Marahil, ang konsepto ng derivative ay pamilyar sa bawat isa sa atin mula noong paaralan. Kadalasan ang mga mag-aaral ay nahihirapang maunawaan ito, walang duda, napakahalagang bagay. Ito ay aktibong ginagamit sa iba't ibang bahagi ng buhay ng mga tao, at maraming mga pag-unlad ng inhinyero ay tiyak na nakabatay sa mga kalkulasyon ng matematika na nakuha gamit ang derivative. Ngunit bago magpatuloy sa pagsusuri kung ano ang mga derivatives ng mga numero, kung paano kalkulahin ang mga ito at kung saan kapaki-pakinabang ang mga ito sa atin, lumusot tayo sa kasaysayan.
Kasaysayan
Ang konsepto ng derivative, na siyang batayan ng mathematical analysis, ay natuklasan (mas magandang sabihing "imbento", dahil hindi ito umiiral sa kalikasan nang ganoon) ni Isaac Newton, na kilala nating lahat. mula sa pagkatuklas ng batas ng unibersal na grabitasyon. Siya ang unang naglapat ng konseptong ito sa pisika upang maiugnay ang likas na katangian ng bilis at pagpabilis ng mga katawan. At maraming mga siyentipiko ang pinupuri pa rin si Newton para sa kahanga-hangang imbensyon na ito, dahil sa katunayan ay naimbento niya ang batayan ng kaugalian at integral na calculus, sa katunayan, ang batayan ng isang buong lugar ng matematika na tinatawag na "calculus". Kung noong panahong iyon ay ang Nobel Prize, natanggap ito ni Newton na may mataas na posibilidad ng ilang beses.
Hindi kung walang ibang mahuhusay na isip. Maliban kay Newtonang mga kilalang henyo sa matematika gaya nina Leonhard Euler, Louis Lagrange at Gottfried Leibniz ay nagtrabaho sa pagbuo ng derivative at integral. Ito ay salamat sa kanila na natanggap namin ang teorya ng differential calculus sa anyo kung saan ito umiiral hanggang sa araw na ito. Siyanga pala, si Leibniz ang nakatuklas ng geometric na kahulugan ng derivative, na lumabas na walang iba kundi ang tangent ng slope ng tangent sa graph ng function.
Ano ang mga derivatives ng mga numero? Ulitin natin ng kaunti ang mga pinagdaanan natin sa paaralan.
Ano ang derivative?
Ang konseptong ito ay maaaring tukuyin sa iba't ibang paraan. Ang pinakasimpleng paliwanag ay ang derivative ay ang rate ng pagbabago ng function. Isipin ang isang graph ng ilang function y ng x. Kung hindi ito tuwid, kung gayon mayroon itong ilang mga kurba sa graph, mga panahon ng pagtaas at pagbaba. Kung kukuha kami ng ilang walang katapusang maliit na pagitan ng graph na ito, ito ay magiging isang tuwid na linya ng segment. Kaya, ang ratio ng laki ng walang katapusang maliit na segment na ito sa kahabaan ng y coordinate sa laki sa kahabaan ng x coordinate ang magiging derivative ng function na ito sa isang partikular na punto. Kung isasaalang-alang natin ang function sa kabuuan, at hindi sa isang partikular na punto, makakakuha tayo ng derivative function, iyon ay, isang tiyak na dependence ng y sa x.
Bukod dito, bilang karagdagan sa pisikal na kahulugan ng derivative bilang rate ng pagbabago ng isang function, mayroon ding geometric na kahulugan. Pag-uusapan natin siya ngayon.
