Ano ang mga hindi makatwirang numero? Bakit sila tinawag na ganyan? Saan ginagamit ang mga ito at ano ang mga ito? Iilan lamang ang makakasagot sa mga tanong na ito nang walang pag-aalinlangan. Ngunit sa katunayan, ang mga sagot sa mga ito ay medyo simple, bagaman hindi lahat ay nangangailangan ng mga ito at sa napakabihirang mga sitwasyon
Essence at designation
Ang mga hindi makatwiran na numero ay walang katapusang non-periodic decimal fraction. Ang pangangailangang ipakilala ang konseptong ito ay dahil sa ang katunayan na ang dating umiiral na mga konsepto ng tunay o tunay, integer, natural at rational na mga numero ay hindi na sapat upang malutas ang mga bagong umuusbong na problema. Halimbawa, upang makalkula kung ano ang parisukat ng 2, kailangan mong gumamit ng hindi umuulit na walang katapusang mga decimal. Bilang karagdagan, marami sa mga pinakasimpleng equation ay wala ring solusyon nang hindi ipinakilala ang konsepto ng isang hindi makatwirang numero.
Ang set na ito ay tinutukoy bilang I. At, tulad ng malinaw na, ang mga halagang ito ay hindi maaaring katawanin bilang isang simpleng fraction, sa numerator kung saan magkakaroon ng integer, at sa denominator - isang natural na numero.
Sa unang pagkakataonkung hindi, ang mga Indian mathematician ay nakatagpo ng hindi pangkaraniwang bagay na ito noong ika-7 siglo BC, nang matuklasan na ang mga square root ng ilang mga dami ay hindi maaaring ipahiwatig nang tahasan. At ang unang patunay ng pagkakaroon ng naturang mga numero ay iniuugnay sa Pythagorean Hippasus, na ginawa ito sa proseso ng pag-aaral ng isosceles right triangle. Ang isang seryosong kontribusyon sa pag-aaral ng set na ito ay ginawa ng ilang iba pang mga siyentipiko na nabuhay bago ang ating panahon. Ang pagpapakilala ng konsepto ng mga hindi makatwirang numero ay kinailangan ng rebisyon ng umiiral na mathematical system, kaya naman napakahalaga ng mga ito.
Pinagmulan ng pangalan
Kung ang ratio sa Latin ay nangangahulugang "fraction", "ratio", kung gayon ang prefix na "ir"
ay nagbibigay sa salitang ito ng kabaligtaran na kahulugan. Kaya, ang pangalan ng hanay ng mga numerong ito ay nagpapahiwatig na hindi sila maaaring maiugnay sa isang integer o fractional, mayroon silang isang hiwalay na lugar. Ito ay sumusunod sa kanilang kakanyahan.
Ilagay sa pangkalahatang klasipikasyon
Hindi makatwiran na mga numero, kasama ng mga rational na numero, ay nabibilang sa pangkat ng mga tunay o tunay na numero, na nabibilang naman sa mga kumplikadong numero. Walang mga subset, gayunpaman, may mga algebraic at transendental na varieties, na tatalakayin sa ibaba.
Properties
Dahil ang mga irrational na numero ay bahagi ng hanay ng mga tunay na numero, lahat ng katangian ng mga ito na pinag-aaralan sa aritmetika (tinatawag din silang mga pangunahing batas ng algebraic) ay nalalapat sa kanila.
a + b=b + a (commutativity);
(a + b) + c=a + (b + c)(associativity);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (ang pagkakaroon ng kabaligtaran na numero);
ab=ba (batas ng displacement);
(ab)c=a(bc) (distributivity);
a(b+c)=ab + ac (distributive law);
a x 1=a
a x 1/a=1 (ang pagkakaroon ng inverse number);
Isinasagawa rin ang paghahambing alinsunod sa mga pangkalahatang batas at prinsipyo:
Kung a > b at b > c, pagkatapos ay isang > c (transitivity ng ratio) at. atbp.
Siyempre, lahat ng hindi makatwirang numero ay maaaring i-convert gamit ang pangunahing arithmetic. Walang mga espesyal na panuntunan para dito.
