Ang isang mekanikal na sistema na binubuo ng isang materyal na punto (katawan) na nakasabit sa isang hindi mapalawak na walang timbang na sinulid (ang masa nito ay bale-wala kumpara sa bigat ng katawan) sa isang pare-parehong gravity field ay tinatawag na mathematical pendulum (isa pang pangalan ay isang oscillator). May iba pang mga uri ng device na ito. Sa halip na isang sinulid, maaaring gumamit ng walang timbang na pamalo. Ang isang mathematical pendulum ay maaaring malinaw na ibunyag ang kakanyahan ng maraming mga kagiliw-giliw na phenomena. Sa maliit na amplitude ng oscillation, ang paggalaw nito ay tinatawag na harmonic.
Pangkalahatang-ideya ng mekanikal na sistema
Ang pormula para sa panahon ng oscillation ng pendulum na ito ay hinango ng Dutch scientist na si Huygens (1629-1695). Ang kontemporaryong ito ng I. Newton ay labis na mahilig sa mekanikal na sistemang ito. Noong 1656 nilikha niya ang unang pendulum na orasan. Sinukat nila ang oras nang may katangi-tangingpara sa mga oras na katumpakan. Ang imbensyon na ito ay naging isang pangunahing milestone sa pagbuo ng mga pisikal na eksperimento at praktikal na aktibidad.
Kung ang pendulum ay nasa equilibrium (nakabitin nang patayo), ang puwersa ng grabidad ay magiging balanse sa pamamagitan ng puwersa ng pag-igting ng sinulid. Ang isang patag na palawit sa isang hindi mapapahaba na sinulid ay isang sistema na may dalawang antas ng kalayaan na may koneksyon. Kapag binago mo ang isang bahagi lamang, nagbabago ang mga katangian ng lahat ng bahagi nito. Kaya, kung ang thread ay pinalitan ng isang baras, ang mekanikal na sistemang ito ay magkakaroon lamang ng 1 antas ng kalayaan. Ano ang mga katangian ng isang mathematical pendulum? Sa pinakasimpleng sistemang ito, lumilitaw ang kaguluhan sa ilalim ng impluwensya ng pana-panahong kaguluhan. Sa kaso kapag ang suspension point ay hindi gumagalaw, ngunit oscillates, ang pendulum ay may isang bagong posisyon ng balanse. Sa mabilis na pataas at pababang mga oscillation, ang mekanikal na sistemang ito ay nakakakuha ng isang matatag na nakabaligtad na posisyon. May sarili din siyang pangalan. Ito ay tinatawag na Kapitza's pendulum.
Mga katangian ng Pendulum
Mathematical pendulum ay may napakakawili-wiling mga katangian. Lahat ng mga ito ay kinumpirma ng mga kilalang pisikal na batas. Ang panahon ng oscillation ng anumang iba pang pendulum ay nakasalalay sa iba't ibang mga pangyayari, tulad ng laki at hugis ng katawan, ang distansya sa pagitan ng punto ng suspensyon at ang sentro ng grabidad, ang pamamahagi ng masa na may kaugnayan sa puntong ito. Iyon ang dahilan kung bakit ang pagtukoy sa panahon ng isang nakabitin na katawan ay isang mahirap na gawain. Mas madaling kalkulahin ang panahon ng isang mathematical pendulum, ang formula kung saan ibibigay sa ibaba. Bilang resulta ng mga obserbasyon ng mga katuladAng mga mekanikal na sistema ay maaaring magtatag ng mga sumusunod na pattern:
• Kung, habang pinapanatili ang parehong haba ng pendulum, nagsabit tayo ng magkakaibang mga timbang, kung gayon ang panahon ng kanilang mga oscillations ay magiging pareho, bagama't ang kanilang mga masa ay mag-iiba nang malaki. Samakatuwid, ang panahon ng naturang pendulum ay hindi nakadepende sa masa ng pagkarga.
• Kapag sinimulan ang system, kung ang pendulum ay nalihis ng hindi masyadong malaki, ngunit magkaibang mga anggulo, magsisimula itong mag-oscillate sa parehong panahon, ngunit may magkakaibang mga amplitude. Hangga't ang mga paglihis mula sa sentro ng ekwilibriyo ay hindi masyadong malaki, ang mga oscillations sa kanilang anyo ay magiging malapit sa mga harmonic. Ang panahon ng naturang pendulum ay hindi nakasalalay sa amplitude ng oscillation sa anumang paraan. Ang katangian ng mekanikal na sistemang ito ay tinatawag na isochronism (isinalin mula sa Greek na "chronos" - oras, "isos" - katumbas).
