Naakit ng Polyhedra ang atensyon ng mga mathematician at scientist kahit noong sinaunang panahon. Itinayo ng mga Egyptian ang mga piramide. At pinag-aralan ng mga Greek ang "regular polyhedra". Minsan tinatawag silang Platonic solids. Ang "tradisyunal na polyhedra" ay binubuo ng mga patag na mukha, mga tuwid na gilid, at mga vertice. Ngunit ang pangunahing tanong ay palaging kung anong mga tuntunin ang dapat matupad ng mga magkakahiwalay na bahagi, pati na rin kung anong mga karagdagang pandaigdigang kundisyon ang dapat matugunan upang ang isang bagay ay maging kwalipikado bilang isang polyhedron. Ang sagot sa tanong na ito ay ipapakita sa artikulo.
Mga problema sa kahulugan
Ano ang binubuo ng figure na ito? Ang polyhedron ay isang saradong solidong hugis na may mga patag na mukha at tuwid na mga gilid. Samakatuwid, ang unang problema ng kahulugan nito ay maaaring tawaging tiyak na mga gilid ng pigura. Hindi lahat ng mga mukha na nakahiga sa mga eroplano ay palaging tanda ng isang polyhedron. Kunin natin ang "triangular cylinder" bilang isang halimbawa. Ano ang binubuo nito? Bahagi ng ibabaw nito tatlo sa pareshindi maituturing na polygons ang mga intersecting vertical planes. Ang dahilan ay wala itong vertex. Ang ibabaw ng naturang pigura ay nabuo batay sa tatlong sinag na nagsasalubong sa isang punto.
Isa pang problema - mga eroplano. Sa kaso ng "triangular cylinder" ito ay namamalagi sa kanilang walang limitasyong mga bahagi. Ang figure ay itinuturing na matambok kung ang line segment na nagkokonekta sa alinmang dalawang punto sa set ay nasa loob din nito. Ipakita natin ang isa sa kanilang mahahalagang katangian. Para sa mga convex set, ito ay ang set ng mga puntos na karaniwan sa set ay pareho. May isa pang uri ng figure. Ito ay hindi matambok na 2D polyhedra na maaaring may mga bingot o butas.
Mga hugis na hindi polyhedra
Ang isang patag na hanay ng mga punto ay maaaring magkaiba (halimbawa, hindi matambok) at hindi nakakatugon sa karaniwang kahulugan ng isang polyhedron. Kahit na sa pamamagitan nito, nililimitahan ito ng mga seksyon ng mga linya. Ang mga linya ng isang convex polyhedron ay binubuo ng mga convex figure. Gayunpaman, ang diskarte na ito sa kahulugan ay hindi kasama ang isang figure na pupunta sa infinity. Ang isang halimbawa nito ay tatlong sinag na hindi nagsasalubong sa parehong punto. Ngunit sa parehong oras, sila ay konektado sa mga vertices ng isa pang figure. Ayon sa kaugalian, mahalaga para sa isang polyhedron na ito ay binubuo ng mga patag na ibabaw. Ngunit sa paglipas ng panahon, lumawak ang konsepto, na humantong sa isang makabuluhang pagpapabuti sa pag-unawa sa orihinal na "mas makitid" na klase ng polyhedra, pati na rin ang paglitaw ng isang bago, mas malawak na kahulugan.
Tama
Ipakilala natin ang isa pang kahulugan. Ang isang regular na polyhedron ay isa kung saan ang bawat mukha ay isang kaparehong regularconvex polygons, at lahat ng vertices ay "pareho". Nangangahulugan ito na ang bawat vertex ay may parehong bilang ng mga regular na polygon. Gamitin ang kahulugang ito. Kaya makakahanap ka ng limang regular na polyhedra.
Mga unang hakbang sa theorem ni Euler para sa polyhedra
Alam ng mga Greek ang tungkol sa polygon, na ngayon ay tinatawag na pentagram. Ang polygon na ito ay maaaring tawaging regular dahil ang lahat ng panig nito ay pantay ang haba. Mayroon ding isa pang mahalagang tala. Ang anggulo sa pagitan ng dalawang magkasunod na panig ay palaging pareho. Gayunpaman, kapag iginuhit sa isang eroplano, hindi nito tinukoy ang isang convex set, at ang mga gilid ng polyhedron ay nagsalubong sa bawat isa. Gayunpaman, hindi ito palaging nangyari. Matagal nang isinasaalang-alang ng mga mathematician ang ideya ng "non-convex" na regular na polyhedra. Ang pentagram ay isa sa kanila. Ang "Star polygons" ay pinayagan din. Ilang bagong halimbawa ng "regular polyhedra" ang natuklasan. Ngayon sila ay tinatawag na Kepler-Poinsot polyhedra. Nang maglaon, pinalawig nina G. S. M. Coxeter at Branko Grünbaum ang mga panuntunan at natuklasan ang iba pang "regular polyhedra".
