Matrics (mga talahanayan na may mga numeric na elemento) ay maaaring gamitin para sa iba't ibang kalkulasyon. Ang ilan sa mga ito ay multiplikasyon sa isang numero, isang vector, isa pang matrix, ilang mga matrice. Minsan mali ang produkto. Ang isang maling resulta ay ang resulta ng kamangmangan sa mga patakaran para sa pagsasagawa ng mga pagkilos sa pagkalkula. Alamin natin kung paano gawin ang multiplication.
Matrix at numero
Magsimula tayo sa pinakasimpleng bagay - pagpaparami ng talahanayan na may mga numero sa isang partikular na halaga. Halimbawa, mayroon kaming matrix A na may mga elementong aij (i ang mga row number at j ang column number) at ang numerong e. Ang produkto ng matrix sa pamamagitan ng numerong e ay magiging matrix B na may mga elementong bij, na makikita sa pamamagitan ng formula:
bij=e × aij.
T. e. upang makuha ang elementong b11 kailangan mong kunin ang elementong a11 at i-multiply ito sa nais na numero, upang makakuha ng b12 kinakailangan upang mahanap ang produkto ng elementong a12 at ang numerong e, atbp.
Ating lutasin ang problema bilang 1 na ipinakita sa larawan. Upang makakuha ng matrix B, i-multiply lang ang mga elemento mula sa A sa 3:
- a11 × 3=18. Isinulat namin ang value na ito sa matrix B sa lugar kung saan nag-intersect ang column No. 1 at row No. 1.
- a21 × 3=15. Nakakuha kami ng elemento b21.
- a12 × 3=-6. Natanggap namin ang elementong b12. Isinulat namin ito sa matrix B sa lugar kung saan nag-intersect ang column 2 at row 1.
- a22 × 3=9. Ang resultang ito ay elemento b22.
- a13 × 3=12. Ilagay ang numerong ito sa matrix bilang kapalit ng elemento b13.
- a23 × 3=-3. Ang huling numerong natanggap ay elemento b23.
Kaya, nakakuha kami ng isang parihabang hanay na may mga numeric na elemento.
| 18 | –6 | 12 |
| 15 | 9 | –3 |
Mga Vector at ang kundisyon para sa pagkakaroon ng isang produkto ng mga matrice
Sa mga disiplinang matematika, mayroong isang bagay bilang isang "vector". Ang terminong ito ay tumutukoy sa isang nakaayos na hanay ng mga value mula sa isang1 hanggang sa isang . Ang mga ito ay tinatawag na vector space coordinates at nakasulat bilang isang column. Mayroon ding terminong "transposed vector". Ang mga bahagi nito ay nakaayos bilang isang string.
Maaaring tawaging matrice ang mga vector:
Ang
Ang
Kapag tapos nasa mga matrice ng multiplication operations, mahalagang tandaan na mayroong kondisyon para sa pagkakaroon ng isang produkto. Ang computational action na A × B ay maaari lamang gawin kapag ang bilang ng mga column sa table A ay katumbas ng bilang ng mga row sa table B. Ang resultang matrix na nagreresulta mula sa pagkalkula ay palaging may bilang ng mga row sa table A at ang bilang ng mga column sa talahanayan B.
Kapag nagpaparami, hindi inirerekomenda na muling ayusin ang mga matrice (multipliers). Ang kanilang produkto ay karaniwang hindi tumutugma sa commutative (displacement) na batas ng multiplikasyon, ibig sabihin, ang resulta ng operasyon A × B ay hindi katumbas ng resulta ng operasyon B × A. Ang tampok na ito ay tinatawag na non-commutativity ng produkto ng matrice. Sa ilang mga kaso, ang resulta ng multiplikasyon A × B ay katumbas ng resulta ng multiplikasyon B × A, ibig sabihin, ang produkto ay commutative. Ang mga matrice kung saan ang pagkakapantay-pantay A × B=B × A ay tinatawag na permutation matrice. Tingnan ang mga halimbawa ng naturang mga talahanayan sa ibaba.
Multiplikasyon sa isang column vector
Kapag nagpaparami ng matrix sa isang column vector, dapat nating isaalang-alang ang kundisyon para sa pagkakaroon ng produkto. Ang bilang ng mga column (n) sa talahanayan ay dapat tumugma sa bilang ng mga coordinate na bumubuo sa vector. Ang resulta ng pagkalkula ay ang transformed vector. Ang bilang ng mga coordinate nito ay katumbas ng bilang ng mga linya (m) mula sa talahanayan.
