Ang Pythagoras ay nangatuwiran na ang bilang ay sumasailalim sa mundo kasama ang mga pangunahing elemento. Naniniwala si Plato na ang numero ay nag-uugnay sa phenomenon at ang noumenon, na tumutulong sa pagkilala, pagsukat at pagbubuo ng mga konklusyon. Ang aritmetika ay nagmula sa salitang "arithmos" - isang numero, ang simula ng mga simula sa matematika. Maaari nitong ilarawan ang anumang bagay - mula sa elementarya na mansanas hanggang sa mga abstract na espasyo.
Nangangailangan bilang development factor
Sa mga unang yugto ng pagbuo ng lipunan, ang mga pangangailangan ng mga tao ay limitado sa pangangailangang patuloy na mabilang - isang sako ng butil, dalawang sako ng butil, atbp. Ang mga natural na bilang ay sapat para dito, ang hanay nito ay isang walang katapusang positibong sequence ng mga integer N.
Mamaya, sa pag-unlad ng matematika bilang isang agham, nagkaroon ng pangangailangan para sa isang hiwalay na larangan ng mga integer Z - kabilang dito ang mga negatibong halaga at zero. Ang hitsura nito sa antas ng sambahayan ay pinukaw ng katotohanan na sa pangunahing accounting kinakailangan na kahit papaano ay ayusinmga utang at pagkalugi. Sa isang siyentipikong antas, ang mga negatibong numero ay naging posible upang malutas ang pinakasimpleng mga linear na equation. Sa iba pang mga bagay, naging posible na ngayon ang larawan ng isang maliit na coordinate system, dahil may lumitaw na reference point.
Ang susunod na hakbang ay ang pangangailangang magpakilala ng mga fractional na numero, dahil hindi tumigil ang agham, parami nang parami ang mga pagtuklas na nangangailangan ng isang teoretikal na batayan para sa isang bagong impetus ng paglago. Ganito lumitaw ang larangan ng mga rational na numero Q.
Sa wakas, ang rasyonalidad ay huminto upang matugunan ang mga kahilingan, dahil ang lahat ng mga bagong konklusyon ay nangangailangan ng pagbibigay-katwiran. Doon ay lumitaw ang larangan ng mga tunay na numero R, ang mga gawa ni Euclid sa incommensurability ng ilang mga dami dahil sa kanilang irrationality. Iyon ay, ang mga sinaunang Greek mathematician ay nakaposisyon ang numero hindi lamang bilang isang pare-pareho, ngunit din bilang isang abstract na dami, na kung saan ay nailalarawan sa pamamagitan ng ratio ng hindi matutumbasan na dami. Dahil sa katotohanang lumitaw ang mga tunay na numero, ang mga dami gaya ng "pi" at "e" ay "nakita ang liwanag", kung wala ito ay hindi maaaring maganap ang modernong matematika.
Ang huling pagbabago ay ang kumplikadong numero C. Sinagot nito ang ilang tanong at pinabulaanan ang mga naunang ipinakilalang postulate. Dahil sa mabilis na pag-unlad ng algebra, ang kinalabasan ay predictable - pagkakaroon ng tunay na mga numero, paglutas ng maraming mga problema ay imposible. Halimbawa, salamat sa mga kumplikadong numero, namumukod-tangi ang teorya ng mga string at kaguluhan, at lumawak ang mga equation ng hydrodynamics.
Itakda ang teorya. Cantor
Ang konsepto ng infinity sa lahat ng orasnagdulot ng kontrobersya, dahil hindi ito mapatunayan o mapabulaanan. Sa konteksto ng matematika, na nagpapatakbo ng mahigpit na na-verify na mga postulate, ito ay malinaw na ipinakita, lalo na dahil ang teolohikong aspeto ay may bigat pa rin sa agham.
Gayunpaman, salamat sa gawain ng mathematician na si Georg Kantor, ang lahat ay naging maayos sa paglipas ng panahon. Pinatunayan niya na mayroong walang katapusang bilang ng mga walang katapusang set, at ang field R ay mas malaki kaysa sa field N, kahit na pareho silang walang katapusan. Sa kalagitnaan ng ika-19 na siglo, ang kanyang mga ideya ay malakas na tinawag na walang kapararakan at isang krimen laban sa mga klasikal, hindi matitinag na mga canon, ngunit inilagay ng panahon ang lahat sa lugar nito.
Mga pangunahing katangian ng field R
Ang mga tunay na numero ay hindi lamang kapareho ng mga katangian ng mga subset na kasama sa mga ito, ngunit dinadagdagan din ng iba dahil sa laki ng kanilang mga elemento:
- May zero at kabilang sa field na R. c + 0=c para sa alinmang c mula sa R.
- May zero at kabilang sa field na R. c x 0=0 para sa alinmang c mula sa R.
- Ang kaugnayan c: d para sa d ≠ 0 ay umiiral at wasto para sa anumang c, d mula sa R.
