Malamang na maraming tao ang nag-iisip tungkol sa kung posible bang kalkulahin ang mga kaganapan na higit pa o hindi gaanong random. Sa madaling salita, makatotohanan ba na malaman kung aling bahagi ng die sa dice ang susunod na mahuhulog. Ang tanong na ito ang itinanong ng dalawang mahusay na siyentipiko, na naglatag ng pundasyon para sa naturang agham gaya ng teorya ng probabilidad, kung saan ang posibilidad ng isang pangyayari ay lubos na pinag-aaralan.
Origination
Kung susubukan mong tukuyin ang naturang konsepto bilang probability theory, makukuha mo ang sumusunod: ito ay isa sa mga sangay ng matematika na nag-aaral ng constancy ng mga random na kaganapan. Siyempre, hindi talaga ibinubunyag ng konseptong ito ang buong diwa, kaya kailangang isaalang-alang ito nang mas detalyado.
Gusto kong magsimula sa mga lumikha ng teorya. Tulad ng nabanggit sa itaas, mayroong dalawa sa kanila, ito ay sina Pierre Fermat at Blaise Pascal. Sila ang kabilang sa mga unang sumubok na kalkulahin ang kinalabasan ng isang kaganapan gamit ang mga formula at mga kalkulasyon sa matematika. Sa kabuuan, ang mga simulain ng agham na ito ay lumitaw nang maagaMiddle Ages. Sa oras na iyon, sinubukan ng iba't ibang mga palaisip at siyentipiko na suriin ang pagsusugal, tulad ng roulette, craps, at iba pa, sa gayon ay nagtatag ng isang pattern at porsyento ng isang partikular na numero na nahuhulog. Ang pundasyon ay inilatag noong ikalabing pitong siglo ng mga nabanggit na siyentipiko.
Sa una, hindi maiuugnay ang kanilang trabaho sa magagandang tagumpay sa larangang ito, dahil ang lahat ng kanilang ginawa ay mga empirical na katotohanan lamang, at ang mga eksperimento ay itinakda nang biswal, nang hindi gumagamit ng mga formula. Sa paglipas ng panahon, ito ay naka-out upang makamit ang mahusay na mga resulta, na lumitaw bilang isang resulta ng pagmamasid sa paghagis ng dice. Ang tool na ito ang tumulong upang makuha ang unang mauunawaan na mga formula.
Associates
Imposibleng hindi banggitin ang taong tulad ni Christian Huygens, sa proseso ng pag-aaral ng isang paksang tinatawag na "probability theory" (ang posibilidad ng isang pangyayari ay tiyak na sakop sa agham na ito). Napakainteresante ng taong ito. Siya, tulad ng mga siyentipiko na ipinakita sa itaas, ay sinubukang kunin ang regularidad ng mga random na kaganapan sa anyo ng mga mathematical formula. Kapansin-pansin na hindi niya ito ginawa kasama sina Pascal at Fermat, iyon ay, ang lahat ng kanyang mga gawa ay hindi sa anumang paraan ay sumasalubong sa mga isip na ito. Hinango ni Huygens ang mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad.
Ang isang kawili-wiling katotohanan ay ang kanyang trabaho ay lumabas bago pa ang mga resulta ng gawain ng mga pioneer, o sa halip, dalawampung taon na ang nakalipas. Kabilang sa mga itinalagang konsepto, ang pinakasikat ay:
- ang konsepto ng probabilidad bilang laki ng pagkakataon;
- expectation para sa discretekaso;
- theorems ng multiplikasyon at pagdaragdag ng mga probabilities.
