Sa kurso ng paaralan ng solid geometry, ang isa sa pinakasimpleng figure na may mga non-zero na dimensyon kasama ang tatlong spatial axes ay isang quadrangular prism. Isaalang-alang sa artikulo kung anong uri ito ng figure, kung anong mga elemento ang binubuo nito, at kung paano mo rin makalkula ang surface area at volume nito.
Ang konsepto ng isang prisma
Sa geometry, ang prism ay isang spatial figure, na binubuo ng dalawang magkaparehong base at side surface na nag-uugnay sa mga gilid ng mga base na ito. Tandaan na ang parehong mga base ay binago sa isa't isa gamit ang operasyon ng parallel na pagsasalin ng ilang vector. Ang pagtatalagang ito ng prisma ay humahantong sa katotohanan na ang lahat ng panig nito ay palaging parallelogram.
Ang bilang ng mga gilid ng base ay maaaring maging arbitrary, simula sa tatlo. Kapag ang numerong ito ay may posibilidad na infinity, ang prism ay maayos na nagiging cylinder, dahil ang base nito ay nagiging bilog, at ang side parallelograms, na nagkokonekta, ay bumubuo ng cylindrical na ibabaw.
Tulad ng anumang polyhedron, ang isang prisma ay nailalarawan sa pamamagitan ngmga gilid (mga eroplano na nakagapos sa pigura), mga gilid (mga segment kung saan nagsalubong ang alinmang panig) at mga vertices (mga tagpuan ng tatlong panig, para sa isang prisma, dalawa sa kanila ay lateral, at ang pangatlo ay ang base). Ang mga dami ng pinangalanang tatlong elemento ng figure ay magkakaugnay ng sumusunod na expression:
P=C + B - 2
Dito ang P, C at B ay ang bilang ng mga gilid, gilid at vertices, ayon sa pagkakabanggit. Ang expression na ito ay ang mathematical notation ng Euler's theorem.
Ang larawan sa itaas ay nagpapakita ng dalawang prisma. Sa base ng isa sa mga ito (A) ay namamalagi ang isang regular na heksagono, at ang mga gilid na gilid ay patayo sa mga base. Ang Figure B ay nagpapakita ng isa pang prisma. Ang mga gilid nito ay hindi na patayo sa mga base, at ang base ay isang regular na pentagon.
Ano ang quadrangular prism?
Tulad ng malinaw mula sa paglalarawan sa itaas, ang uri ng prism ay pangunahing tinutukoy ng uri ng polygon na bumubuo sa base (parehong magkapareho ang mga base, kaya maaari nating pag-usapan ang isa sa mga ito). Kung ang polygon na ito ay isang paralelogram, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang quadrangular prism. Kaya, ang lahat ng panig ng ganitong uri ng prisma ay parallelograms. Ang quadrangular prism ay may sariling pangalan - isang parallelepiped.
Ang bilang ng mga gilid ng parallelepiped ay anim, at ang bawat panig ay may katulad na parallel dito. Dahil ang mga base ng kahon ay dalawang gilid, ang natitirang apat ay lateral.
Ang bilang ng mga vertices ng parallelepiped ay walo, na madaling makita kung naaalala natin na ang mga vertices ng prism ay nabuo lamang sa mga vertices ng base polygons (4x2=8). Sa paglalapat ng teorama ni Euler, nakukuha natin ang bilang ng mga gilid:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
Sa 12 ribs, 4 lang ang hiwalay na nabuo sa mga gilid. Ang natitirang 8 ay nasa mga eroplano ng mga base ng figure.
Sa karagdagang artikulo ay tatalakayin lamang natin ang tungkol sa mga quadrangular prism.
Mga uri ng parallelepiped
Ang unang uri ng pag-uuri ay ang mga tampok ng pinagbabatayan ng paralelogram. Maaaring ganito ang hitsura nito:
- regular, na ang mga anggulo ay hindi katumbas ng 90o;
- parihaba;
- ang parisukat ay isang regular na quadrilateral.
Ang pangalawang uri ng pag-uuri ay ang anggulo kung saan tumatawid ang gilid sa base. Dalawang magkaibang kaso ang posible dito:
- ang anggulong ito ay hindi tuwid, kung gayon ang prisma ay tinatawag na pahilig o pahilig;
- ang anggulo ay 90o, pagkatapos ay parihaba o tuwid lang ang naturang prisma.
