Ang isa sa mga pangunahing seksyon ng mathematical analysis ay integral calculus. Sinasaklaw nito ang pinakamalawak na larangan ng mga bagay, kung saan ang una ay ang hindi tiyak na integral. Ito ay nagkakahalaga ng pagpoposisyon nito bilang isang susi, na kahit sa high school ay nagpapakita ng dumaraming bilang ng mga pananaw at pagkakataon na inilalarawan ng mas mataas na matematika.
Appearance
Sa unang tingin, ang integral ay tila lubos na moderno, may kaugnayan, ngunit sa pagsasagawa, lumalabas na ito ay lumitaw noon pang 1800 BC. Ang Egypt ay opisyal na itinuturing na tinubuang-bayan, dahil ang naunang ebidensya ng pagkakaroon nito ay hindi pa nakarating sa atin. Siya, dahil sa kakulangan ng impormasyon, sa lahat ng oras na ito ay nakaposisyon lamang bilang isang kababalaghan. Muli niyang kinumpirma ang antas ng pag-unlad ng agham sa mga tao noong mga panahong iyon. Sa wakas, natagpuan ang mga gawa ng sinaunang Greek mathematician na itinayo noong ika-4 na siglo BC. Inilarawan nila ang isang pamamaraan kung saan ginamit ang isang hindi tiyak na integral, ang kakanyahan nito ay upang mahanap ang dami o lugar ng isang curvilinear figure (tatlong-dimensionalat dalawang-dimensional na eroplano, ayon sa pagkakabanggit). Ang prinsipyo ng pagkalkula ay batay sa paghahati ng orihinal na figure sa mga infinitesimal na bahagi, sa kondisyon na ang kanilang volume (lugar) ay kilala na. Sa paglipas ng panahon, ang pamamaraan ay lumago, ginamit ito ni Archimedes upang mahanap ang lugar ng isang parabola. Ang mga katulad na kalkulasyon ay isinagawa nang sabay-sabay ng mga siyentipiko sa sinaunang Tsina, at sila ay ganap na independyente sa kanilang mga katapat na Greek sa agham.
Development
Ang susunod na tagumpay noong ika-11 siglo AD ay ang gawain ng Arab scientist-"unibersal" na si Abu Ali al-Basri, na nagtulak sa mga hangganan ng kung ano ang alam na, na nagmula sa mga formula batay sa integral para sa pagkalkula ng mga kabuuan ng mga hilera at ang mga kabuuan ng mga kapangyarihan mula sa una hanggang sa ikaapat, na nag-aaplay para dito ang paraan ng mathematical induction na kilala sa amin.
Hinahangaan ng mga isipan ng modernong panahon kung paano lumikha ang mga sinaunang Egyptian ng mga kamangha-manghang monumento ng arkitektura nang walang anumang espesyal na kagamitan, maliban marahil sa kanilang mga kamay, ngunit hindi ba't ang kapangyarihan ng pag-iisip ng mga siyentipiko noong panahong iyon ay isang himala? Kung ikukumpara sa ngayon, ang kanilang buhay ay tila halos primitive, ngunit ang solusyon ng mga hindi tiyak na integral ay hinango kahit saan at ginamit sa pagsasanay para sa karagdagang pag-unlad.
Ang susunod na hakbang ay naganap noong ika-16 na siglo, nang ang Italyano na matematiko na si Cavalieri ay bumuo ng paraan ng mga indivisible, na kinuha ni Pierre Fermat. Ang dalawang personalidad na ito ang naglatag ng pundasyon para sa modernong integral calculus, na kilala sa ngayon. Ikinonekta nila ang mga konsepto ng pagkita ng kaibhan at pagsasama, na datiitinuturing bilang mga autonomous na yunit. Sa pangkalahatan, ang matematika ng mga panahong iyon ay pira-piraso, ang mga particle ng mga konklusyon ay umiiral sa kanilang sarili, na may limitadong saklaw. Ang landas ng pag-iisa at paghahanap para sa karaniwang batayan ay ang tanging totoo noong panahong iyon, salamat kung saan nagkaroon ng pagkakataon ang modernong mathematical analysis na umunlad at umunlad.