Imposible ring hindi maalala si Jacob Bernoulli, na gumawa din ng malaking kontribusyon sa pag-aaral ng problema. Ang pagsasagawa ng kanyang sariling mga pagsubok, independiyente sa sinuman, nagawa niyang magpakita ng isang patunay ng batas ng malalaking numero. Sa turn, ang mga siyentipiko na sina Poisson at Laplace, na nagtrabaho sa simula ng ikalabinsiyam na siglo, ay nagawang patunayan ang orihinal na mga theorems. Ito ay mula sa sandaling ito na ang teorya ng posibilidad ay nagsimulang gamitin upang pag-aralan ang mga pagkakamali sa kurso ng mga obserbasyon. Ang mga siyentipikong Ruso, o sa halip, sina Markov, Chebyshev at Dyapunov, ay hindi rin makalampas sa agham na ito. Batay sa gawaing ginawa ng mga dakilang henyo, inayos nila ang paksang ito bilang sangay ng matematika. Ang mga numerong ito ay nagtrabaho na sa pagtatapos ng ikalabinsiyam na siglo, at salamat sa kanilang kontribusyon, mga phenomena tulad ng:
- batas ng malalaking numero;
- Markov chain theory;
- central limit theorem.
Kaya, sa kasaysayan ng pagsilang ng agham at sa mga pangunahing tao na nakaimpluwensya dito, ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw. Ngayon ay oras na para i-concretize ang lahat ng katotohanan.
Mga pangunahing konsepto
Bago hawakan ang mga batas at theorems, ito ay nagkakahalaga ng pag-aaral ng mga pangunahing konsepto ng probability theory. Ang kaganapan ay tumatagal ng nangungunang papel dito. Napakalaki ng paksang ito, ngunit kung wala ito ay hindi posibleng maunawaan ang lahat ng iba pa.
Ang isang kaganapan sa teorya ng posibilidad ay anumang hanay ng mga kinalabasan ng isang eksperimento. Walang napakaraming mga konsepto ng hindi pangkaraniwang bagay na ito. Kaya, siyentipikong si Lotman,nagtatrabaho sa lugar na ito, sinabi na sa kasong ito ay pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang bagay na "nangyari, bagaman maaaring hindi ito nangyari."
Ang
Random na mga kaganapan (probability theory ay nagbibigay ng espesyal na atensyon sa kanila) ay isang konsepto na ganap na nagpapahiwatig ng anumang phenomenon na may kakayahang mangyari. O, sa kabaligtaran, maaaring hindi mangyari ang sitwasyong ito kapag maraming kundisyon ang natutugunan. Ito rin ay nagkakahalaga ng pag-alam na ito ay mga random na kaganapan na kumukuha ng buong dami ng mga phenomena na naganap. Ang teorya ng probabilidad ay nagpapahiwatig na ang lahat ng mga kondisyon ay maaaring paulit-ulit na palagi. Ang kanilang pag-uugali ang tinatawag na "karanasan" o "pagsubok".
Ang isang partikular na kaganapan ay isa na 100% mangyayari sa isang partikular na pagsubok. Alinsunod dito, ang isang imposibleng kaganapan ay isa na hindi mangyayari.
Ang
Kombinasyon ng isang pares ng mga aksyon (karaniwang case A at case B) ay isang phenomenon na nangyayari nang sabay-sabay. Sila ay itinalaga bilang AB.
Ang kabuuan ng mga pares ng mga pangyayaring A at B ay C, sa madaling salita, kung mangyari man lamang ang isa sa mga ito (A o B), kung gayon ang C ay makukuha. Ang pormula ng inilarawang phenomenon ay nakasulat tulad ng sumusunod: C=A + B.
Ang magkahiwalay na mga kaganapan sa teorya ng posibilidad ay nagpapahiwatig na ang dalawang kaso ay kapwa eksklusibo. Hindi sila maaaring mangyari nang sabay-sabay. Ang mga pinagsamang kaganapan sa teorya ng posibilidad ay ang kanilang antipode. Ipinahihiwatig nito na kung nangyari ang A, hindi ito makakasagabal sa B.
Kabaligtaran na mga kaganapan (ang teorya ng posibilidad ay tumatalakay sa mga ito nang detalyado) ay madaling maunawaan. Pinakamabuting harapin ang mga ito sa paghahambing. Halos magkapareho silaat hindi magkatugma na mga kaganapan sa teorya ng posibilidad. Ngunit ang kanilang pagkakaiba ay nasa katotohanan na ang isa sa maraming phenomena ay dapat mangyari pa rin.