Sa karagdagan, ang axiom ng Archimedes ay nalalapat sa mga hindi makatwirang numero. Sinasabi nito na para sa alinmang dalawang dami a at b, totoo ang pahayag na sa pamamagitan ng pagkuha ng a bilang isang termino ng sapat na beses, maaari mong malampasan ang b.
Gamitin
Sa kabila ng katotohanan na sa ordinaryong buhay ay hindi mo sila madalas harapin, hindi mabibilang ang mga hindi makatwirang numero. Marami sila, ngunit halos hindi sila nakikita. Napapaligiran tayo ng mga hindi makatwirang numero sa lahat ng dako. Ang mga halimbawang pamilyar sa lahat ay ang numerong pi, katumbas ng 3, 1415926 …, o e, na mahalagang batayan ng natural na logarithm, 2, 718281828 … Sa algebra, trigonometrya at geometry, kailangan nilang gamitin palagi. Siyanga pala, ang sikat na halaga ng "golden section", ibig sabihin, ang ratio ng parehong mas malaking bahagi sa mas maliit, at vice versa, ay
din.
Ang
ay kabilang sa set na ito. Hindi gaanong kilalang "pilak" - masyadong.
Masyadong makapal ang mga ito sa linya ng numero, kaya sa pagitan ng alinmang dalawang value na nauugnay sa hanay ng mga makatwiran, isang hindi makatwiran ang tiyak na magaganap.
Marami pa ring hindi nalutas na problemang nauugnay sa set na ito. Mayroong mga pamantayan gaya ng sukat ng irrationality at normality ng isang numero. Patuloy na sinusuri ng mga mathematician ang pinakamahalagang halimbawa para sa kanilang pag-aari sa isang grupo o iba pa. Halimbawa, pinaniniwalaan na ang e ay isang normal na numero, iyon ay, ang posibilidad ng iba't ibang mga digit na lumilitaw sa talaan nito ay pareho. Tungkol naman sa pi, patuloy pa rin ang pagsasaliksik tungkol dito. Ang isang sukatan ng irrationality ay tinatawag ding isang value na nagpapakita kung gaano kahusay ito o ang numerong iyon ay maaaring tantiyahin ng mga rational na numero.
Algebraic at transendental
Tulad ng nabanggit na, ang mga irrational na numero ay may kondisyong nahahati sa algebraic at transendental. Sa kondisyon, dahil, mahigpit na pagsasalita, ang klasipikasyong ito ay ginagamit upang hatiin ang hanay na C.
Ang pagtatalagang ito ay nagtatago ng mga kumplikadong numero, na kinabibilangan ng tunay o tunay na mga numero.
Kaya, ang isang algebraic na halaga ay isang halaga na isang ugat ng isang polynomial na hindi magkaparehong katumbas ng zero. Halimbawa, ang square root ng 2 ay nasa kategoryang ito dahil ito ang solusyon sa equation na x2 - 2=0.
Lahat ng iba pang totoong numero na hindi nakakatugon sa kundisyong ito ay tinatawag na transendental. Sa iba't-ibang itoisama ang pinakasikat at nabanggit na mga halimbawa - ang numerong pi at ang base ng natural na logarithm e.
Kapansin-pansin, wala ni isa o ang pangalawa ang orihinal na nahinuha ng mga mathematician sa kapasidad na ito, ang kanilang irrationality at transcendence ay napatunayan maraming taon pagkatapos ng kanilang pagtuklas. Para sa pi, ang patunay ay ibinigay noong 1882 at pinasimple noong 1894, na nagtapos sa 2,500-taong kontrobersya tungkol sa problema ng pag-squaring ng bilog. Hindi pa rin ito lubos na nauunawaan, kaya ang mga modernong mathematician ay may dapat gawin. Sa pamamagitan ng paraan, ang unang sapat na tumpak na pagkalkula ng halagang ito ay isinagawa ni Archimedes. Bago sa kanya, lahat ng kalkulasyon ay masyadong tinatayang.
Para sa e (ang mga numero ng Euler o Napier), natagpuan ang patunay ng transendence nito noong 1873. Ginagamit ito sa paglutas ng mga logarithmic equation.
Kabilang sa iba pang mga halimbawa ang mga halaga ng sine, cosine, at tangent para sa anumang algebraic na hindi zero na halaga.