Nagbago ang lahat sa paglipas ng panahon, kabilang ang notasyon ng integral. Sa pangkalahatan, tinukoy ito ng mga siyentipiko sa lahat ng paraan, halimbawa, gumamit si Newton ng square icon kung saan naglagay siya ng isang integrable function o inilagay lang ito sa tabi nito.
Ang hindi pagkakapare-parehong ito ay nagpatuloy hanggang sa ika-17 siglo, nang ang siyentista na si Gottfried Leibniz, isang palatandaan para sa buong teorya ng mathematical analysis, ay ipinakilala ang simbolo na pamilyar sa atin. Ang pinahabang "S" ay talagang batay sa titik na ito ng alpabetong Latin, dahil tinutukoy nito ang kabuuan ng mga antiderivatives. Nakuha ng integral ang pangalan nito salamat kay Jacob Bernoulli makalipas ang 15 taon.
Pormal na kahulugan
Direktang nakadepende ang indefinite integral sa depinisyon ng antiderivative, kaya isaalang-alang muna natin ito.
Ang antiderivative ay isang function na kabaligtaran ng isang derivative, sa pagsasagawa ay tinatawag din itong primitive. Kung hindi: ang antiderivative ng isang function d ay isang function D na ang derivative ay katumbas ng v V'=v. Ang paghahanap para sa antiderivative ay ang pagkalkula ng hindi tiyak na integral, at ang prosesong ito mismo ay tinatawag na integration.
Halimbawa:
Function s(y)=y3, at ang antiderivative nitong S(y)=(y4/4).
Ang set ng lahat ng antiderivatives ng function na isinasaalang-alang ay ang indefinite integral, ito ay tinutukoy bilang sumusunod: ∫v(x)dx.
Dahil sa katotohanan na ang V(x) ay ilan lamang sa antiderivative ng orihinal na function, nagaganap ang expression: ∫v(x)dx=V(x) + C, kung saan ang C ay pare-pareho. Ang arbitrary constant ay anumang constant, dahil ang derivative nito ay katumbas ng zero.
Properties
Ang mga katangian na mayroon ang hindi tiyak na integral ay batay sa pangunahing kahulugan at mga katangian ng mga derivative.
Tingnan natin ang mga pangunahing punto:
- ang integral mula sa derivative ng antiderivative ay ang antiderivative mismo kasama ang isang di-makatwirang constant С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- ang derivative ng function integral ay ang orihinal na function (∫v(x)dx)'=v(x);
- Ang constant ay inalis mula sa ilalim ng integral sign na ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, kung saan ang k ay arbitrary;
- ang integral na kinuha mula sa kabuuan ay magkaparehong katumbas ng kabuuan ng mga integral ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
Mula sa huling dalawang katangian, mahihinuha natin na ang di-tiyak na integral ay linear. Dahil dito, mayroon tayong: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Upang pagsama-samahin, isaalang-alang ang mga halimbawa ng paglutas ng mga hindi tiyak na integral.
Kailangan upang mahanap ang integral ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
Mula sa halimbawa maaari nating tapusin:hindi alam kung paano lutasin ang mga hindi tiyak na integral? Hanapin lang ang lahat ng primitive! Ngunit ang mga prinsipyo ng paghahanap ay isasaalang-alang sa ibaba.
Mga paraan at halimbawa
Upang malutas ang integral, maaari mong gamitin ang mga sumusunod na pamamaraan:
- gamitin ang inihandang mesa;
- isama ayon sa mga bahagi;
- isama sa pamamagitan ng pagpapalit ng variable;
- pagdadala sa ilalim ng differential sign.