Ang mga katumbas na kaganapan ay ang mga pagkilos na iyon, na ang posibilidad ay pantay. Upang gawing mas malinaw, maaari nating isipin ang paghagis ng isang barya: ang pagkahulog ng isa sa mga gilid nito ay pantay na malamang na mahulog ang isa.
Ang mapalad na kaganapan ay mas madaling makita sa isang halimbawa. Sabihin nating mayroong episode B at episode A. Ang una ay ang roll ng dice na may hitsura ng isang kakaibang numero, at ang pangalawa ay ang hitsura ng numerong lima sa die. Pagkatapos ay lumabas na pinapaboran ni A si B.
Ang mga independiyenteng kaganapan sa teorya ng posibilidad ay inaasahang sa dalawa o higit pang mga kaso at nagpapahiwatig ng kalayaan ng anumang aksyon mula sa iba. Halimbawa, ang A ay ang pagkawala ng mga buntot kapag ang isang barya ay inihagis, at ang B ay ang pagguhit ng isang jack mula sa deck. Ang mga ito ay independiyenteng mga kaganapan sa teorya ng posibilidad. Sa sandaling ito ay naging mas malinaw.
Ang mga nakadependeng kaganapan sa probability theory ay tinatanggap lamang para sa kanilang set. Ipinahihiwatig nila ang pag-asa ng isa sa isa, iyon ay, ang phenomenon B ay maaaring mangyari lamang kung ang A ay nangyari na o, sa kabilang banda, ay hindi pa nangyari, kapag ito ang pangunahing kondisyon para sa B.
Ang kinalabasan ng isang random na eksperimento na binubuo ng isang bahagi ay mga elementarya na kaganapan. Ipinapaliwanag ng probability theory na ito ay isang phenomenon na isang beses lang nangyari.
Mga pangunahing formula
Kaya, ang mga konsepto ng "kaganapan", "teorya ng posibilidad",ibinigay din ang kahulugan ng mga pangunahing termino ng agham na ito. Ngayon ay oras na upang pamilyar nang direkta sa mga mahahalagang formula. Ang mga expression na ito ay mathematically na nagpapatunay sa lahat ng mga pangunahing konsepto sa isang mahirap na paksa tulad ng probability theory. Malaki rin ang papel na ginagampanan dito ng posibilidad ng isang kaganapan.
Mas mahusay na magsimula sa mga pangunahing formula ng combinatorics. At bago magpatuloy sa kanila, sulit na isaalang-alang kung ano ito.
Ang
Combinatorics ay pangunahing sangay ng matematika, ito ay tumatalakay sa pag-aaral ng napakalaking bilang ng mga integer, pati na rin ang iba't ibang permutasyon ng mga numero mismo at ng kanilang mga elemento, iba't ibang data, atbp., na humahantong sa paglitaw ng isang bilang ng mga kumbinasyon. Bilang karagdagan sa teorya ng posibilidad, ang sangay na ito ay mahalaga para sa mga istatistika, agham sa computer at cryptography.
Kaya ngayon ay maaari na tayong magpatuloy sa paglalahad mismo ng mga formula at pagtukoy sa mga ito.
Ang una ay magiging expression para sa bilang ng mga permutasyon, ganito ang hitsura:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Nalalapat lang ang equation kung magkaiba lang ang mga elemento sa pagkakasunud-sunod.
Ngayon ay isasaalang-alang ang formula ng placement, ganito ang hitsura:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Nalalapat ang expression na ito hindi lamang sa pagkakasunud-sunod ng elemento, kundi pati na rin sa komposisyon nito.
Ang ikatlong equation mula sa combinatorics, at ito rin ang huli, ay tinatawag na formula para sa bilang ng mga kumbinasyon:
C_n^m=n !:((n -m))!:m !
Ang mga kumbinasyon ay mga seleksyon na hindi nakaayos, ayon sa pagkakasunod-sunod, at nalalapat sa kanila ang panuntunang ito.
