Ang
Fourier series ay isang representasyon ng isang arbitraryong kinuhang function na may partikular na panahon bilang isang serye. Sa pangkalahatang mga termino, ang solusyon na ito ay tinatawag na agnas ng isang elemento sa isang orthogonal na batayan. Ang pagpapalawak ng mga function sa isang seryeng Fourier ay isang medyo makapangyarihang tool para sa paglutas ng iba't ibang mga problema dahil sa mga katangian ng pagbabagong ito kapag nagsasama, nag-iiba, pati na rin ang paglilipat ng isang expression sa isang argumento at convolution.
Ang isang taong hindi pamilyar sa mas matataas na matematika, gayundin sa mga gawa ng French scientist na si Fourier, malamang na hindi mauunawaan kung ano ang mga “row” na ito at para saan ang mga ito. Samantala, ang pagbabagong ito ay naging medyo siksik sa ating buhay. Ito ay ginagamit hindi lamang ng mga mathematician, kundi pati na rin ng mga physicist, chemist, physicians, astronomers, seismologists, oceanographers at marami pang iba. Tingnan natin ang mga gawa ng mahusay na French scientist, na nakatuklas nang mas maaga kaysa sa kanyang panahon.
Man and the Fourier Transform
Ang
Fourier series ay isa sa mga pamamaraan (kasama ang pagsusuri at iba pa) ng Fourier transform. Ang prosesong ito ay nangyayari sa tuwing may naririnig na tunog ang isang tao. Awtomatikong kino-convert ng ating tainga ang tunogmga alon. Ang mga oscillatory na paggalaw ng mga elementarya na particle sa isang nababanat na daluyan ay nabubulok sa mga hilera (kasama ang spectrum) ng sunud-sunod na mga halaga ng antas ng volume para sa mga tono ng iba't ibang taas. Susunod, ginagawang pamilyar sa atin ng utak ang data na ito. Nangyayari ang lahat ng ito bilang karagdagan sa ating pagnanais o kamalayan, nang mag-isa, ngunit upang maunawaan ang mga prosesong ito, tatagal ng ilang taon upang pag-aralan ang mas mataas na matematika.
Higit pa tungkol sa Fourier Transform
Fourier transform ay maaaring isagawa sa pamamagitan ng analytical, numerical at iba pang mga pamamaraan. Ang Fourier series ay tumutukoy sa numeral na paraan ng pagkabulok ng anumang oscillatory na proseso - mula sa karagatan at mga light wave hanggang sa mga siklo ng solar (at iba pang astronomical na bagay) na aktibidad. Gamit ang mga mathematical technique na ito, posibleng pag-aralan ang mga function, na kumakatawan sa anumang oscillatory na proseso bilang isang serye ng mga sinusoidal na bahagi na mula sa minimum hanggang sa maximum at vice versa. Ang Fourier transform ay isang function na naglalarawan sa phase at amplitude ng sinusoids na tumutugma sa isang tiyak na frequency. Maaaring gamitin ang prosesong ito upang malutas ang napakakomplikadong mga equation na naglalarawan ng mga dynamic na proseso na nagaganap sa ilalim ng impluwensya ng thermal, liwanag o elektrikal na enerhiya. Gayundin, ginagawang posible ng serye ng Fourier na ihiwalay ang mga pare-parehong bahagi sa mga kumplikadong oscillatory signal, na naging posible upang mabigyang-kahulugan nang tama ang nakuhang mga eksperimentong obserbasyon sa medisina, kimika at astronomiya.
Makasaysayang background
Founding father ng teoryang itoSi Jean Baptiste Joseph Fourier ay isang Pranses na matematiko. Ang pagbabagong ito ay ipinangalan sa kanya pagkatapos. Sa una, inilapat ng siyentipiko ang kanyang pamamaraan upang pag-aralan at ipaliwanag ang mga mekanismo ng pagpapadaloy ng init - ang pagkalat ng init sa mga solido. Iminungkahi ni Fourier na ang paunang hindi regular na pamamahagi ng isang heat wave ay maaaring mabulok sa pinakasimpleng sinusoid, na ang bawat isa ay magkakaroon ng sarili nitong minimum at maximum na temperatura, pati na rin ang sarili nitong yugto. Sa kasong ito, ang bawat naturang bahagi ay susukatin mula sa minimum hanggang sa maximum at vice versa. Ang mathematical function na naglalarawan sa upper at lower peak ng curve, pati na rin ang phase ng bawat harmonic, ay tinatawag na Fourier transform ng temperature distribution expression. Binawasan ng may-akda ng teorya ang pangkalahatang function ng pamamahagi, na mahirap ilarawan sa matematika, sa isang napakadaling pangasiwaan na serye ng mga periodic cosine at sine function na nagdaragdag sa orihinal na pamamahagi.
