Ang Matrix ay isang espesyal na bagay sa matematika. Ito ay inilalarawan sa anyo ng isang hugis-parihaba o parisukat na talahanayan, na binubuo ng isang tiyak na bilang ng mga hilera at haligi. Sa matematika, mayroong malawak na iba't ibang uri ng mga matrice, na magkakaiba sa laki o nilalaman. Ang mga bilang ng mga row at column nito ay tinatawag na mga order. Ang mga bagay na ito ay ginagamit sa matematika upang ayusin ang pagsulat ng mga sistema ng mga linear na equation at maginhawang hanapin ang kanilang mga resulta. Ang mga equation na gumagamit ng isang matrix ay nalulutas gamit ang pamamaraan nina Carl Gauss, Gabriel Cramer, mga menor de edad at algebraic na pagdaragdag, at marami pang ibang paraan. Ang pangunahing kasanayan kapag nagtatrabaho sa mga matrice ay upang dalhin ang mga ito sa isang karaniwang anyo. Gayunpaman, una, alamin natin kung anong mga uri ng matrice ang nakikilala ng mga mathematician.
Null type
Lahat ng bahagi ng ganitong uri ng matrix ay mga zero. Samantala, ganap na naiiba ang bilang ng mga row at column nito.
uri ng parisukat
Ang bilang ng mga column at row ng ganitong uri ng matrix ay pareho. Sa madaling salita, ito ay isang "square" shape table. Ang bilang ng mga column nito (o row) ay tinatawag na order. Ang mga espesyal na kaso ay ang pagkakaroon ng isang matrix ng pangalawang order (matrix 2x2), ikaapat na order (4x4), ikasampu (10x10), ikalabimpito (17x17) at iba pa.
Vektor ng column
Ito ang isa sa mga pinakasimpleng uri ng matrice, na naglalaman lamang ng isang column, na kinabibilangan ng tatlong numerical value. Kinakatawan nito ang isang serye ng mga libreng termino (mga numerong hiwalay sa mga variable) sa mga sistema ng mga linear na equation.
Row vector
Tingnan na katulad ng nauna. Binubuo ng tatlong numerical na elemento, na nakaayos naman sa isang linya.
uri ng dayagonal
Tanging mga bahagi ng pangunahing dayagonal (naka-highlight sa berde) ang kumukuha ng mga numeric na halaga sa diagonal na anyo ng matrix. Ang pangunahing dayagonal ay nagsisimula sa elemento sa kaliwang sulok sa itaas at nagtatapos sa elemento sa kanang ibaba, ayon sa pagkakabanggit. Ang natitirang bahagi ng mga bahagi ay zero. Ang uri ng dayagonal ay isang parisukat na matrix lamang ng ilang pagkakasunud-sunod. Sa mga matrice ng diagonal na anyo, ang isa ay maaaring mag-isa ng isang scalar. Ang lahat ng bahagi nito ay may parehong mga halaga.
Matrix ng pagkakakilanlan
Isang subspecies ng diagonal matrix. Ang lahat ng mga numerical value nito ay mga unit. Gamit ang isang uri ng mga talahanayan ng matrix, isagawa ang mga pangunahing pagbabago nito o humanap ng matrix na kabaligtaran sa orihinal.
Canonical type
Ang canonical na anyo ng isang matrix ay itinuturing na isa sa mga pangunahing; ang paghahagis dito ay kadalasang kailangan upang gumana. Ang bilang ng mga hilera at haligi sa canonical matrix ay naiiba, hindi ito kinakailangang kabilang sa parisukat na uri. Ito ay medyo katulad ng identity matrix, gayunpaman, sa kaso nito, hindi lahat ng bahagi ng pangunahing dayagonal ay may halagang katumbas ng isa. Maaaring mayroong dalawa o apat na pangunahing dayagonal na yunit (lahat ito ay nakasalalay sa haba at lapad ng matrix). O maaaring walang mga yunit sa lahat (pagkatapos ito ay itinuturing na zero). Ang natitirang bahagi ng canonical type, pati na rin ang mga elemento ng diagonal at identity, ay katumbas ng zero.
