
- Ang derivative ng anumang constant ay zero (f(x)=0). Ibig sabihin, ang derivative f(x)=x5+ x - 160 ay kukuha ng sumusunod na anyo: f' (x)=5x4+1.
- Ang derivative ng kabuuan ng dalawang termino: (f+w)'=f'w + fw'.
- Derivative ng isang logarithmic function: (logad)'=d/ln ad. Nalalapat ang formula na ito sa lahat ng uri ng logarithms.
- Derivative of degree: (x)'=nxn-1. Halimbawa, (9x2)'=92x=18x.
- Derivative ng sinusoidal function: (sin a)'=cos a. Kung ang sin ng angle a ay 0.5, ang derivative nito ay √3/2.
Extremum na puntos
Naisip na namin kung paano hanapin ang pinakamababang puntos, gayunpaman, mayroong konsepto ng pinakamataas na puntos ng isang function. Kung ang minimum ay tumutukoy sa mga puntong iyon kung saan ang function ay napupunta mula minus hanggang plus, kung gayon ang maximum na mga puntos ay ang mga punto sa x-axis kung saan ang derivative ng function ay nagbabago mula sa plus patungo sa kabaligtaran - minus.
Maaari mong mahanap ang maximum na mga puntos gamit ang paraang inilarawan sa itaas, dapat lamang na isaalang-alang na ang mga ito ay tumutukoy sa mga lugar kung saan nagsisimulang bumaba ang function, iyon ay, ang derivative ay magiging mas mababa sa zero.
Sa matematika, kaugalian na i-generalize ang parehong mga konsepto, na pinapalitan ang mga ito ng pariralang "extremum point". Kapag hiniling ng gawain na tukuyin ang mga puntong ito, nangangahulugan ito na kinakailangang kalkulahin ang derivative ng function na ito at hanapin ang minimum at maximum na mga puntos.