Geometric sense
Ang mga derivatives ng mga numero mismo ay kumakatawan sa isang tiyak na numero, na, nang walang wastong pag-unawa, ay hindi nagdadalawalang kwenta. Lumalabas na ang derivative ay hindi lamang nagpapakita ng rate ng paglago o pagbaba ng function, kundi pati na rin ang tangent ng slope ng tangent sa graph ng function sa isang naibigay na punto. Hindi isang napakalinaw na kahulugan. Suriin natin ito nang mas detalyado. Sabihin nating mayroon tayong graph ng isang function (para sa interes, kumuha tayo ng curve). Mayroon itong walang katapusang bilang ng mga puntos, ngunit may mga lugar kung saan isang solong punto lamang ang may maximum o minimum. Sa pamamagitan ng anumang ganoong punto posible na gumuhit ng isang linya na magiging patayo sa graph ng function sa puntong iyon. Ang nasabing linya ay tatawaging tangent. Sabihin nating ginugol namin ito sa intersection na may axis ng OX. Kaya, ang anggulo na nakuha sa pagitan ng tangent at ang OX axis ay matutukoy ng derivative. Mas tiyak, ang tangent ng anggulong ito ay magiging katumbas nito.
Pag-usapan natin nang kaunti ang tungkol sa mga espesyal na kaso at pag-aralan natin ang mga derivatives ng mga numero.
Mga espesyal na kaso
Tulad ng nasabi na natin, ang mga derivatives ng mga numero ay ang mga halaga ng derivative sa isang partikular na punto. Halimbawa, kunin natin ang function na y=x2. Ang derivative x ay isang numero, at sa pangkalahatang kaso, isang function na katumbas ng 2x. Kung kailangan nating kalkulahin ang derivative, sabihin nating, sa puntong x0=1, pagkatapos ay makukuha natin ang y'(1)=21=2. Napakasimple ng lahat. Ang isang kawili-wiling kaso ay ang derivative ng isang kumplikadong numero. Hindi kami pupunta sa isang detalyadong paliwanag kung ano ang isang kumplikadong numero. Sabihin na lang natin na ito ay isang numero na naglalaman ng tinatawag na imaginary unit - isang numero na ang parisukat ay -1. Ang pagkalkula ng naturang derivative ay posible lamang kung ang mga sumusunodkundisyon:
1) Dapat mayroong unang-order na bahagyang derivatives ng tunay at haka-haka na mga bahagi na may kinalaman sa Y at X.
2) Ang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann na nauugnay sa pagkakapantay-pantay ng mga bahagyang derivative na inilarawan sa unang talata ay natutugunan.
Ang isa pang kawili-wiling kaso, bagama't hindi kasing kumplikado ng nauna, ay ang derivative ng negatibong numero. Sa katunayan, ang anumang negatibong numero ay maaaring katawanin bilang isang positibong numero na pinarami ng -1. Well, ang derivative ng constant at ang function ay katumbas ng constant na pinarami ng derivative ng function.
Magiging kawili-wiling malaman ang tungkol sa papel ng derivative sa pang-araw-araw na buhay, at ito ang tatalakayin natin ngayon.
Application
Marahil, bawat isa sa atin kahit minsan sa kanyang buhay ay nahuhuli ang kanyang sarili na iniisip na ang matematika ay malamang na hindi kapaki-pakinabang sa kanya. At tulad ng isang kumplikadong bagay bilang isang hinalaw, marahil, ay walang aplikasyon sa lahat. Sa katunayan, ang matematika ay isang pangunahing agham, at ang lahat ng mga bunga nito ay pangunahing binuo ng pisika, kimika, astronomiya, at maging sa ekonomiya. Ang derivative ay ang simula ng mathematical analysis, na nagbigay sa amin ng kakayahang gumawa ng mga konklusyon mula sa mga graph ng mga function, at natutunan naming bigyang-kahulugan ang mga batas ng kalikasan at ibigay ang mga ito sa aming kalamangan salamat dito.
Konklusyon
Siyempre, hindi lahat ay maaaring mangailangan ng derivative sa totoong buhay. Ngunit ang matematika ay bubuo ng lohika, na tiyak na kakailanganin. It is not for nothing that mathematics is called the queen of sciences: it forms the basis for understanding other areas of knowledge.
