Sa matematika at pagpoproseso, ang konsepto ng analytical signal (para sa maikli - C, AC) ay isang kumplikadong function na walang mga negatibong bahagi ng frequency. Ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng hindi pangkaraniwang bagay na ito ay mga tunay na pag-andar na nauugnay sa bawat isa sa pamamagitan ng pagbabagong-anyo ng Hilbert. Ang analytical signal ay isang medyo pangkaraniwang phenomenon sa chemistry, ang esensya nito ay katulad ng matematikal na kahulugan ng konseptong ito.
Mga Pagganap
Ang Analytic na representasyon ng isang tunay na function ay isang analytic signal na naglalaman ng orihinal na function at ang Hilbert transform nito. Pinapadali ng representasyong ito ang maraming manipulasyon sa matematika. Ang pangunahing ideya ay ang mga negatibong bahagi ng dalas ng Fourier transform (o spectrum) ng isang tunay na function ay kalabisan dahil sa Hermitian symmetry ng naturang spectrum. Ang mga negatibong bahagi ng dalas na ito ay maaaring itapon nang walapagkawala ng impormasyon, sa kondisyon na gusto mong makitungo sa isang kumplikadong function sa halip. Ginagawa nitong mas naa-access ang ilang partikular na katangian ng feature at ginagawang mas madaling makuha ang mga diskarte sa modulation at demodulation gaya ng SSB.
Mga negatibong bahagi
Hangga't ang function na minamanipula ay walang mga negatibong bahagi ng dalas (ibig sabihin, ito ay analytic pa rin), ang pag-convert mula sa kumplikado pabalik sa tunay ay isang bagay lamang ng pagtatapon ng haka-haka na bahagi. Ang analytic na representasyon ay isang generalization ng konsepto ng isang vector: habang ang isang vector ay limitado sa isang time-invariant amplitude, phase, at frequency, isang qualitative analysis ng isang analytic signal ay nagbibigay-daan para sa time-varying parameters.
Instantaneous amplitude, instantaneous phase at frequency ay ginagamit sa ilang application para sukatin at makita ang mga lokal na feature ng C. Ang isa pang application ng analytical representation ay nauugnay sa demodulation ng modulated signals. Maginhawang pinaghihiwalay ng mga polar coordinates ang mga epekto ng AM at phase (o frequency) modulation at epektibong nagde-demodulate ng ilang uri.
Kung gayon ang isang simpleng low-pass na filter na may totoong coefficient ay maaaring maputol ang bahagi ng interes. Ang isa pang motibo ay upang babaan ang pinakamataas na dalas, na nagpapababa sa pinakamababang dalas para sa hindi alias sampling. Hindi pinapanghina ng frequency shift ang pagiging kapaki-pakinabang sa matematika ng representasyon. Kaya, sa ganitong kahulugan, ang downconverted ay analytic pa rin. Gayunpaman, ang pagpapanumbalik ng tunay na representasyonay hindi na isang simpleng bagay ng simpleng pagkuha ng tunay na sangkap. Maaaring kailanganin ang upconversion, at kung ang signal ay na-sample (discrete time), maaaring kailanganin din ang interpolation (upsampling) upang maiwasan ang pag-alyas.
Mga Variable
Ang konsepto ay mahusay na tinukoy para sa iisang variable na phenomena, na karaniwang pansamantala. Ang temporalidad na ito ay nakalilito sa maraming nagsisimulang mathematician. Para sa dalawa o higit pang mga variable, maaaring tukuyin ang analytic C sa iba't ibang paraan, at dalawang diskarte ang ipinakita sa ibaba.
Ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng phenomenon na ito ay tumutugma sa dalawang elemento ng isang vector-valued na monogenic signal, gaya ng tinukoy para sa mga katulad na phenomena na may isang variable. Gayunpaman, maaaring i-extend ang monogenic sa isang arbitrary na bilang ng mga variable sa simpleng paraan, na lumilikha ng (n + 1)-dimensional na vector function para sa kaso ng mga n-variable na signal.
Conversion ng signal
Maaari mong i-convert ang isang tunay na signal sa isang analytic sa pamamagitan ng pagdaragdag ng isang imaginary (Q) na bahagi, na kung saan ay ang Hilbert transform ng tunay na bahagi.
Nga pala, hindi na ito bago sa digital processing nito. Isa sa mga tradisyunal na paraan upang makabuo ng single sideband (SSB) AM, ang phasing method, ay kinabibilangan ng paglikha ng mga signal sa pamamagitan ng pagbuo ng Hilbert transform ng isang audio signal sa isang analog resistor-capacitor network. Dahil mayroon lang itong mga positibong frequency, madali itong i-convert sa isang modulated RF signal na may isang sideband lang.
Mga formula ng kahulugan
Ang Analytical signal expression ay isang holomorphic complex function na tinukoy sa hangganan ng upper complex na half-plane. Ang hangganan ng itaas na kalahating eroplano ay tumutugma sa random, kaya ang C ay ibinibigay ng mapping fa: R → C. Mula noong kalagitnaan ng huling siglo, nang iminungkahi ni Denis Gabor noong 1946 na gamitin ang hindi pangkaraniwang bagay na ito upang pag-aralan ang pare-pareho ang amplitude at yugto., ang signal ay nakahanap ng maraming mga aplikasyon. Ang kakaibang katangian ng hindi pangkaraniwang bagay na ito ay binigyang-diin [Vak96], kung saan ipinakita na ang qualitative analysis lamang ng analytical signal ay tumutugma sa mga pisikal na kondisyon para sa amplitude, phase at frequency.
