Noong 1900, isa sa mga pinakadakilang siyentipiko ng huling siglo, si David Hilbert, ay nag-compile ng isang listahan ng 23 hindi nalutas na mga problema sa matematika. Ang gawain sa kanila ay nagkaroon ng napakalaking epekto sa pag-unlad ng lugar na ito ng kaalaman ng tao. Pagkalipas ng 100 taon, ipinakita ng Clay Mathematical Institute ang isang listahan ng 7 problema na kilala bilang Millennium Problems. Ang bawat isa sa kanila ay inalok ng premyong $1 milyon.
Ang tanging problema na lumitaw sa parehong listahan ng mga palaisipan na pinagmumultuhan ng mga siyentipiko sa loob ng mahigit isang siglo ay ang Riemann hypothesis. Naghihintay pa rin siya sa kanyang desisyon.
Maikling talambuhay
Si Georg Friedrich Bernhard Riemann ay isinilang noong 1826 sa Hannover, sa isang malaking pamilya ng isang mahirap na pastor, at nabuhay lamang ng 39 na taon. Nagawa niyang maglathala ng 10 gawa. Gayunpaman, sa panahon ng kanyang buhay, si Riemann ay itinuturing na kahalili ng kanyang guro na si Johann Gauss. Sa edad na 25, ipinagtanggol ng batang siyentipiko ang kanyang disertasyon na "Mga Batayan ng teorya ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable." Maya-maya nag-formulate siyaang kanyang sikat na hypothesis.
Prime numbers
Ang matematika ay lumitaw nang ang tao ay natutong magbilang. Kasabay nito, lumitaw ang mga unang ideya tungkol sa mga numero, na sa kalaunan ay sinubukan nilang pag-uri-uriin. Ang ilan sa kanila ay naobserbahang may mga karaniwang katangian. Sa partikular, sa mga natural na numero, i.e., ang mga ginamit sa pagbibilang (numbering) o pagtatalaga ng bilang ng mga bagay, ang isang pangkat ay nakikilala na nahahati lamang ng isa at ng kanilang sarili. Sila ay tinatawag na simple. Isang eleganteng patunay ng theorem of infinity ng set ng naturang mga numero ang ibinigay ni Euclid sa kanyang Elements. Sa ngayon, patuloy ang kanilang paghahanap. Sa partikular, ang pinakamalaking bilang na alam na ay 274 207 281 – 1.
Euler formula
Kasabay ng konsepto ng infinity ng set ng primes, tinukoy din ni Euclid ang pangalawang theorem sa tanging posibleng decomposition sa prime factors. Ayon dito, ang anumang positibong integer ay produkto ng isang set lamang ng mga prime number. Noong 1737, ipinahayag ng mahusay na matematikong Aleman na si Leonhard Euler ang unang infinity theorem ni Euclid bilang formula sa ibaba.
Tinatawag itong zeta function, kung saan ang s ay isang pare-pareho at ang p ay kumukuha ng lahat ng prime value. Direktang sumunod dito ang pahayag ni Euclid tungkol sa pagiging natatangi ng pagpapalawak.
Riemann Zeta Function
Ang formula ni Euler, kung susuriing mabuti, ay ganap nanakakagulat dahil tinutukoy nito ang relasyon sa pagitan ng mga primes at integer. Pagkatapos ng lahat, maraming expression na nakadepende lamang sa mga prime number ang na-multiply sa kaliwang bahagi nito, at ang kabuuan na nauugnay sa lahat ng positive integer ay nasa kanan.
Nakalayo si Riemann kaysa kay Euler. Upang mahanap ang susi sa problema ng pamamahagi ng mga numero, iminungkahi niyang tukuyin ang isang formula para sa parehong tunay at kumplikadong mga variable. Siya ang sumunod na tumanggap ng pangalan ng Riemann zeta function. Noong 1859, inilathala ng scientist ang isang artikulo na pinamagatang "Sa bilang ng mga prime number na hindi lalampas sa isang naibigay na halaga", kung saan ibinuod niya ang lahat ng kanyang mga ideya.
Iminungkahi ni Riemann ang paggamit ng Euler series, na nagsasama-sama para sa anumang tunay na s>1. Kung ang parehong formula ay ginagamit para sa mga kumplikadong s, kung gayon ang serye ay magsasama-sama para sa anumang halaga ng variable na ito na may tunay na bahagi na higit sa 1. Inilapat ni Riemann ang analytic na pamamaraan ng pagpapatuloy, na pinalawak ang kahulugan ng (mga) zeta sa lahat ng mga kumplikadong numero, ngunit "tinapon" ang unit. Ito ay hindi kasama dahil sa s=1 ang zeta function ay tumataas sa infinity.
