Number system - ano ito? Kahit na hindi alam ang sagot sa tanong na ito, bawat isa sa atin ay hindi sinasadya na gumagamit ng mga sistema ng numero sa ating buhay at hindi pinaghihinalaan ito. Tama, maramihan! Iyon ay, hindi isa, ngunit ilan. Bago magbigay ng mga halimbawa ng non-positional number system, unawain natin ang isyung ito, pag-usapan din natin ang positional system.
Kailangan ng Invoice
Mula noong sinaunang panahon, kailangan na ng mga tao ang pagbibilang, ibig sabihin, intuitively nilang napagtanto na kailangan nilang magpahayag ng isang quantitative vision ng mga bagay at kaganapan. Iminungkahi ng utak na kailangang gumamit ng mga bagay para sa pagbibilang. Ang mga daliri ay palaging ang pinaka-maginhawa, at ito ay naiintindihan, dahil ang mga ito ay palaging magagamit (na may mga bihirang pagbubukod).
Kaya ang mga sinaunang kinatawan ng sangkatauhan ay kailangang yumuko sa kanilang mga daliri sa literal na kahulugan - upang ipahiwatig ang bilang ng mga napatay na mammoth, halimbawa. Ang mga naturang elemento ng account ay wala pang mga pangalan, ngunit isang visual na larawan lamang, isang paghahambing.
Mga modernong positional number system
Ang sistema ng numero ay isang paraan (paraan) ng pagre-represent ng mga quantitative na halaga at dami gamit ang ilang partikular na senyales (mga simbolo o titik).
Kailangan na maunawaan kung ano ang positional at non-positional sa pagbibilang bago magbigay ng mga halimbawa ng non-positional number system. Maraming mga positional number system. Ngayon ang mga sumusunod ay ginagamit sa iba't ibang larangan ng kaalaman: binary (kasama lamang ang dalawang makabuluhang elemento: 0 at 1), hexadecimal (bilang ng mga character - 6), octal (mga character - 8), duodecimal (labindalawang character), hexadecimal (kabilang ang labing-anim mga karakter). Bukod dito, ang bawat hilera ng mga character sa mga system ay nagsisimula sa zero. Nakabatay ang mga modernong teknolohiya sa computer sa paggamit ng mga binary code - ang binary positional number system.
Decimal number system
Ang
Positionality ay ang pagkakaroon ng mga makabuluhang posisyon sa iba't ibang antas, kung saan matatagpuan ang mga palatandaan ng numero. Pinakamabuting maipakita ito gamit ang halimbawa ng sistema ng decimal na numero. Sabagay, nakasanayan na nating gamitin ito mula pagkabata. Mayroong sampung palatandaan sa sistemang ito: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Kunin ang numerong 327. Mayroon itong tatlong palatandaan: 3, 2, 7. Ang bawat isa sa kanila ay matatagpuan sa sariling posisyon (lugar). Ang pito ay kumukuha ng posisyon na nakalaan para sa mga solong halaga (mga yunit), ang dalawa - sampu, at ang tatlo - daan-daan. Dahil ang numero ay tatlong-digit, samakatuwid, mayroon lamang tatlong posisyon dito.
Batay sa itaas, itoang tatlong-digit na decimal na numero ay maaaring ilarawan tulad ng sumusunod: tatlong daan, dalawang sampu at pitong yunit. Bukod dito, ang kahalagahan (kahalagahan) ng mga posisyon ay binibilang mula kaliwa hanggang kanan, mula sa mahinang posisyon (isa) hanggang sa mas malakas (daan-daan).
Nararamdaman namin na komportable kami sa decimal positional number system. Mayroon kaming sampung daliri sa aming mga kamay, at ganoon din sa aming mga paa. Limang kasama ang lima - kaya, salamat sa mga daliri, madali nating isipin ang isang dosenang mula pagkabata. Kaya naman madaling matutunan ng mga bata ang multiplication table para sa lima at sampu. At napakadaling matutunan kung paano magbilang ng mga banknote, na kadalasang multiple (iyon ay, hinati nang walang natitira) ng lima at sampu.
