Leonhard Euler (1707-1783) - sikat na Swiss at Russian mathematician, miyembro ng St. Petersburg Academy of Sciences, nabuhay halos buong buhay niya sa Russia. Ang pinakasikat sa mathematical analysis, statistics, computer science at logic ay ang Euler circle (Euler-Venn diagram), na ginagamit upang tukuyin ang saklaw ng mga konsepto at set ng mga elemento.
John Venn (1834-1923) - English philosopher at logician, co-author ng Euler-Venn diagram.
Mga katugma at hindi tugmang konsepto
Sa ilalim ng konsepto sa lohika ay nangangahulugan ng isang anyo ng pag-iisip na sumasalamin sa mga mahahalagang katangian ng isang klase ng mga homogenous na bagay. Ang mga ito ay tinutukoy ng isa o isang pangkat ng mga salita: "mapa ng mundo", "nangingibabaw na ikalima-ikapitong chord", "Lunes", atbp.
Sa kaso kung ang mga elemento ng saklaw ng isang konsepto ay ganap o bahagyang nabibilang sa saklaw ng isa pa, ang isa ay nagsasalita ng mga magkatugmang konsepto. Kung, gayunpaman, walang elemento ng saklaw ng isang partikular na konsepto ang nabibilang sa saklaw ng iba, mayroon kaming mga hindi tugmang konsepto.
Sa turn, ang bawat uri ng konsepto ay may sariling hanay ng mga posibleng ugnayan. Para sa mga katugmang konsepto, ito ay:
- pagkakakilanlan (katumbas) ng mga volume;
- crossing (partial match)mga volume;
- subordination (subordination).
Para sa hindi tugma:
- subordination (koordinasyon);
- kabaligtaran (contrarality);
- contradiction (contradiction).
Sa eskematiko, ang mga ugnayan sa pagitan ng mga konsepto sa lohika ay karaniwang tinutukoy gamit ang mga lupon ng Euler-Venn.
Mga katumbas na relasyon
Sa kasong ito, ang mga konsepto ay nangangahulugan ng parehong paksa. Alinsunod dito, ang mga volume ng mga konseptong ito ay ganap na pareho. Halimbawa:
A - Sigmund Freud;
Ang
B ay ang nagtatag ng psychoanalysis.
O:
Ang
A ay isang parisukat;
Ang
B ay isang equilateral rectangle;
Ang
C ay isang equiangular rhombus.
Ganap na magkatugma ang mga lupon ng Euler ay ginagamit para sa pagtatalaga.
Intersection (partial match)
Kabilang sa kategoryang ito ang mga konseptong may mga karaniwang elemento na nauugnay sa pagtawid. Ibig sabihin, ang dami ng isa sa mga konsepto ay bahagyang kasama sa dami ng isa pa:
A - guro;
Ang
B ay isang music lover.
Gaya ng makikita sa halimbawang ito, ang dami ng mga konsepto ay bahagyang nag-tutugma: ang isang partikular na grupo ng mga guro ay maaaring maging mahilig sa musika, at kabaliktaran - maaaring may mga kinatawan ng propesyon ng pagtuturo sa mga mahilig sa musika. Ang isang katulad na saloobin ay magiging sa kaso kapag ang konsepto A ay, halimbawa, isang "mamamayan", at B ay isang "driver".
Subordination (subordination)
Schematically denoted bilang Euler circles ng iba't ibang scale. Relasyonsa pagitan ng mga konsepto sa kasong ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng katotohanan na ang subordinate na konsepto (mas maliit sa dami) ay ganap na kasama sa subordinate (mas malaki sa dami). Kasabay nito, hindi lubos na nauubos ng subordinate na konsepto ang subordinate.
Halimbawa:
A - puno;
B - pine.
Ang konsepto B ay magiging subordinate sa konsepto A. Dahil ang pine ay kabilang sa mga puno, ang konsepto A sa halimbawang ito ay nagiging subordinate, "sumisipsip" sa saklaw ng konsepto B.
Koordinasyon (koordinasyon)
Ang kaugnayan ay nagpapakilala sa dalawa o higit pang mga konsepto na nagbubukod sa isa't isa, ngunit kabilang sa isang partikular na karaniwang generic na bilog. Halimbawa:
A – klarinete;
B - gitara;
C - byolin;
Ang
D ay isang instrumentong pangmusika.
Ang mga konseptong A, B, C ay hindi nagsasalubong sa isa't isa, gayunpaman, lahat sila ay nabibilang sa kategorya ng mga instrumentong pangmusika (ang konsepto D).
Kabaligtaran (salungat)
Ang magkasalungat na relasyon sa pagitan ng mga konsepto ay nagpapahiwatig na ang mga konseptong ito ay kabilang sa parehong genus. Kasabay nito, ang isa sa mga konsepto ay may ilang mga katangian (mga tampok), habang ang iba ay tinanggihan ang mga ito, na pinapalitan ang mga ito ng kabaligtaran sa kalikasan. Kaya, tayo ay nakikitungo sa mga antonim. Halimbawa:
A ay isang dwarf;
Ang
B ay isang higante.
Euler circle na may magkasalungat na ugnayan sa pagitan ng mga konseptoay nahahati sa tatlong segment, ang una ay tumutugma sa konsepto A, ang pangalawa sa konsepto B, at ang pangatlo sa lahat ng iba pang posibleng konsepto.
