Algebraic inequalities o ang kanilang mga system na may mga rational coefficient na ang mga solusyon ay hinahanap sa integral o integer na mga numero. Bilang isang patakaran, ang bilang ng mga hindi alam sa mga equation ng Diophantine ay mas malaki. Kaya, ang mga ito ay kilala rin bilang hindi tiyak na hindi pagkakapantay-pantay. Sa modernong matematika, ang konsepto sa itaas ay inilapat sa algebraic equation na ang mga solusyon ay hinahanap sa algebraic integers ng ilang extension ng field ng Q-rational variables, ang field ng p-adic variables, atbp.
Ang pinagmulan ng mga hindi pagkakapantay-pantay na ito
Ang pag-aaral ng Diophantine equation ay nasa hangganan sa pagitan ng number theory at algebraic geometry. Ang paghahanap ng mga solusyon sa mga variable na integer ay isa sa mga pinakalumang problema sa matematika. Nasa simula na ng ikalawang milenyo BC. nagawa ng mga sinaunang Babylonians na lutasin ang mga sistema ng mga equation na may dalawang hindi alam. Ang sangay ng matematika na ito ay higit na umunlad sa sinaunang Greece. Ang arithmetic ng Diophantus (ca. 3rd century AD) ay isang makabuluhan at pangunahing mapagkukunan na naglalaman ng iba't ibang uri at sistema ng mga equation.
Sa aklat na ito, nakita ni Diophantus ang ilang paraan para pag-aralan ang hindi pagkakapantay-pantay ng pangalawa at pangatlodegree na ganap na binuo noong ika-19 na siglo. Ang paglikha ng teorya ng mga rational na numero ng mananaliksik na ito ng sinaunang Greece ay humantong sa pagsusuri ng mga lohikal na solusyon sa hindi tiyak na mga sistema, na sistematikong sinusunod sa kanyang aklat. Bagama't naglalaman ang kanyang trabaho ng mga solusyon sa mga partikular na Diophantine equation, may dahilan upang maniwala na pamilyar din siya sa ilang pangkalahatang pamamaraan.
Ang pag-aaral ng mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ay kadalasang iniuugnay sa malulubhang kahirapan. Dahil sa katotohanang naglalaman ang mga ito ng mga polynomial na may mga integer coefficient na F (x, y1, …, y). Batay dito, ang mga konklusyon ay ginawa na walang iisang algorithm na maaaring magamit upang matukoy para sa anumang naibigay na x kung ang equation F (x, y1, …., y ). Ang sitwasyon ay malulutas para sa y1, …, y . Maaaring isulat ang mga halimbawa ng naturang polynomial.
Ang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay
ax + by=1, kung saan ang a at b ay relatibong integer at prime numbers, mayroon itong malaking bilang ng mga execution (kung x0, y0 ang resulta ay nabuo, pagkatapos ay ang pares ng mga variable x=x0 + b at y=y0 -an, kung saan ang n ay arbitrary, ay ituturing ding hindi pagkakapantay-pantay). Ang isa pang halimbawa ng Diophantine equation ay x2 + y2 =z2. Ang mga positibong integral na solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ang mga haba ng maliliit na gilid x, y at kanang tatsulok, pati na rin ang hypotenuse z na may mga integer na sukat sa gilid. Ang mga numerong ito ay kilala bilang mga numerong Pythagorean. Lahat ng triplets na may paggalang sa prime na ipinahiwatigang mga variable sa itaas ay ibinibigay ng x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, kung saan ang m at n ay mga integer at prime number (m>n>0).
Diophantus sa kanyang Arithmetic na mga paghahanap para sa mga makatwiran (hindi kinakailangang integral) na mga solusyon ng mga espesyal na uri ng kanyang mga hindi pagkakapantay-pantay. Ang isang pangkalahatang teorya para sa paglutas ng mga diophantine equation ng unang degree ay binuo ni C. G. Baschet noong ika-17 siglo. Pangunahing pinag-aralan ng iba pang mga siyentipiko sa simula ng ika-19 na siglo ang mga katulad na hindi pagkakapantay-pantay tulad ng ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, kung saan ang a, b, c, d, e, at f ay pangkalahatan, magkakaiba, na may dalawang hindi alam sa ikalawang antas. Gumamit si Lagrange ng patuloy na mga praksiyon sa kanyang pag-aaral. Ang gauss para sa mga quadratic form ay bumuo ng pangkalahatang teorya na pinagbabatayan ng ilang uri ng mga solusyon.