Iba pang positional number system
Na ikinagulat ng marami, masasabing hindi lamang sa decimal counting system, nakasanayan na ng ating utak ang paggawa ng ilang kalkulasyon. Hanggang ngayon, ang sangkatauhan ay gumagamit ng anim at duodecimal number system. Iyon ay, sa ganoong sistema ay mayroon lamang anim na character (sa hexadecimal): 0, 1, 2, 3, 4, 5. Sa duodecimal mayroong labindalawa sa kanila: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, kung saan ang A - ay tumutukoy sa numerong 10, B - ang numerong 11 (dahil ang tanda ay dapat isa).
Husga para sa iyong sarili. Nagbibilang tayo ng oras sa anim, hindi ba? Ang isang oras ay animnapung minuto (anim na sampu), isang araw ay dalawampu't apat na oras (dalawang beses labindalawa), isang taon ay labindalawang buwan, at iba pa… Ang lahat ng mga agwat ng oras ay madaling magkasya sa anim at duodecimal na serye. Ngunit nakasanayan na namin ito kaya hindi na namin iniisip ang tungkol dito kapag nagbibilang ng oras.
Non-positional number system. Unary
Kinakailangan na tukuyin kung ano ito - isang non-positional number system. Ito ay isang sistema ng pag-sign kung saan walang mga posisyon para sa mga palatandaan ng isang numero, o ang prinsipyo ng "pagbasa" ng isang numero ay hindi nakasalalay sa posisyon. Mayroon din itong sariling mga panuntunan sa pagsulat o pagkalkula.
Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga non-positional number system. Bumalik tayo sa sinaunang panahon. Ang mga tao ay nangangailangan ng isang account at nakabuo ng pinakasimpleng imbensyon - knots. Ang non-positional number system ay nodular. Isang item (isang bag ng bigas, toro, dayami, atbp.) ang binilang, halimbawa, kapag bumibili o nagbebenta, at itinali sa isang tali.
Bilang resulta, ang daming buhol na ginawa sa lubid dahil maraming supot ng bigas ang binili (bilang halimbawa). Ngunit maaari rin itong mga bingaw sa isang kahoy na patpat, sa isang bato na slab, atbp. Ang nasabing sistema ng numero ay naging kilala bilang nodular. Siya ay may pangalawang pangalan - unary, o single ("uno" sa Latin ay nangangahulugang "isa").
Nagiging malinaw na ang sistema ng numero na ito ay hindi nakaposisyon. Kung tutuusin, anong mga posisyon ang maaari nating pag-usapan kung ito (ang posisyon) ay isa lamang! Kakatwa, sa ilang bahagi ng Earth, ginagamit pa rin ang unary non-positional number system.
Gayundin, ang mga non-positional number system ay kinabibilangan ng:
- Roman (ginagamit ang mga titik sa pagsulat ng mga numero - Latin na character);
- sinaunang Egyptian (katulad ng Romano, ginamit din ang mga simbolo);
- alphabetic (mga titik ng alpabeto ang ginamit);
- Babylonian (cuneiform - ginamit nang direkta atbaligtad na "wedge");
- Greek (tinutukoy din bilang alpabeto).
Roman numeral system
Ang sinaunang Imperyo ng Roma, gayundin ang agham nito, ay napaka-progresibo. Ang mga Romano ay nagbigay sa mundo ng maraming kapaki-pakinabang na imbensyon ng agham at sining, kabilang ang kanilang sistema ng pagbibilang. Dalawang daang taon na ang nakalilipas, ginamit ang mga Roman numeral upang tukuyin ang mga halaga sa mga dokumento ng negosyo (kaya naiwasan ang pamemeke).
Ang
Roman numeration ay isang halimbawa ng non-positional number system, alam na natin ito ngayon. Gayundin, ang sistemang Romano ay aktibong ginagamit, ngunit hindi para sa mga kalkulasyon ng matematika, ngunit para sa makitid na nakatutok na mga aksyon. Halimbawa, sa tulong ng mga numerong Romano, kaugalian na italaga ang mga makasaysayang petsa, siglo, bilang ng mga volume, mga seksyon at mga kabanata sa mga publikasyon ng libro. Ang mga palatandaang Romano ay kadalasang ginagamit upang palamutihan ang mga dial ng relo. At gayundin ang Roman numeration ay isang halimbawa ng non-positional number system.
