Sa matematika, mayroong konsepto ng "set", pati na rin ang mga halimbawa ng paghahambing ng parehong set na ito sa isa't isa. Ang mga pangalan ng mga uri ng paghahambing ng mga set ay ang mga sumusunod na salita: bijection, injection, surjection. Ang bawat isa sa kanila ay inilalarawan nang mas detalyado sa ibaba.
Ang isang bijection ay… ano ito?
Ang isang pangkat ng mga elemento ng unang hanay ay itinutugma sa pangalawang pangkat ng mga elemento mula sa pangalawang hanay sa form na ito: bawat isang elemento ng unang pangkat ay direktang itinutugma sa isa pang elemento ng pangalawang pangkat, at doon ay walang sitwasyon na may kakulangan o enumeration ng mga elemento ng alinman o mula sa dalawang pangkat ng mga set.
Pagbubuo ng mga pangunahing katangian:
- Isang elemento sa isa.
- Walang mga karagdagang elemento kapag tumutugma at pinapanatili ang unang property.
- Posibleng baligtarin ang pagmamapa habang pinapanatili ang pangkalahatang view.
- Ang bijection ay isang function na parehong injective at surjective.
Bijection mula sa siyentipikong pananaw
Ang mga bijective na function ay eksaktong isomorphism sa kategoryang "set at set ng mga function." Gayunpaman, ang mga bijections ay hindi palaging isomorphism para sa mas kumplikadong mga kategorya. Halimbawa, sa isang partikular na kategorya ng mga grupo, ang mga morphism ay dapat na mga homomorphism, dahil kailangan nilang panatilihin ang istraktura ng grupo. Samakatuwid, ang mga isomorphism ay mga isomorphism ng grupo, na mga bijective homomorphism.
Ang konsepto ng "one-to-one correspondence" ay pangkalahatan sa mga partial function, kung saan tinatawag ang mga ito na partial bijections, bagama't ang partial bijection ay dapat na isang injection. Ang dahilan para sa pagpapahinga na ito ay ang bahagyang (tamang) function ay hindi na tinukoy para sa bahagi ng domain nito. Kaya, walang magandang dahilan upang limitahan ang kabaligtaran na paggana nito sa isang kumpletong, ibig sabihin, tinukoy sa lahat ng dako sa domain nito. Ang set ng lahat ng partial bijections sa isang ibinigay na base set ay tinatawag na symmetric inverse semigroup.
Isa pang paraan ng pagtukoy sa parehong konsepto: sulit na sabihin na ang isang bahagyang bijection ng mga set mula A hanggang B ay anumang kaugnayan R (partial function) na may property na ang R ay isang bijection graph f:A'→B ' kung saan ang A' ay isang subset ng A at B' ay isang subset ng B.
Kapag ang partial bijection ay nasa parehong set, kung minsan ay tinatawag itong one-to-one na partial transformation. Ang isang halimbawa ay ang Möbius transform na tinukoy lang sa complex plane, hindi ang pagkumpleto nito sa extended complex plane.
Injection
Ang isang pangkat ng mga elemento ng unang hanay ay itinutugma sa pangalawang pangkat ng mga elemento mula sa ikalawang hanay sa form na ito: bawat isang elemento ng unang pangkat ay itinutugma sa isa pang elemento ng pangalawa, ngunit hindi lahat ng ang mga ito ay na-convert sa mga pares. Ang bilang ng mga hindi magkapares na elemento ay nakasalalay sa pagkakaiba sa bilang ng mismong mga elementong ito sa bawat isa sa mga hanay: kung ang isang hanay ay binubuo ng tatlumpu't isang elemento, at ang isa ay may pito pa, kung gayon ang bilang ng mga hindi nakapares na elemento ay pito. Itinuro ang iniksyon sa set. Magkapareho ang bijection at injection, ngunit hindi hihigit sa magkatulad.
Surjection
Ang isang pangkat ng mga elemento ng unang hanay ay itinutugma sa pangalawang pangkat ng mga elemento mula sa pangalawang hanay sa ganitong paraan: bawat elemento ng anumang pangkat ay bumubuo ng isang pares, kahit na may pagkakaiba sa pagitan ng bilang ng mga elemento. Kasunod nito na ang isang elemento mula sa isang pangkat ay maaaring ipares sa ilang mga elemento mula sa isa pang grupo.