Paano kinakalkula ang mga coordinate ng vector y kung mayroong isang matrix A at isang vector x? Para sa mga kalkulasyong ginawang formula:
y1=a11x1 + a12 x2 + … + a1 x , y2=a21x1 + a22x2 + … + a 2nx ,
…………………………………, ym=am1x1 + am2 x2 + … + amnx ,
kung saan ang x1, …, x ay mga coordinate mula sa x-vector, ang m ay ang bilang ng mga row sa matrix at ang numero ng mga coordinate sa bagong y- vector, n ay ang bilang ng mga column sa matrix at ang bilang ng mga coordinate sa x-vector, a11, a12, …, amn– mga elemento ng matrix A.
Kaya, para makuha ang i-th component ng bagong vector, ang scalar product ay isinasagawa. Ang i-th row vector ay kinuha mula sa matrix A, at ito ay i-multiply sa available na vector x.
Let's solve problem 2. Mahahanap mo ang product ng isang matrix at isang vector dahil ang A ay may 3 column at ang x ay binubuo ng 3 coordinates. Bilang resulta, dapat tayong makakuha ng column vector na may 4 na coordinate. Gamitin natin ang mga formula sa itaas:
- Compute y1. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Ang huling halaga ay 2.
- Compute y2. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Kapag nagkalkula, makakakuha tayo ng 0.
- Compute y3. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Ang kabuuan ng mga produkto ng ipinahiwatig na mga salik ay 6.
- Compute y4. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Ang coordinate ay -8.
Row vector-matrix multiplication
Hindi mo maaaring i-multiply ang isang matrix na may maraming column sa isang row vector. Sa ganitong mga kaso, ang kondisyon para sa pagkakaroon ng trabaho ay hindi nasiyahan. Ngunit ang pagpaparami ng isang row vector sa pamamagitan ng isang matrix ay posible. Itoang computational operation ay ginagawa kapag ang bilang ng mga coordinate sa vector at ang bilang ng mga row sa table ay tumugma. Ang resulta ng produkto ng isang vector at isang matrix ay isang bagong row vector. Ang bilang ng mga coordinate nito ay dapat na katumbas ng bilang ng mga column sa matrix.
Ang pag-compute ng unang coordinate ng isang bagong vector ay kinabibilangan ng pag-multiply ng row vector at ang unang column vector mula sa table. Ang pangalawang coordinate ay kinakalkula sa katulad na paraan, ngunit sa halip na ang unang column vector, ang pangalawang column vector ang kinuha. Narito ang pangkalahatang formula para sa pagkalkula ng mga coordinate:
yk=a1kx1+ a2kx2 + … + amkx m, kung saan ang yk ay isang coordinate mula sa y-vector, (k ay nasa pagitan ng 1 at n), ang m ay ang bilang ng mga row sa matrix at ang bilang ng mga coordinate sa x-vector, ang n ay ang bilang ng mga column sa matrix at ang bilang ng mga coordinate sa y-vector, ang isang may alphanumeric na indeks ay ang mga elemento ng matrix A.
Produkto ng mga rectangular matrice
Maaaring mukhang kumplikado ang pagkalkulang ito. Gayunpaman, ang pagpaparami ay madaling gawin. Magsimula tayo sa isang kahulugan. Ang produkto ng isang matrix A na may m row at n column at isang matrix B na may n row at p column ay isang matrix C na may m row at p column, kung saan ang elementong cij ay ang kabuuan ng mga produkto ng mga elemento i-th row mula sa table A at j-th column mula sa table B. Sa mas simpleng termino, ang elementong cij ay ang scalar product ng i-th row vector mula sa table A at ang j-th column vector mula sa table B.
Ngayon, alamin natin sa pagsasanay kung paano hanapin ang produkto ng mga rectangular matrice. Solusyonan natin ang problema No. 3 para dito. Ang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang produkto ay nasiyahan. Simulan nating kalkulahin ang mga elemento cij:
- Matrix C ay magkakaroon ng 2 row at 3 column.
- Kalkulahin ang elemento c11. Upang gawin ito, ginagawa namin ang scalar product ng row No. 1 mula sa matrix A at column No. 1 mula sa matrix B. c11=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Pagkatapos ay nagpapatuloy kami sa katulad na paraan, binabago lamang ang mga row, column (depende sa index ng elemento).
