Marami, nahaharap sa konsepto ng "probability theory", ay natatakot, iniisip na ito ay isang bagay na napakalaki, napakasalimuot. Ngunit ito ay talagang hindi lahat na trahedya. Ngayon ay isasaalang-alang natin ang pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad, matutunan kung paano lutasin ang mga problema gamit ang mga partikular na halimbawa.
Science
Ano ang pinag-aaralan ng sangay ng matematika bilang "teoryang probabilidad"? Ito ay nagtatala ng mga pattern ng mga random na kaganapan at dami. Sa unang pagkakataon, naging interesado ang mga siyentipiko sa isyung ito noong ikalabing walong siglo, nang mag-aral sila ng pagsusugal. Ang pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad ay isang kaganapan. Ito ay anumang katotohanan na tinitiyak ng karanasan o pagmamasid. Ngunit ano ang karanasan? Isa pang pangunahing konsepto ng probability theory. Nangangahulugan ito na ang komposisyon ng mga pangyayari ay hindi nilikha ng pagkakataon, ngunit para sa isang tiyak na layunin. Tungkol naman sa obserbasyon, dito mismong ang mananaliksik ay hindi nakikilahok sa eksperimento, ngunit isang saksi lamang sa mga pangyayaring ito, hindi niya naiimpluwensyahan ang mga nangyayari sa anumang paraan.
Mga Kaganapan
Natutunan namin na ang pangunahing konsepto ng probability theory ay isang kaganapan, ngunit hindi isinasaalang-alang ang pag-uuri. Lahat sila ay nahahati sa mga sumusunod na kategorya:
- Maaasahan.
- Imposible.
- Random.
Hindi mahalagakung anong uri ng mga kaganapan ang naobserbahan o nilikha sa kurso ng karanasan, lahat sila ay napapailalim sa pag-uuri na ito. Nag-aalok kami na kilalanin ang bawat isa sa mga species nang hiwalay.
Ilang kaganapan
Ito ay isang pangyayari bago naisagawa ang kinakailangang hanay ng mga hakbang. Upang mas maunawaan ang kakanyahan, mas mahusay na magbigay ng ilang mga halimbawa. Ang pisika, kimika, ekonomiya, at mas mataas na matematika ay napapailalim sa batas na ito. Ang teorya ng probabilidad ay kinabibilangan ng isang mahalagang konsepto bilang isang tiyak na kaganapan. Narito ang ilang halimbawa:
- Nagtatrabaho kami at nakakakuha ng kabayaran sa anyo ng sahod.
- Nakapasa kami nang maayos sa mga pagsusulit, nakapasa sa kompetisyon, para dito ay tumatanggap kami ng gantimpala sa anyo ng pagpasok sa isang institusyong pang-edukasyon.
- Nag-invest kami ng pera sa bangko, babawi kami kung kinakailangan.
Maaasahan ang mga ganitong kaganapan. Kung natupad namin ang lahat ng kinakailangang kundisyon, tiyak na makukuha namin ang inaasahang resulta.
Imposibleng kaganapan
Ngayon ay isinasaalang-alang namin ang mga elemento ng teorya ng posibilidad. Iminumungkahi naming magpatuloy sa isang paliwanag ng susunod na uri ng kaganapan, ibig sabihin, ang imposible. Una, tukuyin natin ang pinakamahalagang panuntunan - ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero.
Hindi ka maaaring lumihis sa mga salitang ito kapag nilulutas ang mga problema. Upang linawin, narito ang mga halimbawa ng mga naturang kaganapan:
- Tubig nagyelo sa plus sampu (imposible iyon).
- Ang kawalan ng kuryente ay hindi nakakaapekto sa produksyon sa anumang paraan (katulad ng imposible sa nakaraang halimbawa).
Higit pang mga halimbawaHindi ito nagkakahalaga ng pagbanggit, dahil ang mga inilarawan sa itaas ay napakalinaw na sumasalamin sa kakanyahan ng kategoryang ito. Ang imposibleng kaganapan ay hindi mangyayari sa panahon ng karanasan sa anumang pagkakataon.
Random na kaganapan
Pag-aaral ng mga elemento ng probability theory, dapat bigyan ng espesyal na atensyon ang partikular na uri ng kaganapang ito. Iyan ang pinag-aaralan ng siyensya. Bilang resulta ng karanasan, maaaring may mangyari o hindi. Bilang karagdagan, ang pagsubok ay maaaring ulitin ng walang limitasyong bilang ng beses. Ang mga matingkad na halimbawa ay:
- Ang paghagis ng barya ay isang karanasan, o isang pagsubok, ang heading ay isang kaganapan.
