Ipapaliwanag ng artikulong ito ang formula ng Black-Scholes sa mga simpleng termino. Ang modelo ng Black-Scholes ay isang mathematical na modelo ng dynamics ng isang financial market na naglalaman ng mga derivative investment instrument.
Mula sa partial differential equation sa modelo (kilala bilang Black-Scholes equation), ang Black-Scholes formula ay maaaring makuha. Nagbibigay ito ng teoretikal na European-style na presyo ng opsyon at nagpapakita na ang opsyon ay may natatanging presyo anuman ang panganib ng seguridad at ang inaasahang pagbabalik nito (sa halip na palitan ang inaasahang pagbabalik ng seguridad ng isang risk-neutral na rate).
Ang formula ay humantong sa isang boom sa options trading at nagbigay ng mathematical legitimacy sa Chicago Board Options Exchange at iba pang mga market ng mga opsyon sa buong mundo. Ito ay malawakang ginagamit, kahit na madalas na may mga pagsasaayos at pagwawasto, ng mga opsyon na kalahok sa merkado. Sa mga larawan sa artikulong ito makikita mo ang mga halimbawa ng formula ng Black-Scholes.
History and essence
Batay sa gawaing naunang binuo ng mga mananaliksik at practitionerang mga merkado tulad ng Louis Bachelier, Sheen Kassouf at Ed Thorpe, Fisher Black at Myron Scholes noong huling bahagi ng 1960s ay nagpakita na inalis ng dynamic na portfolio revision ang inaasahang pagbabalik ng seguridad.
Noong 1970, pagkatapos nilang subukang ilapat ang formula sa mga merkado at magdusa ng mga pagkalugi sa pananalapi dahil sa kakulangan ng pamamahala sa peligro sa kanilang mga propesyon, nagpasya silang tumuon sa kanilang larangan, ang akademya. Pagkatapos ng tatlong taong pagsisikap, ang pormula, na pinangalanan sa kanilang promulgation, ay sa wakas ay nai-publish noong 1973 sa isang artikulo na pinamagatang "Pricing Options and Corporate Bonds" sa Journal of Political Economy. Si Robert S. Merton ang unang nag-publish ng isang papel na nagpapalawak ng mathematical na pag-unawa sa modelo ng pagpepresyo ng opsyon at nabuo ang terminong "modelo ng pagpepresyo ng Black-Scholes".
Para sa kanilang trabaho, natanggap nina Merton at Scholes ang 1997 Nobel Memorial Prize sa Economics, committee, na binabanggit ang kanilang pagtuklas sa risk-independent dynamic na rebisyon bilang isang pambihirang tagumpay na naghihiwalay sa opsyon mula sa pinagbabatayan na panganib sa seguridad. Kahit na hindi siya nakatanggap ng parangal dahil sa kanyang pagkamatay noong 1995, binanggit si Black ng isang Swedish academic bilang kalahok. Sa larawan sa ibaba makikita mo ang isang tipikal na formula ng Black-Scholes.
Options
Ang pangunahing ideya ng modelong ito ay ang pag-iwas sa isang opsyon sa pamamagitan ng wastong pagbili at pagbebenta ng pinagbabatayan na asset at, bilang resulta, pag-aalis ng panganib. Ang ganitong uri ng hedging ay tinatawag na "patuloy na ina-update na delta hedging." Siyaay ang batayan para sa mas kumplikadong mga estratehiya gaya ng mga ginagamit ng mga investment bank at hedge fund.
Pamamahala sa peligro
Ang mga pagpapalagay ng modelo ay na-relax at na-generalize sa maraming direksyon, na nagreresulta sa iba't ibang modelo na kasalukuyang ginagamit sa derivatives na pagpepresyo at pamamahala sa panganib. Ito ay ang pag-unawa sa modelo, tulad ng ipinapakita sa Black-Scholes formula, na kadalasang ginagamit ng mga kalahok sa merkado, sa kaibahan sa aktwal na mga presyo. Ang mga detalyeng ito ay walang kasamang mga limitasyon sa arbitrage at walang panganib na pagpepresyo (dahil sa patuloy na pagsusuri). Bilang karagdagan, ang Black-Scholes equation, ang partial differential equation na tumutukoy sa presyo ng isang opsyon, ay nagpapahintulot sa mga presyo na matukoy ayon sa numero kapag ang isang tahasang formula ay hindi posible.
Volatility
May isang parameter lang ang Black-Scholes formula na hindi direktang maobserbahan sa market: ang average na pagbabago sa hinaharap ng pinagbabatayan na asset, bagama't makikita ito sa presyo ng iba pang mga opsyon. Habang tumataas ang value ng isang parameter (ilagay man o tawag) sa parameter na iyon, maaari itong baligtarin upang makabuo ng "volatility surface" na pagkatapos ay gagamitin upang i-calibrate ang iba pang mga pattern gaya ng OTC derivatives.
Na nasa isip ang mga pagpapalagay na ito, ipagpalagay na ang market na ito ay nakikipagkalakalan din ng mga derivatives. Isinasaad namin na ang seguridad na ito ay magkakaroon ng partikular na payout sa isang partikular na petsa sa hinaharap, depende sa halaga na ipinapalagay ng bahagi.bago ang petsang ito. Nakapagtataka, ang presyo ng derivative ay ganap na ngayong tinutukoy, bagama't hindi namin alam kung aling landas ang tatahakin ng presyo ng share sa hinaharap.