Panahon ng mathematical pendulum
Ang indicator na ito ay kumakatawan sa panahon ng mga natural na oscillations. Sa kabila ng kumplikadong mga salita, ang proseso mismo ay napaka-simple. Kung ang haba ng thread ng isang mathematical pendulum ay L, at ang acceleration ng free fall ay g, ang value na ito ay:
T=2π√L/g
Ang panahon ng maliliit na natural na oscillations ay hindi nakadepende sa mass ng pendulum at sa amplitude ng oscillations. Sa kasong ito, gumagalaw ang pendulum na parang mathematical pendulum na may pinababang haba.
Swings ng mathematical pendulum
Nag-o-oscillate ang isang mathematical pendulum, na maaaring ilarawan sa pamamagitan ng isang simpleng differential equation:
x + ω2 sin x=0, kung saan ang x (t) ay isang hindi kilalang function (ito ang anggulo ng paglihis mula sa ibabaposisyon ng balanse sa oras t, na ipinahayag sa radians); Ang ω ay isang positive constant, na tinutukoy mula sa mga parameter ng pendulum (ω=√g/L, kung saan ang g ay ang free fall acceleration at L ay ang haba ng mathematical pendulum (suspension).
Ang equation ng maliliit na pagbabagu-bago malapit sa posisyon ng equilibrium (harmonic equation) ay ganito ang hitsura:
x + ω2 sin x=0
Mga oscillatory na paggalaw ng pendulum
Isang mathematical pendulum na gumagawa ng maliliit na oscillations na gumagalaw sa isang sinusoid. Natutugunan ng second-order differential equation ang lahat ng kinakailangan at parameter ng naturang paggalaw. Upang matukoy ang trajectory, dapat mong tukuyin ang bilis at coordinate, kung saan matutukoy ang mga independiyenteng constant:
x=Isang kasalanan (θ0 + ωt), kung saan ang θ0 ay ang paunang yugto, A ay ang oscillation amplitude, ω ay ang cyclic frequency na tinutukoy mula sa equation ng paggalaw.
Mathematical pendulum (mga formula para sa malalaking amplitude)
Ang mekanikal na sistemang ito, na gumagawa ng mga oscillations nito na may makabuluhang amplitude, ay sumusunod sa mas kumplikadong mga batas ng paggalaw. Para sa naturang pendulum, kinakalkula ang mga ito sa pamamagitan ng formula:
sin x/2=usn(ωt/u), kung saan ang sn ay ang Jacobi sine, na para sa u < 1 ay isang periodic function, at para sa maliit na u ito ay nag-tutugma sa isang simpleng trigonometric sine. Ang halaga ng u ay tinutukoy ng sumusunod na expression:
u=(ε + ω2)/2ω2, kung saan ε=E/mL2 (mL2 ay ang enerhiya ng pendulum).
Pagtukoy sa panahon ng oscillation ng isang non-linear pendulumisinasagawa ayon sa formula:
T=2π/Ω, kung saan ang Ω=π/2ω/2K(u), ang K ay ang elliptic integral, π - 3, 14.
Paggalaw ng pendulum sa kahabaan ng separatrix
Ang separatrix ay isang trajectory ng dynamical system na may two-dimensional phase space. Ang mathematical pendulum ay gumagalaw kasama nito nang hindi pana-panahon. Sa isang napakalayo na sandali ng oras, bumabagsak ito mula sa matinding itaas na posisyon patungo sa gilid na may zero velocity, pagkatapos ay unti-unting kinuha ito. Sa kalaunan ay huminto ito, bumabalik sa orihinal nitong posisyon.
Kung ang amplitude ng mga oscillations ng pendulum ay lumalapit sa bilang na π, ito ay nagpapahiwatig na ang paggalaw sa phase plane ay papalapit sa separatrix. Sa kasong ito, sa ilalim ng pagkilos ng isang maliit na pana-panahong puwersa sa pagmamaneho, ang mekanikal na sistema ay nagpapakita ng magulong gawi.
Kapag ang mathematical pendulum ay lumihis mula sa posisyon ng ekwilibriyo na may isang tiyak na anggulo φ, isang tangential force ng gravity Fτ=–mg sin φ ang bumangon. Ang minus sign ay nangangahulugan na ang tangential component na ito ay nakadirekta sa tapat na direksyon mula sa pendulum deflection. Kapag ang displacement ng pendulum sa kahabaan ng arc ng isang bilog na may radius L ay tinutukoy ng x, ang angular displacement nito ay katumbas ng φ=x/L. Ang pangalawang batas ni Isaac Newton, na idinisenyo para sa mga projection ng acceleration vector at force, ay magbibigay ng gustong halaga:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Batay sa ratio na ito, malinaw na ang pendulum na ito ay isang non-linear system, dahil ang puwersa na naglalayong bumalikito sa equilibrium na posisyon, ay palaging proporsyonal hindi sa displacement x, ngunit sa kasalanan x/L.