Praktikal na kahulugan
Ang isang lohikal na tanong ay lumitaw: bakit ang zeta function, na susi sa gawain ni Riemann sa null hypothesis, ay kawili-wili at mahalaga? Tulad ng alam mo, sa ngayon ay walang natukoy na simpleng pattern na maglalarawan sa pamamahagi ng mga prime number sa mga natural na numero. Natuklasan ni Riemann na ang bilang na pi(x) ng mga primes na hindi lalampas sa x ay ipinahayag sa mga tuntunin ng pamamahagi ng mga di-trivial na zero ng zeta function. Bukod dito, ang Riemann hypothesis ayisang kinakailangang kondisyon para sa pagpapatunay ng mga pagtatantya ng oras para sa pagpapatakbo ng ilang cryptographic algorithm.
Riemann Hypothesis
Isa sa mga unang pormulasyon ng problemang pangmatematika na ito, na hindi pa napatunayan hanggang ngayon, ay ganito ang tunog: ang mga di-trivial na 0 zeta function ay mga kumplikadong numero na may tunay na bahagi na katumbas ng ½. Sa madaling salita, matatagpuan ang mga ito sa linyang Re s=½.
Mayroon ding pangkalahatang Riemann hypothesis, na parehong pahayag, ngunit para sa mga generalization ng zeta function, na karaniwang tinatawag na Dirichlet L-functions (tingnan ang larawan sa ibaba).
Sa formula χ(n) - ilang numerical character (modulo k).
Ang pahayag ng Riemannian ay itinuturing na tinatawag na null hypothesis, dahil nasubok ito para sa pagkakapare-pareho sa kasalukuyang sample na data.
Gaya ng pinagtatalunan ni Riemann
Ang pahayag ng German mathematician ay orihinal na binigkas sa halip kaswal. Ang katotohanan ay na sa oras na iyon ay patunayan ng siyentipiko ang teorama sa pamamahagi ng mga pangunahing numero, at sa kontekstong ito, ang hypothesis na ito ay walang partikular na kahalagahan. Gayunpaman, ang papel nito sa paglutas ng maraming iba pang mga isyu ay napakalaki. Kaya naman ang palagay ni Riemann ay kinikilala na ngayon ng maraming siyentipiko bilang ang pinakamahalaga sa mga hindi pa napatunayang problema sa matematika.
Tulad ng nabanggit na, ang buong Riemann hypothesis ay hindi kailangan upang patunayan ang distribution theorem, at sapat na upang bigyang-katwiran na ang tunay na bahagi ng anumang di-trivial na zero ng zeta function ay nasasa pagitan ng 0 at 1. Ito ay sumusunod mula sa property na ito na ang kabuuan ng lahat ng 0 ng zeta function na lumilitaw sa eksaktong formula sa itaas ay isang finite constant. Para sa malalaking halaga ng x, maaari itong mawala nang buo. Ang tanging miyembro ng formula na nananatiling pareho kahit para sa napakalaking x ay ang x mismo. Ang natitirang mga kumplikadong termino ay nawawala nang walang sintomas kung ihahambing dito. Kaya ang weighted sum ay may posibilidad na x. Ang pangyayaring ito ay maaaring ituring na kumpirmasyon ng katotohanan ng theorem sa pamamahagi ng mga prime number. Kaya, ang mga zero ng Riemann zeta function ay may espesyal na tungkulin. Binubuo ito sa pagpapatunay na ang mga naturang halaga ay hindi maaaring gumawa ng malaking kontribusyon sa formula ng agnas.
Mga Tagasunod ni Riemann
Ang trahedya na pagkamatay mula sa tuberculosis ay hindi pinahintulutan ang siyentipikong ito na dalhin ang kanyang programa sa lohikal na pagtatapos nito. Gayunpaman, si Sh-Zh ang pumalit sa kanya. de la Vallée Poussin at Jacques Hadamard. Independiyente sa isa't isa, naghinuha sila ng isang teorama sa pamamahagi ng mga prime number. Nagawa ni Hadamard at Poussin na patunayan na ang lahat ng hindi walang kuwentang 0 zeta function ay nasa kritikal na banda.