Contradiction (contradiction)
Sa kasong ito, ang parehong mga konsepto ay mga species ng parehong genus. Tulad ng sa nakaraang halimbawa, ang isa sa mga konsepto ay nagpapahiwatig ng ilang mga katangian (mga tampok), habang ang iba ay tinatanggihan ang mga ito. Gayunpaman, sa kaibahan sa kaugnayan ng mga magkasalungat, ang pangalawa, kabaligtaran na konsepto ay hindi pinapalitan ang mga tinanggihan na pag-aari ng iba, mga alternatibo. Halimbawa:
Ang
A ay isang mahirap na gawain;
Ang
B ay isang madaling gawain (hindi-A).
Ipinapahayag ang dami ng mga konsepto ng ganitong uri, ang Euler circle ay nahahati sa dalawang bahagi - ang pangatlo, intermediate na link sa kasong ito ay hindi umiiral. Kaya, ang mga konsepto ay kasalungat din. Kasabay nito, ang isa sa kanila (A) ay nagiging positibo (nagpapatibay ng ilang tampok), at ang pangalawa (B o hindi A) ay nagiging negatibo (nagpapawalang-bisa sa kaukulang tampok): "puting papel" - "hindi puting papel", " pambansang kasaysayan” – “kasaysayan ng ibang bansa”, atbp.
Kaya, ang ratio ng mga volume ng mga konsepto na nauugnay sa isa't isa ay isang pangunahing katangian na tumutukoy sa mga lupon ng Euler.
Mga relasyon sa pagitan ng mga hanay
Kailangan ding makilala ang mga konsepto ng mga elemento at set, na ang dami nito ay ipinapakita ng mga lupon ng Euler. Ang konsepto ng isang set ay hiniram mula sa agham ng matematika at may medyo malawak na kahulugan. Ang mga halimbawa sa lohika at matematika ay nagpapakita nito bilang isang tiyak na hanay ng mga bagay. Ang mga bagay mismo aymga elemento ng set na ito. "Many is many thought as one" (Georg Kantor, tagapagtatag ng set theory).
Ang mga set ay itinalaga sa malalaking titik: A, B, C, D… atbp., ang mga elemento ng set ay itinalaga sa maliliit na titik: a, b, c, d… atbp. Ang mga halimbawa ng set ay maaaring mga mag-aaral na ay nasa isang silid-aralan, mga aklat sa isang partikular na istante (o, halimbawa, lahat ng mga aklat sa isang partikular na aklatan), mga pahina sa isang talaarawan, mga berry sa paglilinis ng kagubatan, atbp.
Sa turn, kung ang isang tiyak na hanay ay hindi naglalaman ng isang elemento, ito ay tinatawag na walang laman at tinutukoy ng tanda na Ø. Halimbawa, ang set ng mga intersection point ng parallel lines, ang set ng mga solusyon sa equation na x2=-5.
Paglutas ng problema
Ang mga lupon ng Euler ay aktibong ginagamit upang malutas ang isang malaking bilang ng mga problema. Ang mga halimbawa sa lohika ay malinaw na nagpapakita ng koneksyon sa pagitan ng mga lohikal na operasyon at set theory. Sa kasong ito, ginagamit ang mga talahanayan ng katotohanan ng mga konsepto. Halimbawa, ang bilog na may label na A ay kumakatawan sa rehiyon ng katotohanan. Kaya ang lugar sa labas ng bilog ay kakatawan ng false. Upang matukoy ang lugar ng diagram para sa isang lohikal na operasyon, dapat mong lilim ang mga lugar na tumutukoy sa bilog ng Euler, kung saan ang mga halaga nito para sa mga elemento A at B ay magiging totoo.
Ang paggamit ng Euler circles ay nakahanap ng malawak na praktikal na aplikasyon sa iba't ibang industriya. Halimbawa, sa isang sitwasyon na may isang propesyonal na pagpipilian. Kung ang paksa ay nag-aalala tungkol sa pagpili ng isang propesyon sa hinaharap, maaari siyang magabayan ng mga sumusunod na pamantayan:
W – ano ang gusto kong gawin?
D – ano ang ginagawa ko?
P– paano ako kikita ng magandang pera?
Iguhit natin ito bilang isang diagram: Euler circles (mga halimbawa sa logic - intersection relation):
Ang magiging resulta ay ang mga propesyon na nasa intersection ng lahat ng tatlong bilog.
Ang
Euler-Venn circles ay sumasakop sa isang hiwalay na lugar sa matematika (set theory) kapag kinakalkula ang mga kumbinasyon at katangian. Ang mga bilog na Euler ng hanay ng mga elemento ay nakapaloob sa larawan ng isang parihaba na nagsasaad ng unibersal na hanay (U). Sa halip na mga bilog, maaari ding gumamit ng iba pang mga closed figure, ngunit ang kakanyahan nito ay hindi nagbabago. Ang mga figure ay bumalandra sa bawat isa, ayon sa mga kondisyon ng problema (sa pinaka-pangkalahatang kaso). Gayundin, ang mga figure na ito ay dapat na may label na naaayon. Ang mga elemento ng mga set na isinasaalang-alang ay maaaring mga puntos na matatagpuan sa loob ng iba't ibang mga segment ng diagram. Batay dito, maaari mong lilim ang mga partikular na lugar, sa gayon ay itinalaga ang mga bagong nabuong hanay.
Sa mga hanay na ito, posibleng magsagawa ng mga pangunahing operasyong matematikal: pagdaragdag (kabuuan ng mga hanay ng mga elemento), pagbabawas (pagkakaiba), pagpaparami (produkto). Bilang karagdagan, salamat sa mga diagram ng Euler-Venn, posibleng paghambingin ang mga set ayon sa bilang ng mga elementong kasama sa mga ito, hindi binibilang ang mga ito.