Polyhedral formula
Ang sistematikong pag-aaral ng mga figure na ito ay nagsimula nang medyo maaga sa kasaysayan ng matematika. Si Leonhard Euler ang unang nakapansin na ang isang formula na nag-uugnay sa bilang ng kanilang mga vertice, mukha at gilid ay may hawak para sa convex 3D polyhedra.
Ganito ang hitsura niya:
V + F - E=2, kung saan ang V ay ang bilang ng mga polyhedral vertices, ang F ay ang bilang ng mga gilid ng polyhedra, at ang E ay ang bilang ng mga mukha.
Si Leonhard Euler ay Swissmathematician na itinuturing na isa sa pinakadakila at pinaka-produktibong siyentipiko sa lahat ng panahon. Siya ay bulag sa halos buong buhay niya, ngunit ang pagkawala ng kanyang paningin ay nagbigay sa kanya ng dahilan upang maging mas produktibo. Mayroong ilang mga formula na ipinangalan sa kanya, at ang isa na tiningnan lang namin ay tinatawag minsan na Euler polyhedra formula.
May isang paglilinaw. Ang formula ni Euler, gayunpaman, ay gumagana lamang para sa polyhedra na sumusunod sa ilang mga patakaran. Nagsisinungaling sila sa katotohanan na ang form ay hindi dapat magkaroon ng anumang mga butas. At hindi katanggap-tanggap na tumawid ito sa sarili. Ang polyhedron ay hindi rin maaaring binubuo ng dalawang bahagi na pinagdugtong, tulad ng dalawang cube na may parehong vertex. Binanggit ni Euler ang resulta ng kanyang pananaliksik sa isang liham kay Christian Goldbach noong 1750. Nang maglaon, naglathala siya ng dalawang papel kung saan inilarawan niya kung paano niya sinubukang maghanap ng patunay ng kanyang bagong natuklasan. Sa katunayan, may mga form na nagbibigay ng ibang sagot sa V + F - E. Ang sagot sa kabuuan F + V - E=X ay tinatawag na Euler na katangian. May ibang aspeto siya. Ang ilang mga hugis ay maaaring may Euler na katangian na negatibo
Teoryang Graph
Minsan sinasabing nakuha ni Descartes ang theorem ni Euler nang mas maaga. Bagama't natuklasan ng siyentipikong ito ang mga katotohanan tungkol sa tatlong-dimensional na polyhedra na magpapahintulot sa kanya na makuha ang ninanais na pormula, hindi niya ginawa ang karagdagang hakbang na ito. Ngayon, si Euler ay kinikilala bilang "ama" ng teorya ng graph. Nalutas niya ang problema ng tulay ng Konigsberg gamit ang kanyang mga ideya. Ngunit ang siyentipiko ay hindi tumingin sa polyhedron sa kontekstoteorya ng graph. Sinubukan ni Euler na magbigay ng patunay ng isang formula batay sa pagkabulok ng isang polyhedron sa mas simpleng mga bahagi. Ang pagtatangkang ito ay kulang sa mga modernong pamantayan para sa patunay. Bagaman hindi nagbigay ng unang tamang katwiran si Euler para sa kanyang pormula, hindi maaaring patunayan ng isa ang mga haka-haka na hindi pa nagagawa. Gayunpaman, ang mga resulta, na pinatunayan sa ibang pagkakataon, ay ginagawang posible na gamitin din ang teorama ni Euler sa kasalukuyang panahon. Ang unang patunay ay nakuha ng mathematician na si Adrian Marie Legendre.