Sa pag-aaral ng mga hindi pagkakapantay-pantay na ito sa ikalawang antas, ang makabuluhang pag-unlad ay nagawa lamang noong ika-20 siglo. A. Nalaman ni Thue na ang Diophantine equation na a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, kung saan n≧3, a0, …, a , c ay mga integer, at a0tn + …Ang + a ay hindi maaaring magkaroon ng walang katapusang bilang ng mga integer na solusyon. Gayunpaman, ang pamamaraan ni Thue ay hindi maayos na binuo. A. Gumawa si Baker ng mga epektibong theorems na nagbibigay ng mga pagtatantya sa pagganap ng ilang mga equation ng ganitong uri. Nagmungkahi si BN Delaunay ng isa pang paraan ng pagsisiyasat na naaangkop sa mas makitid na uri ng mga hindi pagkakapantay-pantay na ito. Sa partikular, ang form na ax3 + y3 =1 ay ganap na malulutas sa ganitong paraan.
Diophantine equation: mga paraan ng solusyon
Ang teorya ng Diophantus ay maraming direksyon. Kaya, isang kilalang problema sa sistemang ito ay ang hypothesis na walang non-trivial na solusyon ng Diophantine equation xn + y =z n if n ≧ 3 (tanong ni Fermat). Ang pag-aaral ng mga integer na katuparan ng hindi pagkakapantay-pantay ay isang natural na generalisasyon ng problema ng Pythagorean triplets. Nakakuha si Euler ng positibong solusyon ng problema ni Fermat para sa n=4. Dahil sa resultang ito, tumutukoy ito sa patunay ng nawawalang integer, hindi zero na pag-aaral ng equation kung ang n ay isang kakaibang prime number.
Ang pag-aaral tungkol sa desisyon ay hindi pa tapos. Ang mga kahirapan sa pagpapatupad nito ay nauugnay sa katotohanan na ang simpleng factorization sa singsing ng mga algebraic integer ay hindi natatangi. Ang teorya ng mga divisors sa sistemang ito para sa maraming klase ng prime exponents n ginagawang posible upang kumpirmahin ang bisa ng Fermat's theorem. Kaya, ang linear Diophantine equation na may dalawang hindi alam ay natutupad ng mga umiiral na pamamaraan at paraan.
Mga uri at uri ng mga inilarawang gawain
Arithmetic of rings of algebraic integers ay ginagamit din sa maraming iba pang problema at solusyon ng Diophantine equation. Halimbawa, ang mga ganitong pamamaraan ay inilapat kapag tinutupad ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong N(a1 x1 +…+ a x)=m, kung saan ang N(a) ay ang pamantayan ng a, at x1, …, xn integral rational variables ay matatagpuan. Kasama sa klase na ito ang Pell equation x2–dy2=1.
Ang mga value na a1, …, a na lumalabas, ang mga equation na ito ay nahahati sa dalawang uri. Ang unang uri - ang tinatawag na kumpletong mga anyo - ay kinabibilangan ng mga equation kung saan sa mga a mayroong m linearly independent na mga numero sa larangan ng mga rational variable Q, kung saan m=[Q(a1, …, a):Q], kung saan mayroong antas ng algebraic exponents Q (a1, …, a ) sa Q. Ang mga hindi kumpletong species ay ang mga nasa na ang maximum na bilang ng a i ay mas mababa sa m.
Ang mga buong form ay mas simple, ang kanilang pag-aaral ay kumpleto, at lahat ng mga solusyon ay maaaring ilarawan. Ang pangalawang uri, hindi kumpletong species, ay mas kumplikado, at ang pagbuo ng naturang teorya ay hindi pa nakumpleto. Ang mga naturang equation ay pinag-aaralan gamit ang Diophantine approximation, na kinabibilangan ng hindi pagkakapantay-pantay F(x, y)=C, kung saan ang F (x, y) ay isang hindi mababawasan, homogenous na polynomial ng degree n≧3. Kaya, maaari nating ipagpalagay na yi→∞. Alinsunod dito, kung ang yi ay sapat na malaki, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay ay sasalungat sa theorem ng Thue, Siegel at Roth, kung saan sinusundan nito ang F(x, y)=C, kung saan ang F ay isang anyo ng ikatlong antas o mas mataas, ang hindi mababawasan ay hindi maaaring magkaroon ng walang katapusang bilang ng mga solusyon.
Paano lutasin ang isang Diophantine equation?