Ni bijective, o injective, o surjective function
Ito ay isang function ng bijective at surjective form, ngunit may natitira (walang paired)=> injection. Sa ganoong function, malinaw na may koneksyon sa pagitan ng bijection at surjection, dahil direktang kasama nito ang dalawang uri ng set na paghahambing na ito. Kaya, ang kabuuan ng lahat ng uri ng mga function na ito ay hindi isa sa mga ito nang nakahiwalay.
Paliwanag ng lahat ng uri ng function
Halimbawa, ang nagmamasid ay nabighani sa mga sumusunod. May mga archery competitions. Ang bawat isa sagustong maabot ng mga kalahok ang target (upang mapadali ang gawain: eksakto kung saan hindi isinasaalang-alang ang pagtama ng arrow). Tatlong kalahok lamang at tatlong target - ito ang unang site (site) para sa paligsahan. Sa kasunod na mga seksyon, ang bilang ng mga mamamana ay napanatili, ngunit ang bilang ng mga target ay binago: sa pangalawa - apat na target, sa susunod - apat din, at sa ikaapat - lima. Bawat kalahok ay bumaril sa bawat target.
- Ang unang venue para sa tournament. Ang unang mamamana ay tumama lamang sa isang target. Ang pangalawa ay tumama lamang sa isang target. Ang pangatlo ay umuulit pagkatapos ng iba, at lahat ng mga mamamana ay tumama sa iba't ibang mga target: ang mga nasa tapat nila. Bilang resulta, 1 (ang unang mamamana) ang tumama sa target (a), 2 - sa (b), 3 - sa (c). Ang sumusunod na pag-asa ay sinusunod: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). Ang magiging konklusyon ay ang paghatol na ang naturang paghahambing ng mga set ay isang bijection.
- Ang pangalawang platform para sa paligsahan. Ang unang mamamana ay tumama lamang sa isang target. Ang pangalawa ay tumama lamang sa isang target. Ang pangatlo ay hindi talaga sinusubukan at inuulit ang lahat pagkatapos ng iba, ngunit ang kondisyon ay pareho - lahat ng mga mamamana ay tumama sa iba't ibang mga target. Ngunit, tulad ng nabanggit kanina, mayroon nang apat na target sa pangalawang platform. Dependence: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - hindi nakapares na elemento ng set. Sa kasong ito, ang magiging konklusyon ay ang paghatol na ang naturang set na paghahambing ay isang iniksyon.
- Ang ikatlong lugar para sa paligsahan. Ang unang mamamana ay tumama lamang sa isang target. Ang pangalawa ay tumama lamang sa isang target muli. Nagpasya ang pangatlo na hilahin ang sarili at tinamaan ang ikatlo at ikaapat na target. Bilang resulta, ang pagtitiwala: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d). Dito, ang magiging konklusyon ay ang paghatol na ang naturang paghahambing ng mga set ay isang surjection.
- Ang ikaapat na plataporma para sa paligsahan. Sa una, ang lahat ay malinaw na, siya ay tumama lamang sa isang target, kung saan malapit nang walang puwang para sa mga nakakatamad na hit. Ngayon ang pangalawa ay tumatagal sa papel ng kamakailang pangatlo at muli ay tumama lamang sa isang target, na umuulit pagkatapos ng una. Ang pangatlo ay patuloy na kinokontrol ang kanyang sarili at hindi tumitigil sa pagpasok ng kanyang arrow sa ikatlo at ikaapat na target. Ang panglima, gayunpaman, ay lampas pa rin sa kanyang kontrol. Kaya, dependence: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - hindi nakapares na elemento ng hanay ng mga target. Konklusyon: ang naturang paghahambing ng mga set ay hindi surjection, hindi injection, at hindi bijection.
Ngayon ay hindi magiging problema ang paggawa ng bijection, injection o surjection, pati na rin ang paghahanap ng mga pagkakaiba sa pagitan nila.