Salamat sa gawain ng mga siyentipikong ito, lumitaw ang isang bagong direksyon sa matematika - ang analytic theory ng mga numero. Nang maglaon, ang ilang higit pang mga primitive na patunay ng theorem na pinagtatrabahuhan ni Riemann ay nakuha ng ibang mga mananaliksik. Sa partikular, natuklasan nina Pal Erdős at Atle Selberg ang isang napakakomplikadong lohikal na kadena na nagpapatunay dito, na hindi nangangailangan ng paggamit ng kumplikadong pagsusuri. Gayunpaman, sa puntong ito, maraming mahalagatheorems, kabilang ang mga approximation ng maraming function ng number theory. Kaugnay nito, halos walang naapektuhan ang bagong gawa nina Erdős at Atle Selberg.
Ang isa sa pinakasimple at pinakamagandang patunay ng problema ay natagpuan noong 1980 ni Donald Newman. Ito ay batay sa sikat na Cauchy theorem.
Ang Riemannian hypothesis ba ay nagbabanta sa mga pundasyon ng modernong cryptography
Ang pag-encrypt ng data ay lumitaw kasama ang hitsura ng mga hieroglyph, mas tiyak, sila mismo ay maaaring ituring na mga unang code. Sa ngayon, mayroong isang buong bahagi ng digital cryptography, na bumubuo ng mga algorithm ng pag-encrypt.
Ang Prime at "semi-prime" na mga numero, i.e. ang mga nahahati lang ng 2 iba pang numero mula sa parehong klase, ang bumubuo sa batayan ng public key system na kilala bilang RSA. Ito ay may pinakamalawak na aplikasyon. Sa partikular, ginagamit ito kapag bumubuo ng isang elektronikong lagda. Sa pagsasalita sa mga terminong naa-access ng mga dummies, ang Riemann hypothesis ay iginiit ang pagkakaroon ng isang sistema sa pamamahagi ng mga prime number. Kaya, ang lakas ng mga cryptographic key, kung saan nakasalalay ang seguridad ng mga online na transaksyon sa larangan ng e-commerce, ay makabuluhang nabawasan.
Iba pang hindi nalutas na mga problema sa matematika
Sulit na tapusin ang artikulo sa pamamagitan ng paglalaan ng ilang salita sa iba pang millennium target. Kabilang dito ang:
- Pagkakapantay-pantay ng mga klase P at NP. Ang problema ay nabuo bilang mga sumusunod: kung ang isang positibong sagot sa isang partikular na tanong ay nasuri sa polynomial time, kung gayon totoo ba na ang sagot sa tanong na ito mismomadaling mahanap?
- Hula ni Hodge. Sa simpleng salita, maaari itong buuin tulad ng sumusunod: para sa ilang uri ng projective algebraic varieties (spaces), ang Hodge cycle ay mga kumbinasyon ng mga bagay na may geometric na interpretasyon, ibig sabihin, mga algebraic cycle.
- Hula ni Poincaré. Ito lang ang Millennium Challenge na napatunayan na sa ngayon. Ayon dito, ang anumang 3-dimensional na bagay na may mga partikular na katangian ng isang 3-dimensional na sphere ay dapat na isang sphere, hanggang sa deformation.
- Pagpapatibay ng quantum theory ng Yang - Mills. Kinakailangang patunayan na ang quantum theory na iniharap ng mga siyentipikong ito para sa espasyong R 4 ay umiiral at mayroong ika-0 na mass defect para sa anumang simpleng compact gauge group na G.
- Birch-Swinnerton-Dyer hypothesis. Ito ay isa pang isyu na nauugnay sa cryptography. Hinahawakan nito ang mga elliptic curve.
- Ang problema sa pagkakaroon at pagiging maayos ng mga solusyon sa mga equation ng Navier-Stokes.
Ngayon alam mo na ang Riemann hypothesis. Sa madaling salita, nabuo namin ang ilan sa iba pang mga Millennium Challenges. Na sila ay malulutas o mapapatunayan na wala silang solusyon ay isang bagay ng oras. Bukod dito, malamang na hindi ito maghintay ng masyadong mahaba, dahil ang matematika ay lalong gumagamit ng mga kakayahan sa pag-compute ng mga computer. Gayunpaman, hindi lahat ay napapailalim sa teknolohiya, at una sa lahat, kailangan ang intuwisyon at pagkamalikhain upang malutas ang mga problemang siyentipiko.