Ang prinsipyo ng pagbabago at pananaw ng mga kontemporaryo
Ang mga kontemporaryo ng siyentipiko - ang nangungunang mga mathematician noong unang bahagi ng ikalabinsiyam na siglo - ay hindi tinanggap ang teoryang ito. Ang pangunahing pagtutol ay ang paninindigan ni Fourier na ang isang discontinuous function na naglalarawan sa isang tuwid na linya o isang discontinuous curve ay maaaring katawanin bilang isang kabuuan ng sinusoidal expression na tuluy-tuloy. Bilang halimbawa, isaalang-alang ang "hakbang" ng Heaviside: ang halaga nito ay zero sa kaliwa ng gap at isa sa kanan. Inilalarawan ng function na ito ang pag-asa ng electric current sa variable ng oras kapag sarado ang circuit. Ang mga kontemporaryo ng teorya noong panahong iyon ay hindi pa nakatagpo ng ganoonisang sitwasyon kung saan ang discontinuous na expression ay ilalarawan sa pamamagitan ng kumbinasyon ng tuluy-tuloy, ordinaryong function, gaya ng exponential, sinusoid, linear o quadratic.
Ano ang nakalilito sa mga French mathematician sa Fourier theory?
Pagkatapos ng lahat, kung tama ang mathematician sa kanyang mga pahayag, pagkatapos ay pagbubuod ng walang katapusang trigonometric Fourier series, maaari kang makakuha ng eksaktong representasyon ng step expression kahit na marami itong katulad na mga hakbang. Sa simula ng ikalabinsiyam na siglo, ang gayong pahayag ay tila walang katotohanan. Ngunit sa kabila ng lahat ng mga pagdududa, maraming mga mathematician ang nagpalawak ng saklaw ng pag-aaral ng hindi pangkaraniwang bagay na ito, na dinadala ito sa kabila ng saklaw ng mga pag-aaral ng thermal conductivity. Gayunpaman, ang karamihan sa mga siyentipiko ay patuloy na naghihirap sa tanong na: "Maaari bang ang kabuuan ng isang sinusoidal series ay mag-converge sa eksaktong halaga ng isang discontinuous function?"
Convergence of Fourier series: halimbawa
Ang tanong ng convergence ay itinataas sa tuwing kinakailangan upang buuin ang walang katapusang serye ng mga numero. Upang maunawaan ang hindi pangkaraniwang bagay na ito, isaalang-alang ang isang klasikong halimbawa. Maaabot mo ba ang pader kung ang bawat sunod-sunod na hakbang ay kalahati ng laki ng nauna? Ipagpalagay na ikaw ay dalawang metro mula sa layunin, ang unang hakbang ay magdadala sa iyo na mas malapit sa kalahating punto, ang susunod sa tatlong-kapat na marka, at pagkatapos ng ikalima ay sasaklawin mo ang halos 97 porsiyento ng daan. Gayunpaman, kahit gaano karaming mga hakbang ang iyong gawin, hindi mo makakamit ang nilalayon na layunin sa isang mahigpit na kahulugan ng matematika. Gamit ang numerical calculations, mapapatunayan ng isa na sa huli ay makakalapit ang isa sa gusto ng isa.maliit na tinukoy na distansya. Ang patunay na ito ay katumbas ng pagpapakita na ang kabuuan ng halaga ng kalahati, ikaapat, atbp. ay magiging isa.