Triangle type
Isa sa pinakamahalagang uri ng matrix, na ginagamit kapag naghahanap ng determinant nito at kapag nagsasagawa ng mga simpleng operasyon. Ang triangular na uri ay nagmula sa dayagonal na uri, kaya ang matrix ay parisukat din. Ang triangular view ng matrix ay nahahati sa upper triangular at lower triangular.
Sa upper triangular matrix (Fig. 1), tanging ang mga elementong nasa itaas ng pangunahing diagonal ang kumukuha ng value na katumbas ng zero. Ang mga bahagi ng mismong dayagonal at ang bahagi ng matrix sa ibaba nito ay naglalaman ng mga numerical value.
Sa lower triangular matrix (Fig. 2), sa kabaligtaran, ang mga elementong matatagpuan sa ibabang bahagi ng matrix ay katumbas ng zero.
Step Matrix
Kinakailangan ang view para sa paghahanap ng ranggo ng isang matrix, gayundin para sa mga elementary operation sa mga ito (kasama ang triangular na uri). Ang step matrix ay pinangalanan dahil naglalaman ito ng mga katangian na "mga hakbang" ng mga zero (tulad ng ipinapakita sa figure). Sa stepped type, ang isang diagonal ng mga zero ay nabuo (hindi kinakailangan ang pangunahing isa), at ang lahat ng mga elemento sa ilalim ng dayagonal na ito ay mayroon ding mga halaga na katumbas ng zero. Ang isang paunang kinakailangan ay ang sumusunod: kung mayroong zero na row sa step matrix, ang natitirang mga row sa ibaba nito ay hindi rin naglalaman ng mga numeric na halaga.
Kaya, isinaalang-alang namin ang pinakamahalagang uri ng mga matrice na kailangan upang gumana sa kanila. Ngayon, harapin natin ang gawain ng pag-convert ng matrix sa kinakailangang form.
Bawasan hanggang triangular na anyo
Paano dalhin ang matrix sa isang triangular na anyo? Kadalasan, sa mga takdang-aralin, kailangan mong i-convert ang isang matrix sa isang triangular na anyo upang mahanap ang determinant nito, kung hindi man ay tinatawag na determinant. Kapag isinasagawa ang pamamaraang ito, napakahalaga na "panatilihin" ang pangunahing dayagonal ng matrix, dahil ang determinant ng isang triangular matrix ay eksaktong produkto ng mga bahagi ng pangunahing dayagonal nito. Ipaalala ko rin sa iyo ang mga alternatibong pamamaraan para sa paghahanap ng determinant. Ang square-type determinant ay matatagpuan gamit ang mga espesyal na formula. Halimbawa, maaari mong gamitin ang paraan ng tatsulok. Para sa iba pang mga matrice, ang paraan ng agnas sa pamamagitan ng hilera, haligi, o ang kanilang mga elemento ay ginagamit. Maaari mo ring ilapat ang paraan ng mga menor de edad at algebraic complements ng matrix.
Mga DetalyeSuriin natin ang proseso ng pagdadala ng matrix sa isang triangular na anyo gamit ang mga halimbawa ng ilang gawain.
Gawain 1
Kinakailangan na hanapin ang determinant ng ipinakitang matrix, gamit ang paraan ng pagdadala nito sa isang triangular na anyo.
Ang matrix na ibinigay sa amin ay isang square matrix ng ikatlong order. Samakatuwid, upang mabago ito sa isang triangular na anyo, kailangan nating ipawalang-bisa ang dalawang bahagi ng unang column at isang bahagi ng pangalawa.
Upang dalhin ito sa isang triangular na anyo, simulan ang pagbabago mula sa ibabang kaliwang sulok ng matrix - mula sa numero 6. Upang gawin itong zero, i-multiply ang unang row sa tatlo at ibawas ito mula sa huling row.
Mahalaga! Ang tuktok na linya ay hindi nagbabago, ngunit nananatiling pareho sa orihinal na matrix. Hindi mo kailangang magsulat ng isang string ng apat na beses sa orihinal. Ngunit ang mga halaga ng mga string na ang mga bahagi ay kailangang ipawalang-bisa ay patuloy na nagbabago.