- Ang bulag na paglabas ng bola mula sa isang bag ay isang pagsubok, ang isang pulang bola na nahuli ay isang kaganapan at iba pa.
Maaaring magkaroon ng walang limitasyong bilang ng mga naturang halimbawa, ngunit, sa pangkalahatan, dapat na malinaw ang diwa. Upang maibuod at ma-systematize ang kaalaman na nakuha tungkol sa mga kaganapan, isang talahanayan ang ibinigay. Pinag-aaralan lamang ng teorya ng probabilidad ang huling uri ng lahat ng ipinakita.
| title | definition | halimbawa |
| Maaasahan | Mga kaganapang nagaganap na may 100% na garantiya sa ilalim ng ilang partikular na kundisyon. | Pagpasok sa isang institusyong pang-edukasyon na may magandang entrance exam. |
| Imposible | Mga kaganapang hindi mangyayari sa anumang pagkakataon. | Umuulan ng niyebe sa temperaturang plus tatlumpung degrees Celsius. |
| Random | Isang kaganapan na maaaring mangyari o hindi sa panahon ng isang eksperimento/pagsusulit. | I-hit o miss kapag naghahagis ng basketball sa hoop. |
Mga Batas
Ang
Probability theory ay isang agham na nag-aaral ng posibilidad ng isang pangyayaring naganap. Tulad ng iba, mayroon itong ilang mga patakaran. Mayroong mga sumusunod na batas ng probability theory:
- Convergence ng mga sequence ng mga random na variable.
- Ang batas ng malalaking numero.
Kapag kinakalkula ang posibilidad ng isang kumplikado, maaari mong gamitin ang isang kumplikadong mga simpleng kaganapan upang makamit ang resulta sa mas madali at mas mabilis na paraan. Tandaan na ang mga batas ng probability theory ay madaling napatunayan sa tulong ng ilang theorems. Magsimula tayo sa unang batas.
Convergence ng mga sequence ng random variable
Tandaan na may ilang uri ng convergence:
- Ang pagkakasunod-sunod ng mga random na variable ay nagtatagpo sa posibilidad.
- Halos imposible.
- RMS convergence.
- Convergence sa distribution.
Kaya, on the fly, napakahirap makarating sa ilalim nito. Narito ang ilang mga kahulugan upang matulungan kang maunawaan ang paksang ito. Magsimula tayo sa unang tingin. Ang isang sequence ay tinatawag na convergent in probability kung ang sumusunod na kundisyon ay natutugunan: n ay may posibilidad na infinity, ang bilang kung saan ang sequence ay may posibilidad na mas malaki kaysa sa zero at malapit sa isa.
Pupunta sa susunod na view, halos tiyak. Sabi nilahalos tiyak na nagtatagpo ang sequence sa isang random na variable na may n tending to infinity at P tending sa value na malapit sa isa.
Ang susunod na uri ay root-mean-square convergence. Kapag gumagamit ng SC-convergence, ang pag-aaral ng vector random na mga proseso ay binabawasan sa pag-aaral ng kanilang coordinate random na mga proseso.
Nananatili ang huling uri, tingnan natin ito sa maikling panahon upang direktang magpatuloy sa paglutas ng mga problema. Ang convergence ng pamamahagi ay may isa pang pangalan - "mahina", ipapaliwanag namin kung bakit sa ibaba. Ang mahinang convergence ay ang convergence ng distribution functions sa lahat ng punto ng continuity ng limit distribution function.
Siguraduhing tuparin ang pangako: ang mahinang convergence ay naiiba sa lahat ng nasa itaas dahil ang random variable ay hindi tinukoy sa probability space. Posible ito dahil eksklusibong nabuo ang kundisyon gamit ang mga function ng pamamahagi.
Batas ng malalaking numero
Ang mga mahuhusay na katulong sa pagpapatunay ng batas na ito ay magiging theorems ng probability theory, tulad ng:
- hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev.
- Teorama ni Chebyshev.
- Generalized Chebyshev's theorem.
- Markov's theorem.
Kung isasaalang-alang namin ang lahat ng teorema na ito, maaaring tumagal ang tanong na ito para sa ilang dosenang mga sheet. Ang aming pangunahing gawain ay ilapat ang teorya ng posibilidad sa pagsasanay. Iniimbitahan ka naming gawin ito ngayon. Ngunit bago iyon, isaalang-alang natin ang mga axiom ng probability theory, sila ang magiging pangunahing katulong sa paglutas ng mga problema.