- c12=12.
- c13=9.
- c21=31.
- c22=18.
- c23=36.
Kinakalkula ang mga elemento. Ngayon ay nananatili na lamang ang paggawa ng isang parihabang bloke ng mga natanggap na numero.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Multiplikasyon ng tatlong matrice: ang teoretikal na bahagi
Mahahanap mo ba ang produkto ng tatlong matrice? Ang computational operation na ito ay magagawa. Ang resulta ay maaaring makuha sa maraming paraan. Halimbawa, mayroong 3 square table (ng parehong pagkakasunud-sunod) - A, B at C. Upang kalkulahin ang produkto, maaari mong:
- Multiply muna ang A at B. Pagkatapos ay i-multiply ang resulta sa C.
- Hanapin muna ang produkto ng B at C. Pagkatapos ay i-multiply ang matrix A sa resulta.
Kung kailangan mong i-multiply ang mga rectangular matrice, kailangan mo munang tiyakin na posible ang computational operation na ito. Dapatumiiral ang mga produktong A × B at B × C.
Incremental multiplication ay hindi isang pagkakamali. Mayroong isang bagay tulad ng "associativity ng matrix multiplication". Ang terminong ito ay tumutukoy sa pagkakapantay-pantay (A × B) × C=A × (B × C).
Three Matrix Multiplication Practice
Mga parisukat na matrice
Magsimula sa pamamagitan ng pagpaparami ng maliliit na square matrice. Ipinapakita ng figure sa ibaba ang problema bilang 4, na kailangan nating lutasin.
Gamitin namin ang associativity property. I-multiply muna natin ang alinman sa A at B, o B at C. Isa lang ang natatandaan natin: hindi mo maaaring palitan ang mga kadahilanan, ibig sabihin, hindi mo maaaring i-multiply ang B × A o C × B. Sa multiplication na ito, makakakuha tayo ng isang maling resulta.
Progreso ng desisyon.
Unang hakbang. Upang mahanap ang karaniwang produkto, i-multiply muna natin ang A sa B. Kapag nagpaparami ng dalawang matrice, gagabayan tayo ng mga panuntunang nakabalangkas sa itaas. Kaya, ang resulta ng pag-multiply ng A at B ay magiging isang matrix D na may 2 row at 2 column, ibig sabihin, ang isang rectangular array ay magsasama ng 4 na elemento. Hanapin natin sila sa pamamagitan ng pagkalkula:
- d11=0 × 1 + 5 × 6=30;
- d12=0 × 4 + 5 × 2=10;
- d21=3 × 1 + 2 × 6=15;
- d22=3 × 4 + 2 × 2=16.
Handa na ang intermediate na resulta.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
Hakbang ikalawang. Ngayon, i-multiply natin ang matrix D sa matrix C. Ang resulta ay dapat na isang square matrix G na may 2 row at 2 column. Kalkulahin ang mga elemento:
- g11=30 × 8 + 10 × 1=250;
- g12=30 × 5 + 10 × 3=180;
- g21=15 × 8 + 16 × 1=136;
- g22=15 × 5 + 16 × 3=123.
Kaya, ang resulta ng produkto ng mga square matrice ay isang talahanayan G na may mga kinakalkulang elemento.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
Mga parihabang matrice
Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng problema numero 5. Kinakailangang i-multiply ang mga rectangular matrice at humanap ng solusyon.
Suriin natin kung ang kundisyon para sa pagkakaroon ng mga produktong A × B at B × C ay nasiyahan. Ang mga order ng ipinahiwatig na mga matrice ay nagbibigay-daan sa atin na magsagawa ng multiplikasyon. Simulan na nating lutasin ang problema.
Progreso ng desisyon.
Unang hakbang. I-multiply ang B sa C upang makuha ang D. Ang Matrix B ay may 3 row at 4 na column, at ang matrix C ay may 4 na row at 2 column. Nangangahulugan ito na makakakuha tayo ng matrix D na may 3 row at 2 column. Kalkulahin natin ang mga elemento. Narito ang 2 halimbawa ng pagkalkula:
- d11=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
- d12=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.
Patuloy naming nilulutas ang problema. Bilang resulta ng mga karagdagang kalkulasyon, nakita namin ang mga value na d21, d2 2, d31 at d32. Ang mga elementong ito ay 0, 19, 1 at 11 ayon sa pagkakabanggit. Isulat natin ang mga nahanap na value sa isang rectangular array.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
Hakbang ikalawang. Multiply A by D para makuha ang final matrix F. Ito ay magkakaroon ng 2 row at 2 columns. Kalkulahin ang mga elemento:
- f11=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
- f12=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
- f21=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
- f22=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.