Ito ay naging madali upang malaman ang mga formula ng combinatorics, ngayon ay maaari na tayong lumipat sa klasikal na kahulugan ng mga probabilidad. Mukhang ganito ang expression na ito:
P(A)=m: n.
Sa formula na ito, ang m ay ang bilang ng mga kundisyon na paborable sa event A, at ang n ay ang bilang ng ganap na lahat ng pantay na posible at elementarya na mga resulta.
Mayroong isang malaking bilang ng mga expression, hindi saklaw ng artikulo ang lahat ng mga ito, ngunit ang pinakamahalaga sa kanila ay maaantig, tulad ng, halimbawa, ang posibilidad ng kabuuan ng mga kaganapan:
P(A + B)=P(A) + P(B) - ang theorem na ito ay para sa pagdaragdag lamang ng mga hindi tugmang kaganapan;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - at ito ay para sa pagdaragdag lang ng mga katugma.
Probability ng paggawa ng mga kaganapan:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – ang theorem na ito ay para sa mga independiyenteng kaganapan;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - at ito ay para sa mga adik.
Ang formula ng kaganapan ay nagtatapos sa listahan. Sinasabi sa atin ng probability theory ang tungkol sa Bayes' theorem, na ganito ang hitsura:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
Sa formula na ito, ang H1, H2, …, H ay ang kumpletong pangkat ng mga hypotheses.
Tumigil tayo dito, pagkatapos ay isasaalang-alang ang mga halimbawa ng paglalapat ng mga formula upang malutas ang mga partikular na problema mula sa pagsasanay.
Mga Halimbawa
Kung maingat mong pag-aaralan ang anumang seksyonmatematika, hindi ito nagagawa nang walang mga pagsasanay at mga sample na solusyon. Gayon din ang teorya ng probabilidad: ang mga pangyayari, ang mga halimbawa dito ay isang mahalagang bahagi na nagpapatunay sa mga kalkulasyon ng siyensya.
Formula para sa bilang ng mga permutasyon
Sabihin nating mayroong tatlumpung card sa isang deck ng mga card, simula sa halaga ng isa. Sunod sunod na tanong. Ilang paraan ang mayroon upang i-stack ang deck upang ang mga card na may halagang isa at dalawa ay hindi magkatabi?
Naitakda na ang gawain, ngayon ay magpatuloy tayo sa paglutas nito. Una kailangan mong matukoy ang bilang ng mga permutasyon ng tatlumpung elemento, para dito kinukuha namin ang formula sa itaas, lumalabas na P_30=30!.
Batay sa panuntunang ito, malalaman natin kung gaano karaming mga opsyon ang mayroon upang tiklop ang deck sa iba't ibang paraan, ngunit kailangan nating ibawas sa kanila ang kung saan susunod ang una at pangalawang card. Upang gawin ito, magsimula tayo sa opsyon kapag ang una ay nasa itaas ng pangalawa. Lumalabas na ang unang card ay maaaring tumagal ng dalawampu't siyam na lugar - mula sa una hanggang ikadalawampu't siyam, at ang pangalawang card mula sa pangalawa hanggang sa ika-tatlumpu, lumiliko ang dalawampu't siyam na lugar para sa isang pares ng mga baraha. Sa turn, ang natitira ay maaaring tumagal ng dalawampu't walong lugar, at sa anumang pagkakasunud-sunod. Ibig sabihin, para sa permutation ng dalawampu't walong card, mayroong dalawampu't walong opsyon P_28=28!
Bilang resulta, lumalabas na kung isasaalang-alang natin ang solusyon kapag ang unang card ay lampas na sa pangalawa, mayroong 29 ⋅ 28 dagdag na posibilidad!=29!
Gamit ang parehong paraan, kailangan mong kalkulahin ang bilang ng mga redundant na opsyon para sa kaso kapag ang unang card ay nasa ilalim ng pangalawa. Lumalabas din na 29 ⋅ 28!=29!