Question of Convergence: The Second Coming, or Lord Kelvin's Appliance
Paulit-ulit na ibinangon ang tanong na ito sa pagtatapos ng ikalabinsiyam na siglo, nang sinubukang gamitin ang seryeng Fourier upang mahulaan ang tindi ng pag-agos. Sa oras na ito, nag-imbento si Lord Kelvin ng isang device, na isang analog computing device na nagpapahintulot sa mga mandaragat ng militar at merchant fleet na subaybayan ang natural na hindi pangkaraniwang bagay na ito. Tinukoy ng mekanismong ito ang mga hanay ng mga phase at amplitude mula sa isang talaan ng mga taas ng tubig at ang mga katumbas na oras ng mga ito, na maingat na sinusukat sa isang partikular na daungan sa buong taon. Ang bawat parameter ay isang sinusoidal na bahagi ng pagpapahayag ng taas ng tubig at isa sa mga regular na bahagi. Ang mga resulta ng mga sukat ay ipinasok sa calculator ni Lord Kelvin, na nag-synthesize ng isang curve na hinulaang ang taas ng tubig bilang isang function ng oras para sa susunod na taon. Sa lalong madaling panahon, ang mga katulad na kurba ay iginuhit para sa lahat ng daungan ng mundo.
At kung ang proseso ay nasira sa pamamagitan ng hindi tuloy-tuloy na function?
Sa oras na iyon, tila halata na ang isang tidal wave predictor na may malaking bilang ng mga elemento ng pagbibilang ay makakakalkula ng malaking bilang ng mga phase at amplitude at sa gayon ay makapagbibigay ng mas tumpak na mga hula. Gayunpaman, ito ay naka-out na ang regularidad na ito ay hindi sinusunod sa mga kaso kung saan ang tidal expression, na sumusunodsynthesize, naglalaman ng isang matalim na pagtalon, iyon ay, ito ay hindi natuloy. Kung sakaling ang data ay ipinasok sa device mula sa talahanayan ng mga sandali ng oras, pagkatapos ay kinakalkula nito ang ilang Fourier coefficient. Ang orihinal na pag-andar ay naibalik salamat sa mga bahagi ng sinusoidal (ayon sa nahanap na mga coefficient). Ang pagkakaiba sa pagitan ng orihinal at naibalik na expression ay maaaring masukat sa anumang punto. Kapag nagsasagawa ng paulit-ulit na mga kalkulasyon at paghahambing, makikita na ang halaga ng pinakamalaking error ay hindi bumababa. Gayunpaman, naka-localize ang mga ito sa rehiyon na tumutugma sa discontinuity point, at may posibilidad na maging zero sa anumang iba pang punto. Noong 1899, ang resultang ito ay theoretically nakumpirma ni Joshua Willard Gibbs ng Yale University.
Convergence ng Fourier series at ang pagbuo ng matematika sa pangkalahatan
Fourier analysis ay hindi naaangkop sa mga expression na naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga pagsabog sa isang partikular na agwat. Sa pangkalahatan, ang serye ng Fourier, kung ang orihinal na pag-andar ay resulta ng isang tunay na pisikal na pagsukat, palaging nagtatagpo. Ang mga tanong ng convergence ng prosesong ito para sa mga tiyak na klase ng mga function ay humantong sa paglitaw ng mga bagong seksyon sa matematika, halimbawa, ang teorya ng generalised function. Ito ay nauugnay sa mga pangalan tulad ng L. Schwartz, J. Mikusinsky at J. Temple. Sa loob ng balangkas ng teoryang ito, ang isang malinaw at tumpak na teoretikal na batayan ay nilikha para sa mga expression tulad ng Dirac delta function (ito ay naglalarawan ng isang lugar ng isang solong lugar na puro sa isang walang katapusang maliit na kapitbahayan ng isang punto) at ang Heaviside hakbang”. Salamat sa gawaing ito, naging angkop ang serye ng Fourier sapaglutas ng mga equation at problemang may kinalaman sa mga intuitive na konsepto: point charge, point mass, magnetic dipoles, pati na rin ang concentrated load sa isang beam.