Mga pinakabagong tagumpay
Sa nakalipas na ilang dekada, nagkaroon ng interes sa pag-aaral ng signal sa maraming dimensyon, na udyok ng mga problemang nagmumula sa mga field mula sa pagpoproseso ng larawan / video hanggang sa multidimensional oscillatory na proseso sa physics, tulad ng seismic, electromagnetic at mga alon ng gravitational. Sa pangkalahatan ay tinatanggap na, upang wastong gawing pangkalahatan ang analytic C (pagsusuri ng husay) sa kaso ng ilang mga dimensyon, dapat umasa ang isa sa isang algebraic na konstruksyon na nagpapalawak ng mga ordinaryong kumplikadong numero sa isang maginhawang paraan. Ang ganitong mga construction ay karaniwang tinatawag na hypercomplex number [SKE].
Sa wakas, posibleng makabuo ng hypercomplex analytic signal fh: Rd → S, kung saan kinakatawan ang ilang pangkalahatang hypercomplex algebraic system, na natural na nagpapalawak ng lahat ng kinakailangang katangian upang makakuha ng instant amplitude atyugto.
Pag-aaral
Ang isang bilang ng mga papel ay nakatuon sa iba't ibang mga isyu na may kaugnayan sa tamang pagpili ng hypercomplex number system, ang kahulugan ng hypercomplex Fourier transform at fractional Hilbert transforms para sa pag-aaral ng instant amplitude at phase. Karamihan sa gawaing ito ay batay sa mga katangian ng iba't ibang espasyo gaya ng Cd, quaternions, Clearon algebras, at Cayley-Dixon constructions.
Susunod, ililista lang namin ang ilan sa mga gawa na nakatuon sa pag-aaral ng signal sa maraming dimensyon. Sa pagkakaalam natin, ang mga unang gawa sa multivariate na pamamaraan ay nakuha noong unang bahagi ng 1990s. Kabilang dito ang gawa ni Ell [Ell92] sa hypercomplex transformations; Ang gawa ni Bulow sa generalization ng paraan ng analytical reaction (analytical signal) sa maraming sukat [BS01] at ang gawa ni Felsberg at Sommer sa monogenic signal.
Mga karagdagang prospect
Ang hypercomplex signal ay inaasahang magpapalawak ng lahat ng mga kapaki-pakinabang na katangian na mayroon kami sa 1D case. Una sa lahat, dapat nating i-extract at i-generalize ang instant amplitude at phase sa mga sukat. Pangalawa, ang Fourier spectrum ng isang kumplikadong analytic signal ay pinananatili lamang sa mga positibong frequency, kaya inaasahan namin na ang hypercomplex Fourier transform ay magkakaroon ng sarili nitong hypervalued spectrum, na pananatilihin lamang sa ilang positibong quadrant ng hypercomplex space. Dahil ito ay napakahalaga.
Ikatlo, pagsama-samahin ang mga bahagi ng isang kumplikadong konseptong analytic signal ay nauugnay sa Hilbert transform, at maaari nating asahan na ang mga conjugate na bahagi sa hypercomplex space ay dapat ding nauugnay sa ilang kumbinasyon ng Hilbert transforms. At sa wakas, sa katunayan, ang isang hypercomplex signal ay dapat tukuyin bilang isang extension ng ilang hypercomplex holomorphic function ng ilang hypercomplex variable na tinukoy sa hangganan ng ilang anyo sa isang hypercomplex space.
Tinatalakay namin ang mga isyung ito sa sunud-sunod na pagkakasunud-sunod. Una sa lahat, magsisimula tayo sa pamamagitan ng pagtingin sa Fourier integral formula at ipakita na ang Hilbert transform sa 1-D ay nauugnay sa binagong Fourier integral formula. Ang katotohanang ito ay nagbibigay-daan sa amin na tukuyin ang agarang amplitude, phase at frequency nang walang anumang reference sa hypercomplex number system at holomorphic function.
Pagbabago ng mga integral
Nagpapatuloy kami sa pamamagitan ng pagpapalawak ng binagong Fourier integral formula sa ilang dimensyon, at tinutukoy ang lahat ng kinakailangang phase-shifted na bahagi na maaari naming kolektahin sa agarang amplitude at phase. Pangalawa, bumaling tayo sa tanong ng pagkakaroon ng holomorphic function ng ilang hypercomplex variable. Pagkatapos ng [Sch93] lumalabas na ang commutative at associative hypercomplex algebra na nabuo ng isang set ng elliptic (e2i=−1) generator ay isang angkop na espasyo para mabuhay ang hypercomplex analytic signal, tinatawag namin ang gayong hypercomplex algebra na Schaefers space at tinutukoy itoSd.
Samakatuwid, ang hypercomplex ng analytic signal ay tinukoy bilang isang holomorphic function sa hangganan ng polydisk / itaas na kalahati ng eroplano sa ilang hypercomplex na espasyo, na tinatawag naming pangkalahatang Schaefers space, at tinutukoy ng Sd. Pagkatapos ay sinusunod namin ang bisa ng integral na formula ng Cauchy para sa mga function na Sd → Sd, na kinukuwenta sa isang hypersurface sa loob ng isang polydisk sa Sd at nakukuha ang kaukulang fractional na pagbabagong Hilbert na nauugnay sa hypercomplex conjugate na mga sangkap. Sa wakas, lumalabas na ang pagbabagong Fourier na may mga halaga sa espasyo ng Schaefers ay sinusuportahan lamang sa mga di-negatibong frequency. Salamat sa artikulong ito, natutunan mo kung ano ang isang analytical signal.