Ito ay sumusunod na mayroong 2 ⋅ 29 dagdag na opsyon!, habang mayroong 30 kinakailangang paraan upang bumuo ng deck! - 2 ⋅ 29!. Ito ay nananatili lamang upang mabilang.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Ngayon ay kailangan mong i-multiply ang lahat ng mga numero mula isa hanggang dalawampu't siyam, at pagkatapos ay i-multiply ang lahat sa 28. Ang sagot ay 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Solusyon ng halimbawa. Formula para sa Placement Number
Sa problemang ito, kailangan mong alamin kung gaano karaming paraan ang mayroon para maglagay ng labinlimang volume sa isang istante, ngunit sa kondisyon na mayroong tatlumpung volume sa kabuuan.
Ang problemang ito ay may bahagyang mas madaling solusyon kaysa sa nauna. Gamit ang alam nang formula, kinakailangang kalkulahin ang kabuuang bilang ng mga lokasyon mula sa tatlumpung volume ng labinlimang.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 84390
Ang sagot, ayon sa pagkakabanggit, ay magiging 202 843 204 931 727 360 000.
Ngayon, gawin nating mas mahirap ang gawain. Kailangan mong alamin kung gaano karaming mga paraan upang ayusin ang tatlumpung aklat sa dalawang bookshelf, sa kondisyon na labinlimang volume lang ang maaaring nasa isang shelf.
Bago simulan ang solusyon, nais kong linawin na ang ilang mga problema ay nareresolba sa maraming paraan, kaya mayroong dalawang paraan sa isang ito, ngunit ang parehong formula ay ginagamit sa pareho.
Sa problemang ito, maaari mong kunin ang sagot mula sa nauna, dahil doon namin nakalkula kung ilang beses mo mapupuno ang isang istante ng labinlimang aklat para sa-iba. Lumabas na A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Kakalkulahin namin ang pangalawang istante gamit ang permutation formula, dahil labinlimang aklat ang nakalagay dito, habang labinlima na lang ang natitira. Gamitin ang formula P_15=15!.
Lumalabas na ang kabuuan ay magiging A_30^15 ⋅ P_15 na paraan, ngunit, bilang karagdagan, ang produkto ng lahat ng mga numero mula tatlumpu hanggang labing-anim ay kailangang i-multiply sa produkto ng mga numero mula isa hanggang labinlima, bilang isang resulta, ang produkto ng lahat ng numero mula isa hanggang tatlumpu, kaya ang sagot ay 30!
Ngunit ang problemang ito ay maaaring malutas sa ibang paraan - mas madali. Upang gawin ito, maaari mong isipin na mayroong isang istante para sa tatlumpung libro. Ang lahat ng mga ito ay inilagay sa eroplanong ito, ngunit dahil ang kundisyon ay nangangailangan na mayroong dalawang istante, pinutol namin ang isang mahaba sa kalahati, ito ay lumiliko na dalawa labinlima bawat isa. Mula dito lumalabas na ang mga opsyon sa paglalagay ay maaaring P_30=30!.
Solusyon ng halimbawa. Formula para sa kumbinasyong numero
Ngayon ay isasaalang-alang namin ang isang variant ng ikatlong problema mula sa combinatorics. Kailangan mong malaman kung gaano karaming mga paraan ang mayroon upang ayusin ang labinlimang aklat, sa kondisyon na kailangan mong pumili mula sa tatlumpung ganap na magkapareho.
Para sa solusyon, siyempre, ilalapat ang formula para sa bilang ng mga kumbinasyon. Mula sa kondisyon ay nagiging malinaw na ang pagkakasunud-sunod ng magkatulad na labinlimang aklat ay hindi mahalaga. Samakatuwid, sa simula ay kailangan mong malaman ang kabuuang bilang ng mga kumbinasyon ng tatlumpung aklat ng labinlimang.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: labinlima!=155 117 520
Iyon lang. Gamit ang formula na ito, posible ito sa pinakamaikling panahonlutasin ang ganoong problema, ang sagot, ayon sa pagkakabanggit, ay 155 117 520.
