Sa panahon ngayon, mas gumagamit tayo ng iba't ibang sasakyan at gadget. At hindi lamang kapag kinakailangan na maglapat ng literal na hindi makatao na lakas: ilipat ang karga, iangat ito sa isang taas, maghukay ng mahaba at malalim na kanal, atbp. Ang mga kotse ngayon ay binuo ng mga robot, ang pagkain ay inihanda ng mga multicooker, at ang elementarya na mga kalkulasyon ng aritmetika ay isinagawa ng mga calculator. Parami nang parami ang ating naririnig na ekspresyong "Boolean algebra". Marahil ay oras na para maunawaan ang papel ng tao sa paglikha ng mga robot at ang kakayahan ng mga makina na lutasin hindi lamang ang mga problema sa matematika, kundi pati na rin ang mga lohikal na problema.
Logic
Isinalin mula sa Greek, ang lohika ay isang maayos na sistema ng pag-iisip na lumilikha ng mga ugnayan sa pagitan ng mga ibinigay na kundisyon at nagbibigay-daan sa iyong gumawa ng mga konklusyon batay sa mga premise at pagpapalagay. Madalas nating tinatanong ang isa't isa: "Lokal ba ito?" Ang natanggap na sagot ay nagpapatunay sa aming mga pagpapalagay o pinupuna ang tren ng pag-iisip. Ngunit hindi tumitigil ang proseso: patuloy kaming nangangatuwiran.
Minsan ang bilang ng mga kundisyon (panimulang) ay napakalaki, at ang mga ugnayan sa pagitan ng mga ito ay napakasalimuot at masalimuot na ang utak ng tao ay hindi kayang "matunaw" ang lahat nang sabay-sabay. Maaaring tumagal ng higit sa isang buwan (linggo, taon) upang maunawaan kung ano ang nangyayari. PeroAng modernong buhay ay hindi nagbibigay sa atin ng ganoong mga agwat ng oras para sa paggawa ng mga desisyon. At tumulong kami sa tulong ng mga computer. At dito lumalabas ang algebra ng lohika, na may sariling mga batas at katangian. Sa pamamagitan ng pag-download ng lahat ng paunang data, pinapayagan namin ang computer na makilala ang lahat ng mga relasyon, alisin ang mga kontradiksyon at makahanap ng kasiya-siyang solusyon.
Math and Logic
Ang sikat na Gottfried Wilhelm Leibniz ay bumalangkas ng konsepto ng "mathematical logic", na ang mga problema ay naiintindihan lamang ng isang makitid na bilog ng mga siyentipiko. Ang direksyong ito ay hindi pumukaw ng partikular na interes, at hanggang sa kalagitnaan ng ika-19 na siglo, kakaunti ang nakakaalam tungkol sa mathematical logic.
Ang malaking interes sa komunidad ng siyensya ay nagdulot ng pagtatalo kung saan inihayag ng Englishman na si George Boole ang kanyang intensyon na lumikha ng sangay ng matematika na talagang walang praktikal na aplikasyon. Tulad ng naaalala natin mula sa kasaysayan, aktibong umuunlad ang industriyal na produksyon noong panahong iyon, lahat ng uri ng mga pantulong na makina at kagamitan sa makina ay ginagawa, ibig sabihin, lahat ng pagtuklas sa siyensya ay may praktikal na pokus.
Sa hinaharap, sabihin natin na ang Boolean algebra ay ang pinakaginagamit na bahagi ng matematika sa modernong mundo. Kaya nawala ang argumento ni Bull.
George Buhl
Ang mismong personalidad ng may-akda ay nararapat na espesyal na pansin. Kahit na isinasaalang-alang na noong nakaraan ang mga tao ay lumaki bago sa amin, imposible pa rin na hindi mapansin na sa edad na 16, nagturo si J. Buhl sa isang paaralan sa nayon, at sa edad na 20 nagbukas siya ng kanyang sariling paaralan sa Lincoln. Ang mathematician ay matatas sa limang wikang banyaga, at sa kanyang bakanteng oras ay nagbabasa siya ng mga gawaNewton at Lagrange. At ang lahat ng ito ay tungkol sa anak ng isang simpleng manggagawa!