Ang ikatlong uri ng pag-uuri ay nauugnay sa taas ng prisma. Kung ang prisma ay hugis-parihaba, at ang base ay alinman sa isang parisukat o isang parihaba, kung gayon ito ay tinatawag na isang cuboid. Kung mayroong isang parisukat sa base, ang prism ay hugis-parihaba, at ang taas nito ay katumbas ng haba ng gilid ng parisukat, pagkatapos ay makukuha natin ang kilalang cube figure.
Prism surface at area
Ang set ng lahat ng puntos na nasa dalawang base ng isang prisma(parallelograms) at sa mga gilid nito (apat na parallelograms) ang bumubuo sa ibabaw ng figure. Ang lugar ng ibabaw na ito ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng pagkalkula ng lugar ng base at ang halagang ito para sa gilid na ibabaw. Pagkatapos ang kanilang kabuuan ay magbibigay ng nais na halaga. Sa matematika, ito ay nakasulat bilang mga sumusunod:
S=2So+ Sb
Narito ang So at Sb ang lugar ng base at side surface, ayon sa pagkakabanggit. Lumalabas ang numero 2 bago ang So dahil may dalawang base.
Tandaan na ang nakasulat na formula ay wasto para sa anumang prisma, at hindi lamang para sa lugar ng isang quadrangular prism.
Kapaki-pakinabang na alalahanin na ang lugar ng parallelogram Sp ay kinakalkula ng formula:
Sp=ah
Kung saan tinutukoy ng mga simbolo na a at h ang haba ng isa sa mga gilid nito at ang taas na iginuhit sa gilid na ito, ayon sa pagkakasunod-sunod.
Ang lugar ng isang parihabang prism na may parisukat na base
Sa isang regular na quadrangular prism, ang base ay isang parisukat. Para sa katiyakan, tinutukoy namin ang panig nito sa pamamagitan ng titik a. Upang makalkula ang lugar ng isang regular na quadrangular prism, dapat mong malaman ang taas nito. Ayon sa kahulugan para sa dami na ito, ito ay katumbas ng haba ng patayo na bumaba mula sa isang base patungo sa isa pa, iyon ay, katumbas ng distansya sa pagitan nila. Tukuyin natin ito sa pamamagitan ng letrang h. Dahil ang lahat ng panig na mukha ay patayo sa mga base para sa uri ng prisma na isinasaalang-alang, ang taas ng isang regular na quadrangular prism ay magiging katumbas ng haba ng gilid nito.
BAng pangkalahatang pormula para sa ibabaw na lugar ng isang prisma ay dalawang termino. Ang lugar ng base sa kasong ito ay madaling kalkulahin, ito ay katumbas ng:
So=a2
Upang kalkulahin ang lugar ng lateral surface, pinagtatalunan namin ang mga sumusunod: ang ibabaw na ito ay nabuo ng 4 na magkaparehong parihaba. Bukod dito, ang mga gilid ng bawat isa sa kanila ay katumbas ng a at h. Nangangahulugan ito na ang lugar ng Sb ay magiging katumbas ng:
Sb=4ah
Tandaan na ang produkto 4a ay ang perimeter ng square base. Kung i-generalize natin ang expression na ito sa kaso ng isang arbitrary na base, kung gayon para sa isang parihabang prism ang side surface ay maaaring kalkulahin tulad ng sumusunod:
Sb=Poh
Kung saan ang Po ay ang perimeter ng base.
Bumalik sa problema sa pagkalkula ng area ng isang regular na quadrangular prism, maaari nating isulat ang huling formula:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Lugar ng isang oblique parallelepiped
Ang pagkalkula nito ay medyo mas mahirap kaysa sa isang hugis-parihaba. Sa kasong ito, ang base area ng quadrangular prism ay kinakalkula gamit ang parehong formula tulad ng parallelogram. Ang mga pagbabago ay may kinalaman sa paraan ng pagtukoy sa lateral surface area.
Upang gawin ito, gamitin ang parehong formula sa perimeter tulad ng ibinigay sa talata sa itaas. Ngayon lang magkakaroon ito ng bahagyang magkakaibang multiplier. Ang pangkalahatang formula para sa Sb sa kaso ng oblique prism ay:
Sb=Psrc
Narito ang c ay ang haba ng gilid na gilid ng figure. Ang value na Psr ay ang perimeter ng rectangular slice. Ang kapaligiran na ito ay itinayo bilang mga sumusunod: kinakailangang i-intersect ang lahat ng mga gilid na mukha sa isang eroplano upang ito ay patayo sa lahat ng mga ito. Ang magreresultang parihaba ay ang gustong gupitin.