Ang halimbawang ito ay medyo makitid na klase sa lahat. Halimbawa, sa kabila ng kanilang pagiging simple, x3 + y3 + z3=N, at x2 +y 2 +z2 +u2 =N ay hindi kasama sa klase na ito. Ang pag-aaral ng mga solusyon ay isang medyo maingat na pinag-aralan na sangay ng Diophantine equation, kung saan ang batayan ay ang representasyon ng mga quadratic na anyo ng mga numero. Lagrangelumikha ng isang theorem na nagsasabing ang katuparan ay umiiral para sa lahat ng natural na N. Anumang natural na numero ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng tatlong parisukat (Gauss's theorem), ngunit hindi ito dapat nasa anyong 4a (8K- 1), kung saan ang a at k ay mga non-negative na integer exponent.
Rational o integral solutions sa isang system ng isang Diophantine equation ng uri F (x1, …, x)=a, kung saan F (x 1, …, x) ay isang parisukat na anyo na may mga integer coefficient. Kaya, ayon sa Minkowski-Hasse theorem, ang hindi pagkakapantay-pantay ∑aijxixj=b ijat ang b ay makatwiran, may integral na solusyon sa tunay at p-adic na mga numero para sa bawat prime number p lamang kung ito ay malulutas sa istrukturang ito.
Dahil sa mga likas na kahirapan, ang pag-aaral ng mga numero na may mga di-makatwirang anyo ng ikatlong antas at mas mataas ay pinag-aralan sa mas mababang antas. Ang pangunahing paraan ng pagpapatupad ay ang paraan ng mga trigonometric sums. Sa kasong ito, ang bilang ng mga solusyon sa equation ay tahasang nakasulat sa mga tuntunin ng integral ng Fourier. Pagkatapos nito, ang pamamaraan ng kapaligiran ay ginagamit upang ipahayag ang bilang ng katuparan ng hindi pagkakapantay-pantay ng mga kaukulang congruences. Ang paraan ng mga trigonometriko na kabuuan ay nakasalalay sa mga algebraic na katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay. Mayroong malaking bilang ng mga elementarya na pamamaraan para sa paglutas ng mga linear na Diophantine equation.
Pagsusuri ng diophantine
Departamento ng matematika, ang paksa kung saan ay ang pag-aaral ng integral at rational na solusyon ng mga sistema ng mga equation ng algebra sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng geometry, mula sa parehongmga globo. Sa ikalawang kalahati ng ika-19 na siglo, ang paglitaw ng teorya ng bilang na ito ay humantong sa pag-aaral ng mga equation ng Diophantine mula sa isang arbitrary na larangan na may mga coefficient, at ang mga solusyon ay isinasaalang-alang alinman sa loob nito o sa mga singsing nito. Ang sistema ng mga algebraic function na binuo nang kahanay sa mga numero. Ang pangunahing pagkakatulad sa pagitan ng dalawa, na binigyang-diin ni D. Hilbert at, sa partikular, si L. Kronecker, ay humantong sa magkatulad na pagbuo ng iba't ibang konsepto ng aritmetika, na karaniwang tinatawag na global.
Ito ay lalo na kapansin-pansin kung ang mga algebraic function na pinag-aaralan sa isang may hangganan na larangan ng mga constant ay isang variable. Ang mga konsepto tulad ng class field theory, divisor, at branching at mga resulta ay isang magandang paglalarawan ng nasa itaas. Ang pananaw na ito ay pinagtibay sa sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng Diophantine, at ang sistematikong pagsasaliksik hindi lamang sa mga numerical coefficient, kundi pati na rin sa mga coefficient na mga function, ay nagsimula lamang noong 1950s. Isa sa mga mapagpasyang salik sa pamamaraang ito ay ang pagbuo ng algebraic geometry. Ang sabay-sabay na pag-aaral ng mga larangan ng mga numero at function, na lumitaw bilang dalawang magkaparehong mahalagang aspeto ng parehong paksa, ay hindi lamang nagbigay ng elegante at nakakumbinsi na mga resulta, ngunit humantong sa kapwa pagpapayaman ng dalawang paksa.
Sa algebraic geometry, ang paniwala ng isang variety ay pinapalitan ng isang non-invariant na hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang ibinigay na field K, at ang kanilang mga solusyon ay pinapalitan ng mga rational point na may mga value sa K o sa may hangganang extension nito. Maaaring sabihin ng isa na ang pangunahing problema ng geometry ng Diophantine ay ang pag-aaral ng mga makatwirang puntosng isang algebraic set X(K), habang ang X ay ilang partikular na numero sa field na K. Ang integer execution ay may geometric na kahulugan sa linear Diophantine equation.