Susunod, harapin natin ang susunod na halaga - ang elemento ng pangalawang hilera ng unang hanay, bilang 8. I-multiply ang unang hilera sa apat at ibawas ito sa pangalawang hilera. Nakukuha namin ang zero.
Ang huling value na lang ang natitira - ang elemento ng ikatlong row ng pangalawang column. Ito ang numero (-1). Upang gawing zero ito, ibawas ang pangalawa sa unang linya.
Suriin natin:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Kaya ang sagot sa gawain ay -22.
Gawain 2
Kailangan nating hanapin ang determinant ng matrix sa pamamagitan ng pagdadala nito sa isang triangular na anyo.
Kinatawan ang matrixkabilang sa parisukat na uri at ito ay isang matrix ng ikaapat na pagkakasunud-sunod. Nangangahulugan ito na dapat na naka-zero ang tatlong bahagi ng unang column, dalawang bahagi ng pangalawang column, at isang bahagi ng ikatlong column.
Simulan natin ang pagbawas nito mula sa elementong matatagpuan sa ibabang kaliwang sulok - mula sa numero 4. Kailangan nating gawing zero ang numerong ito. Ang pinakamadaling paraan upang gawin ito ay paramihin ang nangungunang hilera sa apat at pagkatapos ay ibawas ito mula sa ikaapat na hanay. Isulat natin ang resulta ng unang yugto ng pagbabago.
Kaya, ang bahagi ng ikaapat na linya ay nakatakda sa zero. Lumipat tayo sa unang elemento ng ikatlong linya, sa numero 3. Nagsasagawa kami ng katulad na operasyon. I-multiply ng tatlo ang unang linya, ibawas ito sa ikatlong linya at isulat ang resulta.
Susunod, makikita natin ang numero 2 sa pangalawang linya. Inuulit namin ang operasyon: i-multiply ng dalawa ang tuktok na row at ibawas ito sa pangalawa.
Nagawa naming itakda sa zero ang lahat ng bahagi ng unang column ng square matrix na ito, maliban sa numero 1, ang elemento ng pangunahing diagonal na hindi nangangailangan ng pagbabago. Ngayon ay mahalaga na panatilihin ang mga resultang mga zero, kaya magsasagawa kami ng mga pagbabagong may mga row, hindi mga column. Lumipat tayo sa pangalawang column ng ipinakitang matrix.
Magsimula tayong muli sa ibaba - mula sa elemento ng pangalawang column ng huling row. Ito ang numero (-7). Gayunpaman, sa kasong ito ay mas maginhawang magsimula sa numero (-1) - ang elemento ng pangalawang haligi ng ikatlong hilera. Upang gawing zero ito, ibawas ang pangalawang hilera mula sa ikatlong hanay. Pagkatapos ay i-multiply namin ang pangalawang hilera ng pito at ibawas ito mula sa ikaapat. Nakakuha kami ng zero sa halip na ang elemento na matatagpuan sa ikaapat na hilera ng pangalawang hanay. Ngayon lumipat tayo sa pangatlocolumn.
Sa column na ito, kailangan nating maging zero sa isang numero lang - 4. Madaling gawin: idagdag lang ang pangatlo sa huling linya at tingnan ang zero na kailangan natin.
Pagkatapos ng lahat ng pagbabago, dinala namin ang iminungkahing matrix sa isang triangular na anyo. Ngayon, upang mahanap ang determinant nito, kailangan mo lamang na i-multiply ang mga nagresultang elemento ng pangunahing dayagonal. Nakukuha natin ang: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Samakatuwid, ang solusyon ay ang numerong 160.
Kaya, ngayon ang tanong ng pagdadala ng matrix sa isang triangular na anyo ay hindi magpapahirap sa iyo.
Pagbawas sa stepped form
Sa elementarya na operasyon sa mga matrice, ang stepped form ay hindi gaanong "demand" kaysa sa triangular. Ito ay pinakakaraniwang ginagamit upang mahanap ang ranggo ng isang matrix (ibig sabihin, ang bilang ng mga di-zero na row nito) o upang matukoy ang linearly dependent at independent row. Gayunpaman, ang stepped matrix view ay mas maraming nalalaman, dahil ito ay angkop hindi lamang para sa parisukat na uri, ngunit para sa lahat ng iba pa.