Ang mga Romano ay nagsasaad ng mga numero na may mga letrang Latin. Bukod dito, isinulat nila ang mga numero ayon sa ilang mga patakaran. Mayroong isang listahan ng mga pangunahing simbolo sa Roman numeral system, sa tulong kung saan ang lahat ng mga numero ay naisulat nang walang pagbubukod.
| Numero (decimal) | Roman numeral (titik ng alpabetong Latin) |
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Mga panuntunan para sa pagbuo ng mga numero
Nakuha ang kinakailangang numero sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga palatandaan (mga letrang Latin) at pagkalkula ng kanilang kabuuan. Isaalang-alang natin kung paano simbolikong isinulat ang mga palatandaan sa sistemang Romano at kung paano ito dapat "basahin". Ilista natin ang mga pangunahing batas ng pagbubuo ng numero sa Roman non-positional number system.
- Ang bilang na apat - IV, ay binubuo ng dalawang character (I, V - isa at lima). Ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagbabawas ng mas maliit na sign mula sa mas malaki kung ito ay nasa kaliwa. Kapag ang mas maliit na karatula ay matatagpuan sa kanan, kailangan mong magdagdag, pagkatapos ay makuha mo ang numerong anim - VI.
- Kinakailangan na magdagdag ng dalawang magkaparehong palatandaan sa tabi ng bawat isa. Halimbawa: SS ay 200 (C ay 100), o XX ay 20.
- Kung ang unang sign ng isang numero ay mas mababa sa pangalawa, ang pangatlong character sa row na ito ay maaaring isang character na ang value ay mas mababa pa sa una. Upang maiwasan ang pagkalito, narito ang isang halimbawa: CDX - 410 (sa decimal).
- Maaaring katawanin ang ilang malalaking numero sa iba't ibang paraan, na isa sa mga disadvantage ng sistema ng pagbilang ng mga Romano. Narito ang ilang halimbawa: MVM (Roman)=1000 + (1000 - 5)=1995 (decimal) o MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. At hindi lang iyon.
Aritmetic trick
Non-positional number system ay minsan ay isang kumplikadong hanay ng mga panuntunan para sa pagbuo ng mga numero, ang kanilang pagproseso (mga aksyon sa kanila). Ang mga pagpapatakbo ng aritmetika sa mga non-positional number system ay hindi madalipara sa mga modernong tao. Hindi kami naiingit sa mga sinaunang Romanong matematiko!
Halimbawa ng karagdagan. Subukan nating magdagdag ng dalawang numero: XIX + XXVI=XXXV, ang gawaing ito ay isinasagawa sa dalawang hakbang:
- Una - kunin at idagdag ang mas maliliit na praksyon ng mga numero: IX + VI=XV (Ako pagkatapos ng V at ako bago ang X ay "magsisira" sa isa't isa).
- Pangalawa - magdagdag ng malalaking fraction ng dalawang numero: X + XX=XXX.
Ang pagbabawas ay medyo mas kumplikado. Ang bilang na babawasan ay dapat na hatiin sa mga elementong bumubuo nito, at pagkatapos ay ang mga dobleng character na bawasan sa bilang na bawasan at ibawas. Ibawas ang 263 sa 500:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
Roman numeral multiplication. Sa pamamagitan ng paraan, kinakailangang banggitin na ang mga Romano ay walang mga palatandaan ng mga pagpapatakbo ng aritmetika, ipinapahiwatig lamang nila ang mga ito sa mga salita.
Ang maramihang numero ay kailangang i-multiply sa bawat indibidwal na simbolo ng multiplier, na nagreresulta sa ilang produkto na kailangang idagdag. Ganito pinaparami ang mga polynomial.
Kung tungkol sa paghahati, ang prosesong ito sa Roman numeral system ay at nananatiling pinakamahirap. Ginamit dito ang sinaunang Roman abacus. Upang makatrabaho siya, ang mga tao ay espesyal na sinanay (at hindi lahat ng tao ay nagtagumpay sa gayong agham).
Sa mga disadvantage ng mga non-positional system
Tulad ng nabanggit sa itaas, ang mga non-positional number system ay may kani-kanilang mga disbentaha, mga abala sa paggamit. Ang unary ay sapat na simple para sa simpleng pagbilang, ngunit para sa aritmetika at kumplikadong mga kalkulasyon, ito ay hindisapat na.
Sa Roman ay walang pare-parehong tuntunin para sa pagbuo ng malalaking numero at lumilitaw ang pagkalito, at napakahirap ding gumawa ng mga kalkulasyon dito. Gayundin, ang pinakamalaking bilang na maaaring isulat ng mga sinaunang Romano sa kanilang pamamaraan ay 100,000.