Axioms
Nakilala na natin ang una nang pag-usapan natin ang imposibleng kaganapan. Tandaan natin: ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero. Nagbigay kami ng napakatingkad at di malilimutang halimbawa: umulan ng niyebe sa temperatura ng hangin na tatlumpung degrees Celsius.
Ang pangalawa ay ganito ang tunog: isang maaasahang kaganapan ang nagaganap na may posibilidad na katumbas ng isa. Ngayon ipakita natin kung paano ito isulat gamit ang mathematical language: P(B)=1.
Pangatlo: Ang isang random na kaganapan ay maaaring mangyari o hindi, ngunit ang posibilidad ay palaging mula sa zero hanggang isa. Kung mas malapit ang halaga sa isa, mas malaki ang pagkakataon; kung ang halaga ay lumalapit sa zero, ang posibilidad ay napakababa. Isulat natin ito sa mathematical language: 0<Р(С)<1.
Ating isaalang-alang ang huli, ikaapat na axiom, na parang ganito: ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga probabilidad. Sumulat kami sa wikang matematika: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Ang mga axiom ng probability theory ay ang pinakasimpleng panuntunan na madaling matandaan. Subukan nating lutasin ang ilang problema, batay sa kaalamang natamo na.
Ticket sa lottery
Una, isaalang-alang ang pinakasimpleng halimbawa - ang lottery. Isipin na bumili ka ng isang tiket sa lottery para sa suwerte. Ano ang posibilidad na manalo ka ng hindi bababa sa dalawampung rubles? Sa kabuuan, isang libong tiket ang lumahok sa sirkulasyon, ang isa ay may premyo na limang daang rubles, sampu sa isang daang rubles, limampu sa dalawampung rubles, at isang daan sa lima. Ang mga problema sa probability theory ay batay sa paghahanap ng posibilidadgood luck. Ngayon ay sama-sama nating susuriin ang solusyon ng iniharap na gawain sa itaas.
Kung tukuyin natin sa titik A ang isang panalo na limang daang rubles, ang posibilidad na makakuha ng A ay magiging 0.001. Paano natin ito nakuha? Kailangan mo lang na hatiin ang bilang ng mga "masuwerteng" ticket sa kabuuang bilang ng mga ito (sa kasong ito: 1/1000).
Ang
B ay isang panalo ng isang daang rubles, ang posibilidad ay magiging 0.01. Ngayon ay kumilos kami ayon sa parehong prinsipyo tulad ng sa nakaraang aksyon (10/1000)
C - ang mga panalo ay katumbas ng dalawampung rubles. Hanapin ang posibilidad, katumbas ito ng 0.05.
Ang natitirang mga tiket ay walang interes sa amin, dahil ang kanilang premyong pondo ay mas mababa kaysa sa tinukoy sa kundisyon. Ilapat natin ang ikaapat na axiom: Ang posibilidad na manalo ng hindi bababa sa dalawampung rubles ay P(A)+P(B)+P(C). Ang titik P ay nagsasaad ng posibilidad ng paglitaw ng kaganapang ito, nahanap na namin ang mga ito sa mga nakaraang hakbang. Nananatili lamang ang pagdaragdag ng kinakailangang data, sa sagot ay makakakuha tayo ng 0, 061. Ang numerong ito ang magiging sagot sa tanong ng takdang-aralin.
Card deck
Ang mga problema sa teorya ng probabilidad ay maaaring maging mas kumplikado, halimbawa, gawin ang sumusunod na gawain. Bago ka ay isang deck ng tatlumpu't anim na baraha. Ang iyong gawain ay gumuhit ng dalawang card na magkasunod nang hindi pinaghahalo ang pile, ang una at pangalawang card ay dapat na aces, hindi mahalaga ang suit.
Una, hanapin natin ang posibilidad na ang unang card ay magiging alas, para dito hinahati natin ang apat sa tatlumpu't anim. Itinabi nila ito. Inalis namin ang pangalawang card, ito ay magiging isang alas na may posibilidad na tatlong tatlumpu't lima. Ang posibilidad ng pangalawang kaganapan ay depende sa kung aling card ang una naming iginuhit, kami ay interesadoito ba ay isang alas o hindi. Kasunod nito na ang kaganapan B ay nakasalalay sa kaganapan A.