Upang gawing stepped form ang isang matrix, kailangan mo munang hanapin ang determinant nito. Para dito, ang mga pamamaraan sa itaas ay angkop. Ang layunin ng paghahanap ng determinant ay upang malaman kung maaari itong ma-convert sa isang step matrix. Kung ang determinant ay mas malaki o mas mababa sa zero, maaari mong ligtas na magpatuloy sa gawain. Kung ito ay katumbas ng zero, hindi ito gagana upang bawasan ang matrix sa isang stepped form. Sa kasong ito, kailangan mong suriin kung mayroong anumang mga error sa talaan o sa mga pagbabagong matrix. Kung walang ganoong mga kamalian, hindi malulutas ang gawain.
Tingnan natin kung paanodalhin ang matrix sa isang stepped form gamit ang mga halimbawa ng ilang gawain.
Gawain 1. Hanapin ang ranggo ng ibinigay na matrix table.
Nasa harap namin ang isang parisukat na matrix ng ikatlong order (3x3). Alam namin na upang mahanap ang ranggo, ito ay kinakailangan upang bawasan ito sa isang stepped form. Samakatuwid, kailangan muna nating hanapin ang determinant ng matrix. Gamit ang paraan ng tatsulok: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinant=12. Mas malaki ito sa zero, na nangangahulugang ang matrix ay maaaring gawing stepped form. Simulan natin ang mga pagbabago nito.
Simulan natin ito sa elemento ng kaliwang column ng ikatlong hilera - ang numero 2. I-multiply ng dalawa ang tuktok na row at ibawas ito sa pangatlo. Salamat sa operasyong ito, ang elementong kailangan namin at ang numero 4 - ang elemento ng pangalawang column ng ikatlong row - ay naging zero.
Susunod, gawing zero ang elemento ng pangalawang row ng unang column - ang numero 3. Para gawin ito, i-multiply ang tuktok na row sa tatlo at ibawas ito sa pangalawa.
Nakikita namin na nagresulta ang pagbawas sa isang triangular matrix. Sa aming kaso, hindi maaaring ipagpatuloy ang pagbabago, dahil ang natitirang bahagi ay hindi maaaring gawing zero.
Kaya, napagpasyahan namin na ang bilang ng mga row na naglalaman ng mga numeric na halaga sa matrix na ito (o ang ranggo nito) ay 3. Sagot sa gawain: 3.
Gawain 2. Tukuyin ang bilang ng mga linearly independent na row ng matrix na ito.
Kailangan nating maghanap ng mga string na hindi mababaligtad ng anumang pagbabagosa zero. Sa katunayan, kailangan nating hanapin ang bilang ng mga non-zero row, o ang ranggo ng kinakatawan na matrix. Para magawa ito, pasimplehin natin ito.
Nakikita namin ang isang matrix na hindi kabilang sa parisukat na uri. Ito ay may sukat na 3x4. Simulan din natin ang cast mula sa elemento ng kaliwang sulok sa ibaba - ang numero (-1).
Idagdag ang unang linya sa pangatlo. Susunod, ibawas ang pangalawa mula dito upang gawing zero ang numerong 5.
Imposible ang mga karagdagang pagbabago. Kaya, napagpasyahan namin na ang bilang ng mga linearly independent na linya dito at ang sagot sa gawain ay 3.
Ngayon ang pagdadala ng matrix sa isang stepped form ay hindi isang imposibleng gawain para sa iyo.
Sa mga halimbawa ng mga gawaing ito, sinuri namin ang pagbabawas ng isang matrix sa isang triangular na anyo at isang stepped na anyo. Upang mapawalang-bisa ang ninanais na mga halaga ng mga talahanayan ng matrix, sa ilang mga kaso kinakailangan upang ipakita ang imahinasyon at wastong baguhin ang kanilang mga haligi o hilera. Good luck sa math at magtrabaho sa matrices!