Solusyon ng halimbawa. Ang klasikong kahulugan ng probabilidad
Gamit ang formula sa itaas, mahahanap mo ang sagot sa isang simpleng problema. Ngunit makakatulong ito upang biswal na makita at sundin ang kurso ng mga aksyon.
Ibinigay sa problema na mayroong sampung ganap na magkaparehong bola sa urn. Sa mga ito, apat ang dilaw at anim ang asul. Isang bola ang kinuha mula sa urn. Kailangan mong malaman ang posibilidad na magkaroon ng asul.
Upang malutas ang problema, kinakailangang italaga ang pagkuha ng asul na bola bilang event A. Ang karanasang ito ay maaaring magkaroon ng sampung resulta, na, sa turn, ay elementarya at pare-pareho ang posibilidad. Kasabay nito, sa sampu, anim ang paborable para sa event A. Niresolve namin ayon sa formula:
P(A)=6: 10=0, 6
Sa paglalapat ng formula na ito, nalaman namin na ang posibilidad na makuha ang asul na bola ay 0.6.
Solusyon ng halimbawa. Probability ng kabuuan ng mga kaganapan
Ngayon ay ipapakita ang isang variant, na malulutas gamit ang formula para sa posibilidad ng kabuuan ng mga kaganapan. Kaya, sa ibinigay na kondisyon na mayroong dalawang kahon, ang una ay naglalaman ng isang kulay abo at limang puting bola, at ang pangalawa ay naglalaman ng walong kulay abo at apat na puting bola. Bilang resulta, ang isa sa kanila ay kinuha mula sa una at pangalawang kahon. Kailangan mong malaman kung ano ang posibilidad na ang mga bola na makukuha mo ay magiging kulay abo at puti.
Para malutas ang problemang ito, kailangan mong lagyan ng label ang mga kaganapan.
- Kaya, A - kumuha ng kulay abong bola mula sa unang kahon: P(A)=1/6.
- A’ – kumuha din ng puting bola mula sa unang kahon: P(A')=5/6.
- B – ang kulay abong bola ay nakuha na sa pangalawang kahon: P(B)=2/3.
- B’ – kumuha ng kulay abong bola mula sa pangalawang kahon: P(B')=1/3.
Ayon sa kondisyon ng problema, dapat mangyari ang isa sa mga phenomena: AB' o A'B. Gamit ang formula, makuha natin ang: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Ngayon ang probability multiplication formula ay ginamit na. Susunod, para malaman ang sagot, kailangan mong ilapat ang equation para sa kanilang karagdagan:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Ganito, gamit ang formula, malulutas mo ang mga katulad na problema.
Resulta
Nagbigay ang artikulo ng impormasyon sa paksang "Teorya ng Probability", kung saan ang posibilidad ng isang kaganapan ay gumaganap ng isang mahalagang papel. Siyempre, hindi lahat ay isinasaalang-alang, ngunit, batay sa ipinakita na teksto, ang isa ay maaaring teoretikal na pamilyar sa seksyong ito ng matematika. Ang agham na pinag-uusapan ay maaaring maging kapaki-pakinabang hindi lamang sa propesyonal na trabaho, kundi pati na rin sa pang-araw-araw na buhay. Sa tulong nito, maaari mong kalkulahin ang anumang posibilidad ng anumang kaganapan.
Ang teksto ay humipo rin sa mahahalagang petsa sa kasaysayan ng pagbuo ng probability theory bilang isang agham, at ang mga pangalan ng mga tao na ang mga gawa ay namuhunan dito. Ito ay kung paano ang pagkamausisa ng tao ay humantong sa katotohanan na ang mga tao ay natutong magkalkula kahit na ang mga random na kaganapan. Noong nakaraan ay interesado lang sila dito, ngunit ngayon alam na ng lahat ang tungkol dito. At walang magsasabi kung ano ang naghihintay sa atin sa hinaharap, kung ano ang iba pang makikinang na pagtuklas na may kaugnayan sa teoryang isinasaalang-alang ang gagawin. Ngunit isang bagay ang sigurado - hindi tumitigil ang pananaliksik!