Para sa isang espesyal na kaso ng European call o put option, ipinakita ng Black at Scholes na posibleng gumawa ng hedged na posisyon na binubuo ng mahabang posisyon sa isang stock at maikling posisyon sa isang opsyon, ang halaga nito ay hindi nakadepende sa presyo ng stock. Ang kanilang dynamic na diskarte sa hedging ay nagresulta sa isang partial differential equation na tumutukoy sa presyo ng opsyon. Ang solusyon nito ay ibinibigay ng Black-Scholes formula.
Pagkakaiba ng mga termino
Ang Black-Scholes formula para sa excel ay maaaring bigyang-kahulugan sa pamamagitan ng paghahati muna ng opsyon sa tawag sa pagkakaiba ng dalawang binary na opsyon. Ang isang call option ay nagpapalitan ng cash para sa isang asset sa pag-expire, habang ang isang call asset na mayroon o walang asset ay nagbubunga lamang ng isang asset (walang cash na kapalit) at isang cashless na tawag ay nagbabalik lamang ng pera (walang palitan ng asset)). Ang formula ng Black-Scholes para sa isang opsyon ay ang pagkakaiba ng dalawang termino, at ang dalawang terminong ito ay katumbas ng halaga ng binary na mga opsyon sa tawag. Ang mga binary option na ito ay hindi gaanong madalas makipagkalakalan kaysa sa mga opsyon sa vanilla, ngunit mas madaling suriin.
Sa pagsasanay, ang ilang mga halaga ng sensitivity ay karaniwang pinaikli upang umangkop sa sukat ng malamang na mga pagbabago sa parameter. Halimbawa, ang rho na hinati ng 10000 (baguhin ng 1 basis point), vega ng 100 (baguhin ng 1 volume point) at theta ng 365 ay madalas na iniuulat.o 252 (1-araw na drawdown batay sa alinman sa mga araw sa kalendaryo o mga araw ng kalakalan bawat taon).
Ang modelo sa itaas ay maaaring palawigin para sa variable (ngunit deterministic) na mga rate at volatility. Magagamit din ang modelo upang bigyang halaga ang mga opsyon sa Europa para sa mga instrumento sa pagbabayad ng dibidendo. Sa kasong ito, ang mga closed-form na solusyon ay magagamit kung ang dibidendo ay isang kilalang proporsyon ng presyo ng bahagi. Ang mga American at stock option na nagbabayad ng kilalang cash dividend (mas makatotohanan kaysa sa proporsyonal na dibidendo sa maikling termino) ay mas mahirap pahalagahan at isang pagpipilian ng mga paraan ng solusyon (hal. sala-sala at grids).
Approach
Kapaki-pakinabang na pagtatantya: bagama't hindi pare-pareho ang volatility, kadalasang nakakatulong ang mga resulta ng modelo na itakda ang hedging sa mga tamang proporsyon upang mabawasan ang panganib. Kahit na hindi ganap na tumpak ang mga resulta, nagsisilbi ang mga ito bilang unang pagtatantya kung saan maaaring gawin ang mga pagsasaayos.
Basic para sa mas mahuhusay na modelo: Ang modelo ng Black-Scholes ay matatag sa kahulugan na maaari itong isaayos upang makayanan ang ilan sa mga pagkabigo nito. Sa halip na ituring ang ilang mga parameter (gaya ng pagkasumpungin o mga rate ng interes) bilang mga constant, itinuturing namin ang mga ito bilang mga variable at sa gayon ay nagdaragdag ng mga mapagkukunan ng panganib.
Ito ay makikita sa mga Greek (pagbabago sa value ng opsyon para baguhin ang mga parameter na ito o katumbas ng mga partial derivative na may kinalaman sa mga variable na ito) at pag-hedging sa mga Greek na itobinabawasan ang panganib na dulot ng variable na katangian ng mga parameter na ito. Gayunpaman, hindi maaalis ang iba pang mga depekto sa pamamagitan ng pagpapalit ng modelo, sa partikular na panganib sa buntot at panganib sa pagkatubig, at sa halip ay pinamamahalaan ang mga ito sa labas ng modelo, pangunahin sa pamamagitan ng pagliit sa mga panganib na ito at pagsubok sa stress.
Tahasang pagmomodelo
Explicit Modeling: Nangangahulugan ang feature na ito na sa halip na ipagpalagay na priori ang volatility at kalkulahin ang mga presyo mula rito, maaari kang gumamit ng modelo upang matukoy ang volatility na nagbibigay ng implied volatility ng opsyon sa mga partikular na presyo, oras at presyo ng strike. Sa pamamagitan ng paglutas ng volatility sa isang partikular na hanay ng mga tagal at presyo ng strike, maaaring makabuo ng isang ipinahiwatig na volatility surface.
Sa application na ito ng modelong Black-Scholes, isang pagbabagong-anyo ng mga coordinate mula sa lugar ng presyo patungo sa lugar ng pagkasumpungin. Sa halip na mag-quote ng mga presyo ng opsyon sa dolyar bawat unit (na mahirap ihambing batay sa mga strike, tagal, at dalas ng kupon), ang mga presyo ng opsyon ay maaaring banggitin sa mga tuntunin ng ipinahiwatig na pagkasumpungin, na humahantong sa pagkasumpungin sa pangangalakal sa mga pamilihan ng opsyon.