Fourier method
Fourier series, alinsunod sa mga prinsipyo ng interference, magsisimula sa pag-decomposition ng mga kumplikadong anyo sa mas simple. Halimbawa, ang isang pagbabago sa daloy ng init ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng pagdaan nito sa iba't ibang mga hadlang na gawa sa hindi regular na hugis na materyal na insulating init o isang pagbabago sa ibabaw ng lupa - isang lindol, isang pagbabago sa orbit ng isang celestial body - ang impluwensya ng mga planeta. Bilang isang tuntunin, ang mga katulad na equation na naglalarawan ng mga simpleng klasikal na sistema ay elementarily nalulutas para sa bawat indibidwal na alon. Ipinakita ni Fourier na ang mga simpleng solusyon ay maaari ding isama upang magbigay ng mga solusyon sa mas kumplikadong mga problema. Sa wika ng matematika, ang seryeng Fourier ay isang pamamaraan para sa pagkatawan ng isang expression bilang isang kabuuan ng mga harmonika - cosine at sinusoids. Samakatuwid, ang pagsusuring ito ay kilala rin bilang "harmonic analysis".
Fourier series - ang perpektong diskarte bago ang "panahon ng computer"
Bago ang paglikha ng teknolohiya ng computer, ang Fourier technique ay ang pinakamahusay na sandata sa arsenal ng mga siyentipiko kapag nagtatrabaho sa likas na alon ng ating mundo. Ang seryeng Fourier sa isang kumplikadong anyo ay nagbibigay-daan sa paglutas hindi lamang ng mga simpleng problema na maaaring direktang ilapat sa mga batas ng mekanika ni Newton, kundi pati na rin ang mga pangunahing equation. Karamihan sa mga natuklasan ng Newtonian science noong ikalabinsiyam na siglo ay naging posible lamang sa pamamagitan ng pamamaraan ni Fourier.
Fourier series ngayon
Sa pagbuo ng Fourier transform na mga computeritinaas sa isang bagong antas. Ang pamamaraan na ito ay matatag na nakabaon sa halos lahat ng mga lugar ng agham at teknolohiya. Ang isang halimbawa ay isang digital audio at video signal. Ang pagsasakatuparan nito ay naging posible lamang salamat sa teorya na binuo ng isang Pranses na matematiko sa simula ng ikalabinsiyam na siglo. Kaya, ang seryeng Fourier sa isang kumplikadong anyo ay naging posible upang makagawa ng isang pambihirang tagumpay sa pag-aaral ng kalawakan. Bilang karagdagan, naimpluwensyahan nito ang pag-aaral ng physics ng mga semiconductor na materyales at plasma, microwave acoustics, oceanography, radar, seismology.
Serye ng Trigonometric Fourier
Sa matematika, ang Fourier series ay isang paraan ng pagre-represent ng mga arbitrary complex function bilang kabuuan ng mas simple. Sa mga pangkalahatang kaso, ang bilang ng mga naturang expression ay maaaring walang katapusan. Bukod dito, kung higit na isinasaalang-alang ang kanilang numero sa pagkalkula, mas tumpak ang huling resulta. Kadalasan, ang mga trigonometriko na pag-andar ng cosine o sine ay ginagamit bilang pinakasimpleng mga. Sa kasong ito, ang serye ng Fourier ay tinatawag na trigonometric, at ang solusyon ng naturang mga expression ay tinatawag na pagpapalawak ng harmonic. Ang pamamaraang ito ay gumaganap ng isang mahalagang papel sa matematika. Una sa lahat, ang serye ng trigonometriko ay nagbibigay ng isang paraan para sa imahe, pati na rin ang pag-aaral ng mga pag-andar, ito ang pangunahing kagamitan ng teorya. Bilang karagdagan, pinapayagan nito ang paglutas ng isang bilang ng mga problema ng matematikal na pisika. Sa wakas, ang teoryang ito ay nag-ambag sa pag-unlad ng pagsusuri sa matematika, nagbunga ng isang bilang ng mga napakahalagang seksyon ng agham matematika (ang teorya ng mga integral, ang teorya ng mga pana-panahong pag-andar). Bilang karagdagan, nagsilbi itong panimulang punto para sa pagbuo ng mga sumusunod na teorya: set, functiontunay na variable, functional analysis, at naglatag din ng pundasyon para sa harmonic analysis.