- Ang field R ay nakaayos, ibig sabihin, kung c ≦ d, d ≦ c, pagkatapos ay c=d para sa alinmang c, d mula sa R.
- Ang pagdaragdag sa field na R ay commutative, ibig sabihin, c + d=d + c para sa anumang c, d mula sa R.
- Multiplikasyon sa field na R ay commutative, ibig sabihin, c x d=d x c para sa anumang c, d mula sa R.
- Addition sa field R ay associative, ibig sabihin, (c + d) + f=c + (d + f) para sa anumang c, d, f mula sa R.
- Ang pagpaparami sa field na R ay nauugnay, ibig sabihin. (c x d) x f=c x (d x f) para sa anumang c, d, f mula sa R.
- Para sa bawat numero sa field na R, mayroong kabaligtaran, na ang c + (-c)=0, kung saan ang c, -c ay mula sa R.
- Para sa bawat numero mula sa field na R mayroong kabaligtaran nito, kung kaya't c x c-1 =1, kung saan c, c-1 mula sa R.
- Ang unit ay umiiral at kabilang sa R, kaya c x 1=c, para sa alinmang c mula sa R.
- Ang batas sa pamamahagi ay may bisa, kaya c x (d + f)=c x d + c x f, para sa alinmang c, d, f mula sa R.
- Sa field R, ang zero ay hindi katumbas ng isa.
- Ang field R ay palipat: kung c ≦ d, d ≦ f, pagkatapos ay c ≦ f para sa alinmang c, d, f mula sa R.
- Sa field na R, ang pagkakasunud-sunod at karagdagan ay magkakaugnay: kung c ≦ d, pagkatapos ay c + f ≦ d + f para sa alinmang c, d, f mula sa R.
- Sa field na R, ang pagkakasunud-sunod at pagpaparami ay magkakaugnay: kung 0 ≦ c, 0 ≦ d, pagkatapos ay 0 ≦ c x d para sa alinmang c, d mula sa R.
- Parehong negatibo at positibong tunay na numero ay tuluy-tuloy, ibig sabihin, para sa anumang c, d mula sa R, mayroong f mula sa R na ang c ≦ f ≦ d.
Module sa field R
Kabilang sa mga totoong numero ang modulus.
Natukoy bilang |f| para sa anumang f mula sa R. |f|=f kung 0 ≦ f at |f|=-f kung 0 > f. Kung isasaalang-alang namin ang modulus bilang isang geometric na dami, kung gayon ito ay ang distansyang nilakbay - hindi mahalaga kung "ipasa" mo ang zero hanggang minus o ipasa sa plus.
Complex at totoong mga numero. Ano ang mga pagkakatulad at ano ang mga pagkakaiba?
Sa pangkalahatan, ang kumplikado at totoong mga numero ay iisa at pareho, maliban doonimaginary unit i, na ang parisukat ay -1. Ang mga elemento ng field R at C ay maaaring katawanin bilang sumusunod na formula:
c=d + f x i, kung saan ang d, f ay kabilang sa field na R at ang i ay ang imaginary unit
Upang makakuha ng c mula sa R sa kasong ito, ang f ay itinakda lamang na katumbas ng zero, ibig sabihin, ang tunay na bahagi lamang ng numero ang natitira. Dahil sa katotohanan na ang field ng mga kumplikadong numero ay may parehong hanay ng mga katangian bilang ang field ng mga tunay na numero, f x i=0 kung f=0.
Tungkol sa mga praktikal na pagkakaiba, halimbawa, sa R field, ang quadratic equation ay hindi malulutas kung ang discriminant ay negatibo, habang ang C field ay hindi nagpapataw ng ganoong restriction dahil sa pagpapakilala ng imaginary unit i.
Resulta
Ang mga "brick" ng mga axiom at postulate kung saan nakabatay ang matematika ay hindi nagbabago. Dahil sa pagtaas ng impormasyon at ang pagpapakilala ng mga bagong teorya, ang mga sumusunod na "brick" ay inilalagay sa ilan sa mga ito, na sa hinaharap ay maaaring maging batayan para sa susunod na hakbang. Halimbawa, ang mga natural na numero, sa kabila ng katotohanan na sila ay isang subset ng totoong field R, ay hindi nawawala ang kanilang kaugnayan. Sa kanila nakabatay ang lahat ng elementarya na aritmetika, kung saan nagsisimula ang kaalaman ng tao sa mundo.
Mula sa praktikal na pananaw, ang mga totoong numero ay parang isang tuwid na linya. Dito maaari mong piliin ang direksyon, italaga ang pinagmulan at hakbang. Ang isang tuwid na linya ay binubuo ng isang walang katapusang bilang ng mga puntos, na ang bawat isa ay tumutugma sa isang tunay na numero, hindi alintana kung ito ay makatuwiran o hindi. Malinaw sa paglalarawan na pinag-uusapan natin ang isang konsepto kung saan binuo ang parehong matematika sa pangkalahatan at pagsusuri sa matematika sa pangkalahatan.partikular.