Bumuo ng isang hugis-parihaba na array, na siyang resulta ng pagpaparami ng tatlong matrice.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Introduction to direct work
Medyo mahirap unawain ang materyal ay ang Kronecker na produkto ng mga matrice. Mayroon din itong karagdagang pangalan - isang direktang gawain. Ano ang ibig sabihin ng katagang ito? Sabihin nating mayroon tayong table A ng order m × n at table B ng order p × q. Ang direktang produkto ng matrix A at matrix B ay isang matrix ng order mp × nq.
Mayroon kaming 2 square matrice A, B, na ipinapakita sa larawan. Ang una ay may 2 column at 2 row, at ang pangalawa ay may 3 column at 3 row. Nakikita namin na ang matrix na nagreresulta mula sa direktang produkto ay binubuo ng 6 na row at eksaktong parehong bilang ng mga column.
Paano kinakalkula ang mga elemento ng isang bagong matrix sa isang direktang produkto? Ang paghahanap ng sagot sa tanong na ito ay napakadali kung susuriin mo ang larawan. Punan muna ang unang linya. Kunin ang unang elemento mula sa tuktok na hilera ng talahanayan A at sunud-sunod na i-multiply sa mga elemento ng unang hileramula sa talahanayan B. Susunod, kunin ang pangalawang elemento ng unang hilera ng talahanayan A at sunud-sunod na i-multiply sa mga elemento ng unang hilera ng talahanayan B. Upang punan ang pangalawang hilera, kunin muli ang unang elemento mula sa unang hilera ng talahanayan A at i-multiply ito sa mga elemento ng ikalawang hanay ng talahanayan B.
Ang huling matrix na nakuha ng direktang produkto ay tinatawag na block matrix. Kung susuriin natin muli ang figure, makikita natin na ang resulta ay binubuo ng 4 na bloke. Lahat ng mga ito ay kinabibilangan ng mga elemento ng matrix B. Bukod pa rito, ang isang elemento ng bawat bloke ay pinarami ng isang partikular na elemento ng matrix A. Sa unang bloke, ang lahat ng mga elemento ay pinarami ng isang11, sa pangalawa - ng 12, sa pangatlo - sa isang21, sa pang-apat - sa isang22.
Determinant ng produkto
Kapag isinasaalang-alang ang paksa ng matrix multiplication, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang sa naturang termino bilang "ang determinant ng produkto ng mga matrice". Ano ang isang determinant? Ito ay isang mahalagang katangian ng isang square matrix, isang tiyak na halaga na itinalaga sa matrix na ito. Ang literal na pagtatalaga ng determinant ay det.
Para sa isang matrix A na binubuo ng dalawang column at dalawang row, ang determinant ay madaling mahanap. Mayroong maliit na formula na ang pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng mga partikular na elemento:
det A=a11 × a22 – a12 × a21.
Ating isaalang-alang ang isang halimbawa ng pagkalkula ng determinant para sa pangalawang-order na talahanayan. Mayroong matrix A kung saan ang a11=2, a12=3, a21=5 at a22=1. Upang kalkulahin ang determinant, gamitin ang formula:
det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.
Para sa 3 × 3 matrice, ang determinant ay kinakalkula gamit ang isang mas kumplikadong formula. Ito ay ipinakita sa ibaba para sa matrix A:
det A=a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a 32 – a13a22a31 – a11 a23a32 – a12a21 a33.
Upang matandaan ang formula, nakaisip kami ng panuntunang tatsulok, na inilalarawan sa larawan. Una, ang mga elemento ng pangunahing dayagonal ay pinarami. Ang mga produkto ng mga elementong iyon na ipinahiwatig ng mga anggulo ng mga tatsulok na may pulang panig ay idinagdag sa nakuha na halaga. Susunod, ang produkto ng mga elemento ng pangalawang dayagonal ay ibabawas at ang mga produkto ng mga elementong iyon na ipinahiwatig ng mga sulok ng mga tatsulok na may asul na gilid ay ibabawas.