Noong 1839 unang isinumite ni Boole ang kanyang mga siyentipikong papel sa Cambridge Mathematical Journal. Ang siyentipiko ay 24 taong gulang. Boole's trabaho kaya interesado miyembro ng Royal Society na sa 1844 siya ay nakatanggap ng isang medalya para sa kanyang kontribusyon sa pag-unlad ng matematika analysis. Marami pang nai-publish na mga gawa, na inilarawan ang mga elemento ng matematikal na lohika, pinahintulutan ang batang matematiko na kumuha ng post ng propesor sa Cork County College. Alalahanin na si Buhl mismo ay walang pinag-aralan.
Ideya
Sa prinsipyo, ang Boolean algebra ay napakasimple. Mayroong mga pahayag (lohikal na expression) na, mula sa punto ng view ng matematika, ay maaaring tukuyin lamang sa pamamagitan ng dalawang salita: "totoo" o "mali". Halimbawa, sa tagsibol ang mga puno ay namumulaklak - totoo, sa tag-araw ay nag-snow - isang kasinungalingan. Ang kagandahan ng matematika na ito ay walang mahigpit na pangangailangan na gumamit lamang ng mga numero. Ang anumang mga pahayag na may hindi malabo na kahulugan ay angkop para sa algebra ng mga paghatol.
Kaya, literal na magagamit ang algebra ng lohika sa lahat ng dako: sa pag-iskedyul at pagsulat ng mga tagubilin, pagsusuri ng magkasalungat na impormasyon tungkol sa mga kaganapan, at pagtukoy sa pagkakasunud-sunod ng mga aksyon. Ang pinakamahalagang bagay ay maunawaan na ganap na hindi mahalaga kung paano natin matukoy ang katotohanan o kamalian ng pahayag. Ang mga "paano" at "bakit" na ito ay kailangang alisin. Ang pahayag lang ng katotohanan ang mahalaga: true-false.
Siyempre, para sa programming, ang mga function ng algebra ng logic ay mahalaga, na isinulat ng kaukulangmga palatandaan at simbolo. At ang pag-aaral sa kanila ay nangangahulugan ng pag-master ng bagong wikang banyaga. Walang imposible.
Mga pangunahing konsepto at kahulugan
Nang hindi malalim, harapin natin ang terminolohiya. Kaya ipinapalagay ng Boolean algebra:
- statements;
- logical operations;
- function at batas.
Ang mga pahayag ay anumang mga pagpapahayag na nagpapatunay na hindi maaaring bigyang-kahulugan nang malabo. Ang mga ito ay isinulat bilang mga numero (5 > 3) o nabuo sa pamilyar na mga salita (ang elepante ang pinakamalaking mammal). Kasabay nito, ang pariralang "walang leeg ang giraffe" ay mayroon ding karapatang umiral, tanging ang Boolean algebra lamang ang tutukuyin bilang "false."
Lahat ng pahayag ay dapat na hindi malabo, ngunit maaari silang elementarya at tambalan. Ang huli ay gumagamit ng mga lohikal na connective. Ibig sabihin, sa algebra ng mga paghatol, ang mga tambalang pahayag ay nabuo sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga elementarya na pahayag sa pamamagitan ng mga lohikal na operasyon.
Boolean algebra operations
Natatandaan na natin na ang mga operasyon sa algebra ng mga paghatol ay lohikal. Kung paanong ang number algebra ay gumagamit ng arithmetic upang magdagdag, magbawas, o magkumpara ng mga numero, ang mga elemento ng mathematical logic ay nagbibigay-daan sa iyong gumawa ng mga kumplikadong pahayag, i-negate, o kalkulahin ang huling resulta.
Ang mga lohikal na operasyon para sa pormalisasyon at pagiging simple ay isinulat ng mga formula na pamilyar sa amin sa arithmetic. Ang mga katangian ng Boolean algebra ay ginagawang posible ang pagsulat ng mga equation at pagkalkula ng mga hindi alam. Ang mga lohikal na operasyon ay karaniwang isinusulat gamit ang talahanayan ng katotohanan. Ang mga column nitotukuyin ang mga elemento ng pagkalkula at ang operasyon na ginagawa sa mga ito, at ang mga linya ay nagpapakita ng resulta ng pagkalkula.
Mga pangunahing lohikal na pagkilos
Ang pinakakaraniwang mga operasyon sa Boolean algebra ay ang negation (NOT) at lohikal na AT at OR. Halos lahat ng mga aksyon sa algebra ng mga paghatol ay maaaring ilarawan sa ganitong paraan. Pag-aralan natin ang bawat isa sa tatlong operasyon nang mas detalyado.