Hindi pagkakapantay-pantay na pag-aaral at mga opsyon sa pagpapatupad
Kapag nag-aaral ng rational (o integral) na mga punto sa algebraic varieties, ang unang problema ay lumitaw, na kung saan ay ang kanilang pag-iral. Ang ikasampung problema ni Hilbert ay binabalangkas bilang ang problema sa paghahanap ng pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng problemang ito. Sa proseso ng paglikha ng isang eksaktong kahulugan ng algorithm at pagkatapos na mapatunayan na walang ganoong mga pagpapatupad para sa isang malaking bilang ng mga problema, ang problema ay nakakuha ng isang malinaw na negatibong resulta, at ang pinaka-kagiliw-giliw na tanong ay ang kahulugan ng mga klase ng Diophantine equation. kung saan umiiral ang sistema sa itaas. Ang pinaka-natural na diskarte, mula sa algebraic point of view, ay ang tinatawag na Hasse principle: ang unang field na K ay pinag-aaralan kasama ng mga pagkumpleto nito Kv sa lahat ng posibleng pagtatantya. Dahil ang X(K)=X(Kv) ay isang kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon, at isinasaalang-alang ng K point na ang set X(Kv) ay hindi walang laman para sa lahat ng v.
Ang kahalagahan ay nakasalalay sa katotohanang pinagsasama nito ang dalawang problema. Ang pangalawa ay mas simple, ito ay nalulusaw sa isang kilalang algorithm. Sa partikular na kaso kung saan projective ang variety X, ang lemma ni Hansel at ang mga generalization nito ay ginagawang posible ang karagdagang pagbabawas: ang problema ay maaaring bawasan sa pag-aaral ng mga makatwirang punto sa isang may hangganang larangan. Pagkatapos ay nagpasya siyang bumuo ng isang konsepto alinman sa pamamagitan ng pare-parehong pananaliksik o mas epektibong pamamaraan.
Hulingisang mahalagang pagsasaalang-alang ay ang mga hanay na X(Kv) ay walang laman para sa lahat maliban sa isang may hangganang bilang ng v, kaya ang bilang ng mga kundisyon ay palaging may hangganan at ang mga ito ay mabisang masuri. Gayunpaman, ang prinsipyo ni Hasse ay hindi nalalapat sa mga curve ng degree. Halimbawa, ang 3x3 + 4y3=5 ay may mga puntos sa lahat ng mga field ng p-adic na numero at sa sistema ng mga tunay na numero, ngunit walang makatwirang puntos.
Ang paraang ito ay nagsilbing panimulang punto para sa pagbuo ng isang konsepto na naglalarawan sa mga klase ng pangunahing homogenous na espasyo ng mga Abelian varieties upang magsagawa ng "paglihis" mula sa prinsipyo ng Hasse. Ito ay inilarawan sa mga tuntunin ng isang espesyal na istraktura na maaaring maiugnay sa bawat manifold (Tate-Shafarevich group). Ang pangunahing kahirapan ng teorya ay nakasalalay sa katotohanan na ang mga pamamaraan para sa pagkalkula ng mga grupo ay mahirap makuha. Ang konseptong ito ay pinalawak din sa iba pang klase ng algebraic varieties.
Maghanap ng algorithm para sa pagtupad ng mga hindi pagkakapantay-pantay
Ang isa pang heuristic na ideya na ginamit sa pag-aaral ng Diophantine equation ay kung ang bilang ng mga variable na kasangkot sa isang set ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay malaki, kung gayon ang sistema ay karaniwang may solusyon. Gayunpaman, ito ay napakahirap patunayan para sa anumang partikular na kaso. Ang pangkalahatang diskarte sa mga problema ng ganitong uri ay gumagamit ng analytic number theory at nakabatay sa mga pagtatantya para sa mga trigonometriko na kabuuan. Ang paraang ito ay orihinal na inilapat sa mga espesyal na uri ng mga equation.