Ang figure sa itaas ay nagpapakita ng isang halimbawa ng isang pahilig na kahon. Ang cross-hatched section nito ay bumubuo ng mga tamang anggulo sa mga gilid. Ang perimeter ng seksyon ay Psr. Ito ay nabuo sa pamamagitan ng apat na taas ng lateral parallelograms. Para sa quadrangular prism na ito, ang lateral surface area ay kinakalkula gamit ang formula sa itaas.
Ang haba ng dayagonal ng isang cuboid
Ang dayagonal ng isang parallelepiped ay isang segment na nag-uugnay sa dalawang vertice na walang mga karaniwang panig na bumubuo sa kanila. Mayroon lamang apat na diagonal sa anumang quadrangular prism. Para sa isang cuboid na may parihaba sa base nito, ang mga haba ng lahat ng diagonal ay pantay sa isa't isa.
Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng katumbas na figure. Ang pulang segment ay ang dayagonal nito.
Ang pagkalkula ng haba nito ay napakasimple, kung naaalala mo ang Pythagorean theorem. Makukuha ng bawat estudyante ang gustong formula. Mayroon itong sumusunod na anyo:
D=√(A2+ B2 + C2)
Narito ang D ang haba ng dayagonal. Ang natitirang mga character ay ang mga haba ng mga gilid ng kahon.
Maraming tao ang nalilito ang dayagonal ng isang parallelepiped sa mga dayagonal ng mga gilid nito. Nasa ibaba ang isang larawan kung saan ang kulayang mga segment ay kumakatawan sa mga dayagonal ng mga gilid ng figure.
Ang haba ng bawat isa sa kanila ay tinutukoy din ng Pythagorean theorem at katumbas ng square root ng kabuuan ng mga parisukat ng katumbas na haba ng gilid.
volume ng prism
Bilang karagdagan sa lugar ng isang regular na quadrangular prism o iba pang uri ng prism, upang malutas ang ilang mga geometric na problema, dapat mo ring malaman ang kanilang volume. Ang halagang ito para sa ganap na anumang prisma ay kinakalkula ng sumusunod na formula:
V=Soh
Kung ang prism ay hugis-parihaba, sapat na upang kalkulahin ang lugar ng base nito at i-multiply ito sa haba ng gilid ng gilid upang makuha ang volume ng figure.
Kung ang prism ay isang regular na quadrangular prism, ang volume nito ay magiging:
V=a2h.
Madaling makita na ang formula na ito ay na-convert sa isang expression para sa volume ng isang cube kung ang haba ng gilid na gilid h ay katumbas ng gilid ng base a.
Problema sa isang cuboid
Para pagsama-samahin ang pinag-aralan na materyal, lulutasin natin ang sumusunod na problema: mayroong isang parihabang parallelepiped na ang mga gilid ay 3 cm, 4 cm at 5 cm. Kinakailangang kalkulahin ang surface area, diagonal na haba at volume nito.
Para sa katiyakan, ipagpalagay natin na ang base ng figure ay isang parihaba na may mga gilid na 3 cm at 4 cm. Pagkatapos ang lawak nito ay 12 cm2, at ang tuldok ay 14 cm. Gamit ang formula para sa surface area ng prism, makukuha natin ang:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94cm2
Upang matukoy ang haba ng dayagonal at ang volume ng figure, maaari mong direktang gamitin ang mga expression sa itaas:
D=√(32+42+52)=7 071 cm;
V=345=60cm3.
Problema sa isang oblique parallelepiped
Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng oblique prism. Ang mga gilid nito ay pantay: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Kailangan mong hanapin ang surface area ng figure na ito.
Una, tukuyin natin ang lugar ng base. Ipinapakita ng figure na ang acute angle ay 50o. Kung gayon ang lugar nito ay:
So=ha=kasalanan(50o)ba
Upang matukoy ang lugar ng lateral surface, dapat mong hanapin ang perimeter ng shaded rectangle. Ang mga gilid ng rectangle na ito ay asin(45o) at bsin(60o). Kung gayon ang perimeter ng rectangle na ito ay:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
Ang kabuuang lugar sa ibabaw ng kahon na ito ay:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Pinapalitan namin ang data mula sa kondisyon ng problema para sa mga haba ng mga gilid ng figure, nakuha namin ang sagot:
S=458, 5496 cm3
Makikita mula sa solusyon ng problemang ito na ginagamit ang mga trigonometric function upang matukoy ang mga lugar ng mga pahilig na figure.