Ang
Negation (not) ay nalalapat lamang sa isang elemento (operand). Samakatuwid, ang operasyon ng negation ay tinatawag na unary. Upang isulat ang konsepto ng "hindi A" gamitin ang mga sumusunod na simbolo: ¬A, A¯¯ o !A. Sa anyong tabular, ganito ang hitsura:
Ang pagpapaandar ng negation ay nailalarawan sa pamamagitan ng sumusunod na pahayag: kung tama ang A, mali ang B. Halimbawa, ang Buwan ay umiikot sa Earth - totoo; Ang mundo ay umiikot sa buwan - mali.
Lohikal na multiplikasyon at karagdagan
Ang lohikal na AT ay tinatawag na conjunction operation. Ano ang ibig sabihin nito? Una, na maaari itong mailapat sa dalawang operand, ibig sabihin, At ay isang binary na operasyon. Pangalawa, na sa kaso lamang ng katotohanan ng parehong operand (parehong A at B) ay totoo ang expression mismo. Ang kasabihang "Patience and work will grind everything" ay nagmumungkahi na ang dalawang salik lang ang makakatulong sa isang tao na makayanan ang mga paghihirap.
Mga simbolo na ginagamit para sa pagsusulat: A∧B, A⋅B o A&&B.
Ang
Conjunction ay katulad ng multiplication sa arithmetic. Minsan sinasabi nila na - lohikal na pagpaparami. Kung i-multiply natin ang mga elemento ng table row sa row, makakakuha tayo ng resultang katulad ng logical reasoning.
Ang
Disjunction ay isang lohikal na O operasyon. Kinakailangan ang halaga ng katotohanankapag ang kahit isa sa mga pahayag ay totoo (alinman sa A o B). Ito ay nakasulat tulad nito: A∨B, A+B o A||B. Ang mga talahanayan ng katotohanan para sa mga operasyong ito ay:
Ang
Disjunction ay parang aritmetika na karagdagan. Ang lohikal na pagdaragdag na operasyon ay may isang limitasyon lamang: 1+1=1. Ngunit natatandaan namin na sa digital na format, ang mathematical logic ay limitado sa 0 at 1 (kung saan ang 1 ay totoo, ang 0 ay hindi totoo). Halimbawa, ang pahayag na "sa isang museo maaari kang makakita ng isang obra maestra o makatagpo ng isang kawili-wiling kausap" ay nangangahulugan na maaari kang makakita ng mga gawa ng sining, o maaari kang makatagpo ng isang kawili-wiling tao. Kasabay nito, hindi ibinubukod ang posibilidad ng parehong mga kaganapan na nangyari nang sabay-sabay.
Mga pag-andar at batas
Kaya, alam na natin kung anong mga lohikal na operasyon ang ginagamit ng Boolean algebra. Ang mga pag-andar ay naglalarawan ng lahat ng mga katangian ng mga elemento ng matematikal na lohika at nagbibigay-daan sa iyo upang pasimplehin ang mga kumplikadong kondisyon ng mga problema. Ang pinaka-naiintindihan at simpleng pag-aari ay tila ang pagtanggi sa mga nagmula na operasyon. Ang mga derivative ay eksklusibo O, implikasyon at katumbas. Dahil pinag-aralan lang namin ang mga pangunahing operasyon, isasaalang-alang din namin ang mga pag-aari lamang ng mga ito.
Ang ibig sabihin ng
Associativity ay sa mga pahayag tulad ng "at A, at B, at C," hindi mahalaga ang pagkakasunud-sunod ng mga operand. Ang formula ay nakasulat nang ganito:
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V, (A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
Tulad ng nakikita mo, ito ay katangian hindi lamang ng conjunction, kundi pati na rin ng disjunction.
Commutativity ay nagsasaad na ang resultahindi nakadepende ang conjunction o disjunction sa kung aling elemento ang unang itinuring:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
Ang
Distributivity ay nagbibigay-daan sa pagpapalawak ng mga panaklong sa mga kumplikadong lohikal na expression. Ang mga patakaran ay katulad ng pagbubukas ng mga bracket sa multiplication at karagdagan sa algebra:
A∧(B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
Ang mga katangian ng isa at zero, na maaaring isa sa mga operand, ay katulad din ng algebraic multiplication sa zero o isa at karagdagan na may isa:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
Sinasabi sa atin ng
Idempotency na kung, may kinalaman sa dalawang pantay na operand, ang resulta ng isang operasyon ay magiging magkatulad, maaari nating "itapon" ang mga karagdagang operand na nagpapalubha sa kurso ng pangangatwiran. Parehong mga pagpapatakbong idempotent ang conjunction at disjunction.