Ngayon pag-usapan natin ang determinant ng produkto ng matrices. Mayroong isang teorama na nagsasabing ang tagapagpahiwatig na ito ay katumbas ng produkto ng mga determinant ng mga talahanayan ng multiplier. I-verify natin ito gamit ang isang halimbawa. Mayroon kaming matrix A na may mga entry na a11=2, a12=3, a21=1 at a22=1 at matrix B na may mga entry b11=4, b12=5, b 21 =1 at b22=2. Hanapin ang mga determinant para sa mga matrice A at B, ang produktong A × B at ang determinant ng produktong ito.
Progreso ng desisyon.
Unang hakbang. Kalkulahin ang determinant para sa A: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Susunod, kalkulahin ang determinant para sa B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.
Hakbang ikalawang. Hanapin natinprodukto A × B. Tukuyin ang bagong matrix sa pamamagitan ng titik C. Kalkulahin ang mga elemento nito:
- c11=2 × 4 + 3 × 1=11;
- c12=2 × 5 + 3 × 2=16;
- c21=1 × 4 + 1 × 1=5;
- c22=1 × 5 + 1 × 2=7.
Ikatlong hakbang. Kalkulahin ang determinant para sa C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Ihambing sa halaga na maaaring makuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga determinant ng orihinal na matrice. Ang mga numero ay pareho. Ang theorem sa itaas ay totoo.
Ranggo ng produkto
Ang rank ng isang matrix ay isang katangian na nagpapakita ng maximum na bilang ng mga linearly independent na row o column. Upang kalkulahin ang ranggo, isinasagawa ang mga elementarya na pagbabago ng matrix:
- muling pagsasaayos ng dalawang magkatulad na hilera;
- pag-multiply ng lahat ng elemento ng isang partikular na row mula sa talahanayan sa isang hindi zero na numero;
- pagdaragdag sa mga elemento ng isang hilera ng mga elemento mula sa isa pang row, na minu-multiply sa isang partikular na numero.
Pagkatapos ng elementarya na pagbabago, tingnan ang bilang ng mga hindi zero na string. Ang kanilang numero ay ang ranggo ng matrix. Isaalang-alang ang nakaraang halimbawa. Nagpakita ito ng 2 matrice: A na may mga elemento a11=2, a12=3, a21=1 at a22 =1 at B na may mga elemento b11=4, b12=5, b21=1 at b22=2. Gagamitin din natin ang matrix C na nakuha bilang resulta ng multiplication. Kung magsasagawa kami ng mga elementarya na pagbabago, pagkatapos ay walang magiging zero na mga hilera sa mga pinasimpleng matrice. Nangangahulugan ito na pareho ang ranggo ng talahanayan A, at ang ranggo ng talahanayan B, at ang ranggoang talahanayan C ay 2.
Ngayon bigyang-pansin natin ang ranggo ng produkto ng mga matrice. Mayroong isang theorem na nagsasabing ang ranggo ng isang produkto ng mga talahanayan na naglalaman ng mga numeric na elemento ay hindi lalampas sa ranggo ng alinman sa mga kadahilanan. Ito ay mapapatunayan. Hayaang ang A ay isang k × s matrix at ang B ay isang s × m matrix. Ang produkto ng A at B ay katumbas ng C.
Pag-aralan natin ang larawan sa itaas. Ipinapakita nito ang unang column ng matrix C at ang pinasimpleng notasyon nito. Ang column na ito ay isang linear na kumbinasyon ng mga column na kasama sa matrix A. Sa katulad na paraan, masasabi ng isa ang tungkol sa anumang iba pang column mula sa rectangular array C. Kaya, ang subspace na nabuo ng column vectors ng table C ay nasa subspace na nabuo ng column vectors ng table A. Sa pamamagitan nito, ang dimensyon ng subspace No. 1 ay hindi lalampas sa dimensyon ng subspace No. 2. Ito ay nagpapahiwatig na ang rank sa column ng table C ay hindi lalampas sa rank sa column ng table A, ibig sabihin, r(C) ≦ r(A). Kung magtatalo tayo sa katulad na paraan, maaari nating tiyakin na ang mga row ng matrix C ay mga linear na kumbinasyon ng mga row ng matrix B. Ito ay nagpapahiwatig ng hindi pagkakapantay-pantay r(C) ≦ r(B).
Paano hanapin ang produkto ng mga matrice ay medyo kumplikadong paksa. Madali itong ma-master, ngunit para makamit ang ganoong resulta, kakailanganin mong gumugol ng maraming oras sa pagsasaulo ng lahat ng umiiral na mga panuntunan at theorems.