Tanging kapag ang mathematical pendulum ay gumagawa ng maliliit na oscillations, ito ay isang harmonic oscillator. Sa madaling salita, ito ay nagiging isang mekanikal na sistema na may kakayahang magsagawa ng mga harmonic vibrations. Ang pagtatantya na ito ay praktikal na wasto para sa mga anggulo na 15–20°. Ang mga pendulum oscillations na may malalaking amplitude ay hindi harmonic.
Newton's law para sa maliliit na oscillations ng pendulum
Kung ang mekanikal na sistemang ito ay nagsasagawa ng maliliit na vibrations, magiging ganito ang hitsura ng ikalawang batas ni Newton:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Batay dito, mahihinuha natin na ang tangential acceleration ng mathematical pendulum ay proporsyonal sa displacement nito na may minus sign. Ito ang kondisyon kung saan ang sistema ay nagiging isang harmonic oscillator. Ang modulus ng proportional gain sa pagitan ng displacement at acceleration ay katumbas ng square ng circular frequency:
ω02=g/L; ω0=√ g/L.
Ang formula na ito ay sumasalamin sa natural na dalas ng maliliit na oscillations ng ganitong uri ng pendulum. Batay dito, T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Mga kalkulasyon batay sa batas ng konserbasyon ng enerhiya
Ang mga katangian ng mga oscillatory na paggalaw ng pendulum ay maaari ding ilarawan gamit ang batas ng konserbasyon ng enerhiya. Sa kasong ito, dapat itong isaalang-alang na ang potensyal na enerhiya ng pendulum sa gravitational field ay:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Kabuuang mekanikal na enerhiyakatumbas ng kinetic o maximum na potensyal: Epmax=Ekmsx=E
Pagkatapos maisulat ang batas ng konserbasyon ng enerhiya, kunin ang derivative ng kanan at kaliwang bahagi ng equation:
Ep + Ek=const
Dahil ang derivative ng constant values ay 0, kung gayon (Ep + Ek)'=0. Ang derivative ng sum ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, kaya:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Batay sa huling formula, makikita natin ang: α=- g/Lx.
Praktikal na aplikasyon ng mathematical pendulum
Ang acceleration ng free fall ay nag-iiba ayon sa heyograpikong latitude, dahil ang density ng crust ng earth sa buong planeta ay hindi pareho. Kung saan nangyayari ang mga bato na may mas mataas na density, medyo mas mataas ito. Ang acceleration ng isang mathematical pendulum ay kadalasang ginagamit para sa geological exploration. Ginagamit ito sa paghahanap ng iba't ibang mineral. Sa pamamagitan lamang ng pagbilang ng bilang ng mga pag-indayog ng pendulum, makakahanap ka ng karbon o mineral sa bituka ng Earth. Ito ay dahil sa katotohanan na ang mga naturang fossil ay may density at mass na mas malaki kaysa sa mga malalawak na batong nasa ilalim ng mga ito.
Ang mathematical pendulum ay ginamit ng mga kilalang siyentipiko gaya nina Socrates, Aristotle, Plato, Plutarch, Archimedes. Marami sa kanila ang naniniwala na ang mekanikal na sistemang ito ay maaaring makaimpluwensya sa kapalaran at buhay ng isang tao. Gumamit si Archimedes ng mathematical pendulum sa kanyang mga kalkulasyon. Sa panahon ngayon, maraming okultista at saykikogamitin ang mekanikal na sistemang ito para matupad ang kanilang mga propesiya o maghanap ng mga nawawalang tao.
Ang sikat na French astronomer at naturalist na si K. Flammarion ay gumamit din ng mathematical pendulum para sa kanyang pananaliksik. Inangkin niya na sa kanyang tulong ay nahulaan niya ang pagtuklas ng isang bagong planeta, ang hitsura ng Tunguska meteorite at iba pang mahahalagang kaganapan. Noong Ikalawang Digmaang Pandaigdig sa Alemanya (Berlin) isang dalubhasang Pendulum Institute ang nagtrabaho. Ngayon, ang Munich Institute of Parapsychology ay nakikibahagi sa katulad na pananaliksik. Tinatawag ng mga empleyado ng institusyong ito ang kanilang trabaho gamit ang pendulum na “radiesthesia.”