Ang susunod na hakbang ay upang mahanap ang posibilidad ng sabay-sabay na pagpapatupad, iyon ay, pinarami namin ang A at B. Ang kanilang produkto ay matatagpuan tulad ng sumusunod: ang posibilidad ng isang kaganapan ay pinarami ng kondisyon na posibilidad ng isa pa, na aming kinakalkula, sa pag-aakalang naganap ang unang kaganapan, ibig sabihin, sa unang card ay nakabunot kami ng ace.
Upang maging malinaw ang lahat, bigyan natin ng pagtatalaga ang naturang elemento bilang conditional na posibilidad ng isang kaganapan. Kinakalkula ito sa pag-aakalang naganap ang kaganapan A. Kinakalkula bilang sumusunod: P(B/A).
Ipagpatuloy ang paglutas sa aming problema: P(AB)=P(A)P(B/A) o P (AB)=P(B)P(A/B). Ang posibilidad ay (4/36)((3/35)/(4/36). Kalkulahin sa pamamagitan ng pag-round sa hundredths. Mayroon kaming: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Ang posibilidad na gumuhit tayo ng dalawang ace sa isang hilera ay siyam na raan. Napakaliit ng value, kasunod nito na napakaliit ng posibilidad ng paglitaw ng kaganapan.
Nakalimutang numero
Iminumungkahi naming suriin ang ilan pang opsyon para sa mga gawain na pinag-aaralan ng probability theory. Nakakita ka na ng mga halimbawa ng paglutas ng ilan sa mga ito sa artikulong ito, subukan nating lutasin ang sumusunod na problema: nakalimutan ng batang lalaki ang huling digit ng numero ng telepono ng kanyang kaibigan, ngunit dahil napakahalaga ng tawag, sinimulan niyang i-dial ang lahat. Kailangan nating kalkulahin ang posibilidad na tatawag siya nang hindi hihigit sa tatlong beses. Ang solusyon sa problema ay ang pinakasimple kung ang mga tuntunin, batas at axioms ng probability theory ay alam.
Bago manoodsolusyon, subukang lutasin ito sa iyong sarili. Alam namin na ang huling digit ay maaaring mula sa zero hanggang siyam, iyon ay, mayroong sampung halaga sa kabuuan. Ang posibilidad na makuha ang tama ay 1/10.
Susunod, kailangan nating isaalang-alang ang mga opsyon para sa pinagmulan ng kaganapan, ipagpalagay na ang bata ay nahulaan ng tama at agad na nakapuntos ng tama, ang posibilidad ng naturang kaganapan ay 1/10. Ang pangalawang opsyon: ang unang tawag ay isang miss, at ang pangalawa ay nasa target. Kinakalkula namin ang posibilidad ng naturang kaganapan: i-multiply ang 9/10 sa 1/9, bilang isang resulta nakakakuha din kami ng 1/10. Ang pangatlong opsyon: ang una at pangalawang tawag ay nasa maling address, mula lamang sa pangatlo nakuha ng batang lalaki kung saan niya gusto. Kinakalkula namin ang posibilidad ng naturang kaganapan: pinarami namin ang 9/10 sa 8/9 at sa pamamagitan ng 1/8, nakakuha kami ng 1/10 bilang isang resulta. Ayon sa kondisyon ng problema, hindi kami interesado sa iba pang mga pagpipilian, kaya nananatili para sa amin na magdagdag ng mga resulta, bilang isang resulta mayroon kaming 3/10. Sagot: Ang posibilidad na tumawag ang batang lalaki ng hindi hihigit sa tatlong beses ay 0.3.
Mga card na may mga numero
Mayroong siyam na card sa harap mo, sa bawat isa ay may nakasulat na numero mula isa hanggang siyam, ang mga numero ay hindi inuulit. Inilagay ang mga ito sa isang kahon at pinaghalo nang maigi. Kailangan mong kalkulahin ang posibilidad na
- may lalabas na even number;
- two-digit.
Bago magpatuloy sa solusyon, itakda natin na ang m ay ang bilang ng mga matagumpay na kaso, at ang n ay ang kabuuang bilang ng mga opsyon. Hanapin ang posibilidad na ang numero ay pantay. Hindi magiging mahirap na kalkulahin na mayroong apat na kahit na mga numero, ito ang magiging aming m, mayroong siyam na pagpipilian sa kabuuan, iyon ay, m=9. Tapos yung probabilitykatumbas ng 0, 44, o 4/9.
Isaalang-alang ang pangalawang kaso: ang bilang ng mga opsyon ay siyam, at maaaring walang matagumpay na resulta, ibig sabihin, ang m ay katumbas ng zero. Ang posibilidad na maglaman ng dalawang digit na numero ang iginuhit na card ay zero din.