Patunay ng formula ni Euler
Euler unang bumalangkas ng polyhedral formula bilang isang theorem sa polyhedra. Ngayon ito ay madalas na itinuturing sa mas pangkalahatang konteksto ng mga konektadong mga graph. Halimbawa, bilang mga istruktura na binubuo ng mga punto at mga segment ng linya na nagkokonekta sa kanila, na nasa parehong bahagi. Si Augustin Louis Cauchy ang unang taong nakahanap ng mahalagang koneksyon na ito. Nagsilbi itong patunay ng teorama ni Euler. Siya, sa esensya, ay napansin na ang graph ng isang convex polyhedron (o kung ano ang tinatawag ngayon ay ganoon) ay topologically homeomorphic sa isang globo, ay may planar na konektadong graph. Ano ito? Ang planar graph ay isa na iginuhit sa eroplano sa paraan na ang mga gilid nito ay nagtatagpo o nagsalubong lamang sa isang vertex. Dito natagpuan ang koneksyon sa pagitan ng theorem ni Euler at mga graph.
Isang indikasyon ng kahalagahan ng resulta ay na si David Epstein ay nakakolekta ng labimpitong iba't ibang piraso ng ebidensya. Mayroong maraming mga paraan upang bigyang-katwiran ang polyhedral formula ni Euler. Sa isang kahulugan, ang pinaka-halatang patunay ay mga pamamaraan na gumagamit ng mathematical induction. Mapapatunayan ang resultapagguhit nito kasama ang bilang ng alinman sa mga gilid, mukha o vertices ng graph.
Katunayan ng Rademacher at Toeplitz
Partikular na kaakit-akit ang sumusunod na patunay ng Rademacher at Toeplitz, batay sa diskarte ni Von Staudt. Upang bigyang-katwiran ang teorama ni Euler, ipagpalagay na ang G ay isang konektadong graph na naka-embed sa isang eroplano. Kung mayroon itong mga schema, posibleng magbukod ng isang gilid mula sa bawat isa sa mga ito sa paraang mapangalagaan ang ari-arian na nananatiling konektado. Mayroong isa-sa-isang pagsusulatan sa pagitan ng mga inalis na bahagi para sa pagpunta sa konektadong graph nang walang pagsasara at sa mga hindi isang walang katapusang gilid. Ang pananaliksik na ito ay humantong sa pag-uuri ng mga "orientable surface" sa mga tuntunin ng tinatawag na Euler na katangian.
Jordan curve. Theorem
Ang pangunahing thesis, na direkta o hindi direktang ginagamit sa patunay ng polyhedra formula ng Euler theorem para sa mga graph, ay nakadepende sa Jordan curve. Ang ideyang ito ay nauugnay sa paglalahat. Sinasabi nito na ang anumang simpleng closed curve ay naghahati sa eroplano sa tatlong set: mga punto dito, sa loob at labas nito. Habang nabuo ang interes sa polyhedral formula ni Euler noong ikalabinsiyam na siglo, maraming mga pagtatangka ang ginawa upang gawing pangkalahatan ito. Inilatag ng pananaliksik na ito ang pundasyon para sa pagbuo ng algebraic topology at ikinonekta ito sa algebra at teorya ng numero.
Moebius group
Natuklasan sa lalong madaling panahon na ang ilang mga surface ay maaari lamang maging "oriented" sa pare-parehong paraan sa lokal, hindi sa buong mundo. Ang kilalang grupong Möbius ay nagsisilbing isang paglalarawan nitoibabaw. Medyo mas maaga itong natuklasan ni Johann Listing. Kasama sa konseptong ito ang paniwala ng genus ng isang graph: ang pinakamaliit na bilang ng mga descriptor g. Dapat itong idagdag sa ibabaw ng globo, at maaari itong i-embed sa pinalawak na ibabaw sa paraang ang mga gilid ay nagtatagpo lamang sa mga vertices. Lumalabas na anumang orientable na surface sa Euclidean space ay maaaring ituring bilang isang sphere na may tiyak na bilang ng mga handle.
Euler diagram
Ang siyentipiko ay nakagawa ng isa pang pagtuklas, na ginagamit pa rin hanggang ngayon. Ang tinatawag na Euler diagram na ito ay isang graphic na representasyon ng mga bilog, kadalasang ginagamit upang ilarawan ang mga ugnayan sa pagitan ng mga set o grupo. Karaniwang may kasamang mga kulay ang mga chart na nagsasama sa mga lugar kung saan nagsasapawan ang mga bilog. Ang mga set ay tiyak na kinakatawan ng mga bilog o ovals, kahit na ang iba pang mga figure ay maaari ding gamitin para sa kanila. Ang isang pagsasama ay kinakatawan ng isang overlap ng mga ellipse na tinatawag na Euler circles.