B∧B=B; B∨B=B.
Binibigyang-daan din kami ng
Absorption na pasimplehin ang mga equation. Sinasabi ng absorption na kapag ang isa pang operasyon na may parehong elemento ay inilapat sa isang expression na may isang operand, ang resulta ay ang operand mula sa absorbing operation.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
Pagkakasunod-sunod ng mga operasyon
Ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon ay hindi gaanong mahalaga. Sa totoo lang, para sa algebra, mayroong priyoridad ng mga function na ginagamit ng Boolean algebra. Ang mga pormula ay maaaring pasimplehin lamang kung ang kahalagahan ng mga operasyon ay sinusunod. Ang pagraranggo mula sa pinakamahalaga hanggang sa pinakamaliit, nakukuha namin ang sumusunod na pagkakasunud-sunod:
1. Pagtanggi.
2. Conjunction.
3. Disjunction, eksklusiboO.
4. Implikasyon, equivalence.
As you can see, ang negation at conjunction lang ang walang pantay na priority. At ang priyoridad ng disjunction at XOR ay pantay, gayundin ang mga priyoridad ng implikasyon at equivalence.
Implication at equivalence function
Tulad ng nasabi na natin, bilang karagdagan sa mga pangunahing lohikal na operasyon, ang matematikal na lohika at ang teorya ng mga algorithm ay gumagamit ng mga derivatives. Ang pinakakaraniwang ginagamit ay implikasyon at equivalence.
Ang
Implikasyon, o lohikal na kahihinatnan, ay isang pahayag kung saan ang isang aksyon ay isang kundisyon, at ang isa ay bunga ng pagpapatupad nito. Sa madaling salita, ito ay isang pangungusap na may mga pang-ukol na "kung … pagkatapos." "Kung gusto mong sumakay, mahilig magdala ng mga sled." Iyon ay, para sa skiing, kailangan mong higpitan ang sled sa burol. Kung walang pagnanais na bumaba ng bundok, hindi mo kailangang dalhin ang sled. Ito ay nakasulat tulad nito: A→B o A⇒B.
Equivalence ay ipinapalagay na ang resultang aksyon ay nangyayari lamang kapag ang parehong operand ay totoo. Halimbawa, ang gabi ay nagiging araw kapag (at kapag lamang) ang araw ay sumisikat sa abot-tanaw. Sa wika ng mathematical logic, ang pahayag na ito ay isinulat tulad ng sumusunod: A≡B, A⇔B, A==B.
Iba pang batas ng Boolean algebra
Ang algebra ng mga paghatol ay umuunlad, at maraming interesadong siyentipiko ang bumuo ng mga bagong batas. Ang mga postulate ng Scottish mathematician na si O. de Morgan ay itinuturing na pinakatanyag. Napansin at tinukoy niya ang mga katangiang ito bilang malapit na negation, complement at double negation.
Ang ibig sabihin ng
close negation ay walang negasyon bago ang parenthesis:hindi (A o B)=hindi A o HINDI B.
Kapag ang isang operand ay tinanggihan, anuman ang halaga nito, ang isa ay nagsasalita ng isang pandagdag:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
At sa wakas, ang dobleng negasyon ay nagbabayad para sa sarili nito. Yung. maaaring mawala ang negation bago ang operand, o isa na lang ang natitira.
Paano lutasin ang mga pagsubok
Mathematical logic ay nagpapahiwatig ng pagpapasimple ng mga ibinigay na equation. Katulad ng sa algebra, kailangan mo munang gawin ang kundisyon sa pinakamadali hangga't maaari (alisin ang mga kumplikadong input at operasyon sa kanila), at pagkatapos ay simulan ang paghahanap ng tamang sagot.
Ano ang maaaring gawin para gawing simple? I-convert ang lahat ng mga nagmula na operasyon sa mga simple. Pagkatapos ay buksan ang lahat ng mga bracket (o vice versa, alisin ito sa mga bracket upang paikliin ang elementong ito). Ang susunod na hakbang ay dapat na ilapat ang mga katangian ng Boolean algebra sa pagsasanay (absorption, mga katangian ng zero at isa, atbp.).
Sa huli, ang equation ay dapat na binubuo ng pinakamababang bilang ng mga hindi alam na pinagsama ng mga simpleng operasyon. Ang pinakamadaling paraan upang makahanap ng solusyon ay upang makamit ang isang malaking bilang ng mga malapit na negatibo. Pagkatapos ay lalabas ang sagot na parang mag-isa.