Tables
Ang pinakamadali at pinakakasiya-siyang paraan. Sa ngayon, ipinagmamalaki ng mathematical analysis ang medyo malawak na mga talahanayan kung saan nakasulat ang mga pangunahing formula ng mga hindi tiyak na integral. Sa madaling salita, may mga template na binuo bago ka at para sa iyo, nananatili lamang itong gamitin. Narito ang isang listahan ng mga pangunahing posisyon ng talahanayan kung saan maaari mong makuha ang halos bawat halimbawa na may solusyon:
- ∫0dy=C, kung saan ang C ay pare-pareho;
- ∫dy=y + C, kung saan ang C ay pare-pareho;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, kung saan ang C ay isang pare-pareho at n - hindi isang numero;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, kung saan ang C ay isang pare-pareho;
- ∫eydy=ey + C, kung saan ang C ay pare-pareho;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, kung saan ang C ay pare-pareho;
- ∫cosydy=siny + C, kung saan ang C ay pare-pareho;
- ∫sinydy=-cosy + C, kung saan ang C ay pare-pareho;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, kung saan ang C ay pare-pareho;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, kung saan ang C ay pare-pareho;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, kung saan ang C ay pare-pareho;
- ∫chydy=mahiyain + C, kung saan C -pare-pareho;
- ∫shydy=chy + C, kung saan ang C ay pare-pareho.
Kung kinakailangan, gumawa ng ilang hakbang, dalhin ang integrand sa isang tabular form at tamasahin ang tagumpay. Halimbawa: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Ayon sa solusyon, malinaw na para sa tabular na halimbawa, ang integrand ay kulang sa factor na 5. Idinaragdag namin ito, pinarami ito ng 1/5 nang magkatulad upang hindi magbago ang pangkalahatang expression.
Pagsasama ayon sa mga bahagi
Isaalang-alang ang dalawang function - z(y) at x(y). Dapat ay patuloy na naiba-iba ang mga ito sa buong domain ng kahulugan. Ayon sa isa sa mga katangian ng pagkita ng kaibhan, mayroon tayong: d(xz)=xdz + zdx. Pagsasama ng parehong bahagi ng equation, nakukuha natin ang: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Rewriting the resulting equality, we get a formula that describe the method of integration by parts: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Bakit kailangan ito? Ang punto ay ang ilang mga halimbawa ay maaaring pasimplehin, sa kondisyong pagsasalita, bawasan ang ∫zdx sa ∫xdz kung ang huli ay malapit sa tabular na anyo. Gayundin, maaaring ilapat ang formula na ito nang higit sa isang beses, na nakakamit ng mga pinakamainam na resulta.
Paano lutasin ang mga hindi tiyak na integral sa ganitong paraan:
kailangan kalkulahin ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
kailangan kalkulahin ang ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Variable substitution
Ang prinsipyong ito ng paglutas ng mga hindi tiyak na integral ay hindi gaanong hinihiling kaysa sa dalawang nauna, bagama't ito ay mas kumplikado. Ang pamamaraan ay ang mga sumusunod: hayaan ang V(x) na maging integral ng ilang function na v(x). Kung sakaling ang integral mismo sa halimbawa ay dumating bilang kumplikado, may mataas na posibilidad na malito at maling landas ng solusyon. Upang maiwasan ito, isinasagawa ang paglipat mula sa variable na x hanggang z, kung saan ang pangkalahatang expression ay biswal na pinasimple habang pinapanatili ang pagdepende ng z sa x.
Mathematically ganito ang hitsura: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), kung saan ang x=y(z) ay isang substitution. At, siyempre, ganap na inilalarawan ng inverse function na z=y-1(x) ang dependence at relasyon ng mga variable. Mahalagang tala - ang differential dx ay kinakailangang palitan ng bagong differential dz, dahil ang pagpapalit ng variable sa indefinite integral ay nagpapahiwatig ng pagpapalit nito sa lahat ng dako, at hindi lamang sa integrand.
Halimbawa:
kailangan maghanap ng ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Ilapat ang pagpapalit z=(s+1)/(s2+2s-5). Pagkatapos dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Bilang resulta, nakukuha namin ang sumusunod na expression, na napakadaling kalkulahin:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
kailangan hanapin ang integral∫2sesdx
Upang malutas, muling isusulat namin ang expression sa sumusunod na anyo:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Denote ng a=2e (ang hakbang na ito ay hindi kapalit ng argumento, ito ay s pa rin), dinadala namin ang aming tila kumplikadong integral sa isang elementarya na tabular form:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Dinadala sa ilalim ng differential sign
Sa pangkalahatan, ang pamamaraang ito ng mga indefinite integral ay kambal na kapatid ng variable change principle, ngunit may mga pagkakaiba sa proseso ng disenyo. Tingnan natin nang maigi.