Kinatawan nila ang mga set at subset. Ang pagbubukod ay hindi magkakapatong na mga bilog. Ang mga diagram ng Euler ay malapit na nauugnay sa iba pang graphic na representasyon. Madalas silang nalilito. Ang graphic na representasyong ito ay tinatawag na Venn diagrams. Depende sa mga set na pinag-uusapan, maaaring magkapareho ang hitsura ng parehong bersyon. Gayunpaman, sa mga diagram ng Venn, ang mga magkakapatong na bilog ay hindi nangangahulugang nagsasaad ng pagkakapareho sa pagitan ng mga hanay, ngunit isang posibleng lohikal na relasyon lamang kung ang kanilang mga label ay wala sanagsasalubong na bilog. Ang parehong mga opsyon ay pinagtibay para sa pagtuturo ng set theory bilang bahagi ng bagong mathematical movement noong 1960s.
Fermat at Euler's theorems
Si Euler ay nag-iwan ng kapansin-pansing marka sa agham ng matematika. Ang teorya ng algebraic na numero ay pinayaman ng isang teorama na ipinangalan sa kanya. Ito rin ay bunga ng isa pang mahalagang pagtuklas. Ito ang tinatawag na general algebraic Lagrange theorem. Ang pangalan ni Euler ay nauugnay din sa maliit na teorama ni Fermat. Sinasabi nito na kung ang p ay isang prime number at ang a ay isang integer na hindi nahahati sa p, kung gayon:
ap-1 - 1 ay nahahati sa p.
Minsan ang parehong pagtuklas ay may ibang pangalan, kadalasang matatagpuan sa dayuhang panitikan. Parang theorem ng Pasko ni Fermat. Ang bagay ay nakilala ang pagtuklas salamat sa isang liham mula sa isang siyentipiko na ipinadala noong bisperas ng Disyembre 25, 1640. Ngunit ang pahayag mismo ay nakatagpo na dati. Ginamit ito ng isa pang siyentipiko na nagngangalang Albert Girard. Sinubukan lamang ni Fermat na patunayan ang kanyang teorya. Ang may-akda ay nagpapahiwatig sa isa pang liham na siya ay inspirasyon ng walang katapusang paraan ng pagbaba. Ngunit hindi siya nagbigay ng anumang ebidensya. Nang maglaon, bumaling din si Eider sa parehong paraan. At pagkatapos niya - marami pang sikat na siyentipiko, kabilang sina Lagrange, Gauss at Minkosky.
Mga tampok ng pagkakakilanlan
Fermat's Little Theorem ay tinatawag ding isang espesyal na kaso ng isang theorem mula sa number theory dahil kay Euler. Sa teoryang ito, ang Euler identity function ay nagbibilang ng mga positibong integer hanggang sa isang ibinigay na integer n. Sila ay coprime na may paggalang san. Ang teorama ni Euler sa teorya ng numero ay isinulat gamit ang letrang Griyego na φ at mukhang φ(n). Maaari itong mas pormal na tukuyin bilang ang bilang ng mga integer k sa hanay na 1 ≦ k ≦ n kung saan ang pinakamalaking karaniwang divisor na gcd(n, k) ay 1. Ang notasyon φ(n) ay maaari ding tawaging phi function ni Euler. Ang mga integer k ng form na ito ay minsan tinatawag na totative. Sa gitna ng teorya ng numero, ang pagpapaandar ng pagkakakilanlan ng Euler ay multiplicative, ibig sabihin ay kung ang dalawang numero m at n ay coprime, kung gayon φ(mn)=φ(m)φ(n). Gumaganap din ito ng mahalagang papel sa pagtukoy sa RSA encryption system.
Ang Euler function ay ipinakilala noong 1763. Gayunpaman, sa oras na iyon ang matematiko ay hindi pumili ng anumang tiyak na simbolo para dito. Sa isang publikasyon noong 1784, pinag-aralan ni Euler ang function na ito nang mas detalyado at pinili ang letrang Griyego na π upang kumatawan dito. Si James Sylvester ang lumikha ng terminong "kabuuan" para sa tampok na ito. Samakatuwid, ito ay tinutukoy din bilang kabuuan ni Euler. Ang kabuuang φ(n) ng isang positive integer n mas malaki sa 1 ay ang bilang ng mga positive integer na mas mababa sa n na medyo prime hanggang n.φ(1) ay tinukoy bilang 1. Ang Euler function o phi(φ) function ay isang napakahalagang number-theoretic isang function na malalim na nauugnay sa mga prime number at ang tinatawag na pagkakasunud-sunod ng mga integer.