Gayunpaman, kalaunan ay napatunayan sa tulong nito na kung ang anyo ng kakaibang digri ay F, sa dat n mga variable at may rational coefficients, kung gayon ang n ay sapat na malaki kumpara sa d, kaya ang projective hypersurface F=0 ay may rational point. Ayon sa haka-haka ni Artin, ang resulta na ito ay totoo kahit na n > d2. Ito ay napatunayan lamang para sa mga parisukat na anyo. Ang mga katulad na problema ay maaaring itanong para sa iba pang mga larangan. Ang pangunahing problema ng Diophantine geometry ay ang istraktura ng set ng integer o rational na mga puntos at ang kanilang pag-aaral, at ang unang tanong na linawin ay kung ang hanay na ito ay may hangganan. Sa problemang ito, ang sitwasyon ay karaniwang may hangganan na bilang ng mga execution kung ang antas ng system ay mas malaki kaysa sa bilang ng mga variable. Ito ang pangunahing palagay.
Hindi pagkakapantay-pantay sa mga linya at kurba
Ang pangkat na X(K) ay maaaring katawanin bilang isang direktang kabuuan ng isang libreng istraktura ng ranggo r at isang may hangganang pangkat ng order n. Mula noong 1930s, napag-aralan na ang tanong kung ang mga numerong ito ay nakatali sa hanay ng lahat ng elliptic curve sa isang partikular na field K. Ang boundedness ng torsion n ay ipinakita noong dekada setenta. May mga kurba ng di-makatwirang mataas na ranggo sa functional case. Sa numerical case, wala pa ring sagot sa tanong na ito.
Sa wakas, ang haka-haka ni Mordell ay nagsasaad na ang bilang ng mga integral na puntos ay may hangganan para sa isang curve ng genus g>1. Sa functional case, ang konseptong ito ay ipinakita ni Yu. I. Manin noong 1963. Ang pangunahing tool na ginamit sa pagpapatunay ng finiteness theorems sa Diophantine geometry ay ang taas. Sa mga algebraic varieties, ang mga sukat sa itaas ng isa ay abelianang mga manifold, na mga multidimensional na analogs ng elliptic curve, ay ang pinaka-masusing pinag-aralan.
A. Si Weil ay nag-generalize ng theorem sa finiteness ng bilang ng mga generator ng isang pangkat ng mga rational point sa Abelian varieties ng anumang dimensyon (ang konsepto ng Mordell-Weil), na pinalawak ito. Noong 1960s, lumitaw ang haka-haka ng Birch at Swinnerton-Dyer, na pinahusay ito at ang grupo at ang mga function ng zeta ng manifold. Sinusuportahan ng numerical evidence ang hypothesis na ito.
Problema sa kakayahang malutas
Ang problema sa paghahanap ng algorithm na magagamit upang matukoy kung may solusyon ang alinmang Diophantine equation. Ang isang mahalagang tampok ng problema na ibinabanta ay ang paghahanap para sa isang unibersal na pamamaraan na magiging angkop para sa anumang hindi pagkakapantay-pantay. Ang ganitong paraan ay magbibigay-daan din sa paglutas ng mga system sa itaas, dahil ito ay katumbas ng P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 o p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Ang problema sa paghahanap ng tulad ng isang unibersal na paraan upang makahanap ng mga solusyon para sa mga linear na hindi pagkakapantay-pantay sa mga integer ay ipinahayag ni D. Gilbert.
Noong unang bahagi ng 1950s, lumitaw ang mga unang pag-aaral na naglalayong patunayan ang hindi pagkakaroon ng isang algorithm para sa paglutas ng mga equation ng Diophantine. Sa oras na ito, lumitaw ang haka-haka ni Davis, na nagsabi na ang anumang enumerable set ay kabilang din sa Greek scientist. Dahil ang mga halimbawa ng algorithm na hindi matukoy na mga set ay kilala, ngunit recursively enumerable. Ito ay sumusunod na ang haka-haka ni Davis ay totoo at ang problema ng pagkalutas ng mga equation na itomay negatibong execution.
Pagkatapos noon, para sa haka-haka ni Davis, nananatili itong patunayan na mayroong paraan para sa pagbabago ng hindi pagkakapantay-pantay na mayroon ding (o wala) kasabay na solusyon. Ipinakita na ang gayong pagbabago ng equation ng Diophantine ay posible kung mayroon itong dalawang katangian sa itaas: 1) sa anumang solusyon ng ganitong uri v ≦ uu; 2) para sa anumang k, mayroong execution na may exponential growth.
Isang halimbawa ng linear Diophantine equation ng klase na ito ang kumumpleto sa patunay. Ang problema sa pagkakaroon ng isang algorithm para sa kakayahang malutas at pagkilala sa mga hindi pagkakapantay-pantay na ito sa mga rational na numero ay itinuturing pa rin na isang mahalaga at bukas na tanong na hindi pa napag-aralan nang sapat.