Kung ∫v(x)dx=V(x) + C at y=z(x), pagkatapos ay ∫v(y)dy=V(y) + C.
Sa kasong ito, hindi dapat kalimutan ng isa ang mga walang kabuluhang integral na pagbabago, kung saan:
- dx=d(x + a), kung saan ang a ay anumang pare-pareho;
- dx=(1 / a)d(ax + b), kung saan ang a ay isang pare-pareho, ngunit hindi katumbas ng zero;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Kung isasaalang-alang namin ang pangkalahatang kaso kapag kinakalkula namin ang hindi tiyak na integral, maaaring buuin ang mga halimbawa sa ilalim ng pangkalahatang formula na w'(x)dx=dw(x).
Mga Halimbawa:
kailangan hanapin ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Online na Tulong
Sa ilang mga kaso, ang kasalanan ay maaaring alinman sa katamaran o kagyat na pangangailangan, maaari kang gumamit ng mga online na tip, o sa halip, gamitin ang hindi tiyak na integral calculator. Sa kabila ng lahat ng maliwanag na pagiging kumplikado at pagtatalo ng mga integral, ang kanilang solusyon ay napapailalim sa isang tiyak na algorithm, na nakabatay sa prinsipyong "kung hindi …, kung gayon …".
Siyempre, ang naturang calculator ay hindi makakabisado lalo na sa masalimuot na mga halimbawa, dahil may mga kaso kung saan ang solusyon ay kailangang matagpuan nang artipisyal, "sapilitan" na nagpapakilala ng ilang elemento sa proseso, dahil ang resulta ay hindi maaaring makamit nang malinaw. mga paraan. Sa kabila ng lahat ng kontrobersya ng pahayag na ito, ito ay totoo, dahil ang matematika, sa prinsipyo, ay isang abstract na agham, at isinasaalang-alang ang pangangailangan na palawakin ang mga hangganan ng mga posibilidad bilang pangunahing gawain nito. Sa katunayan, napakahirap umakyat at umunlad ayon sa makinis, run-in na mga teorya, kaya hindi mo dapat ipagpalagay na ang mga halimbawa ng paglutas ng mga hindi tiyak na integral na ibinigay namin ay ang taas ng mga posibilidad. Ngunit bumalik sa teknikal na bahagi ng mga bagay. Hindi bababa sa upang suriin ang mga kalkulasyon, maaari mong gamitin ang mga serbisyo kung saan ang lahat ay nakasulat bago sa amin. Kung mayroong isang pangangailangan para sa awtomatikong pagkalkula ng isang kumplikadong expression, kung gayon hindi sila maaaring ibigay, kakailanganin mong gumamit ng mas malubhang software. Ito ay nagkakahalaga ng pagbibigay pansin una sa lahat sa kapaligiran ng MatLab.
Application
Ang solusyon ng mga hindi tiyak na integral sa unang tingin ay tila ganap na wala sa realidad, dahil mahirap makita ang mga malinaw na bahagi ng aplikasyon. Sa katunayan, hindi sila maaaring gamitin nang direkta kahit saan, ngunit sila ay itinuturing na isang kinakailangang intermediate na elemento sa proseso ng pagkuha ng mga solusyon na ginagamit sa pagsasanay. Kaya, ang integration ay kabaligtaran sa differentiation, dahil kung saan ito ay aktibong nakikilahok sa proseso ng paglutas ng mga equation.
Sa turn, ang mga equation na ito ay may direktang epekto sa solusyon ng mga problemang mekanikal, pagkalkula ng mga trajectory at thermal conductivity - sa madaling salita, lahat ng bumubuo sa kasalukuyan at humuhubog sa hinaharap. Ang hindi tiyak na integral, mga halimbawa kung saan napagmasdan namin sa itaas, ay walang halaga lamang sa unang tingin, dahil ito ang batayan para sa paggawa ng higit at higit pang mga bagong pagtuklas.
