Ang
Probability theory ay isang espesyal na sangay ng matematika, na pinag-aaralan lamang ng mga mag-aaral ng mas mataas na institusyong pang-edukasyon. Mahilig ka ba sa mga kalkulasyon at formula? Hindi ka ba natatakot sa mga prospect ng kakilala sa normal na pamamahagi, ang entropy ng ensemble, ang pag-asa sa matematika at ang pagkakaiba-iba ng isang discrete random variable? Kung gayon ang paksang ito ay magiging lubhang kawili-wili sa iyo. Kilalanin natin ang ilan sa pinakamahalagang pangunahing konsepto ng seksyong ito ng agham.
Alalahanin ang mga pangunahing kaalaman
Kahit na naaalala mo ang pinakasimpleng konsepto ng probability theory, huwag pabayaan ang mga unang talata ng artikulo. Ang katotohanan ay na kung walang malinaw na pag-unawa sa mga pangunahing kaalaman, hindi mo magagawang gamitin ang mga formula na tinalakay sa ibaba.
Kaya, mayroong ilang random na kaganapan, ilang eksperimento. Bilang resulta ng mga pagkilos na isinagawa, maaari tayong makakuha ng ilang mga resulta - ang ilan sa mga ito ay mas karaniwan, ang iba ay mas karaniwan. Ang posibilidad ng isang kaganapan ay ang ratio ng bilang ng mga aktwal na natanggap na resulta ng isang uri sa kabuuang bilang ng mga posibleng resulta. Ang pag-alam lamang sa klasikal na kahulugan ng konseptong ito, maaari mong simulan ang pag-aaral ng matematikal na inaasahan at pagkakaiba-iba ng tuluy-tuloy.mga random na variable.
Arithmetic mean
Kahit sa paaralan, sa mga aralin sa matematika, nagsimula kang gumawa ng arithmetic mean. Ang konseptong ito ay malawakang ginagamit sa teorya ng posibilidad, at samakatuwid ay hindi ito maaaring balewalain. Ang pangunahing bagay para sa amin sa ngayon ay makakatagpo namin ito sa mga formula para sa mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng isang random na variable.
Mayroon kaming sequence ng mga numero at gusto naming mahanap ang arithmetic mean. Ang kailangan lang sa atin ay isama ang lahat ng magagamit at hatiin sa bilang ng mga elemento sa pagkakasunud-sunod. Hayaan tayong magkaroon ng mga numero mula 1 hanggang 9. Ang kabuuan ng mga elemento ay magiging 45, at hahatiin natin ang halagang ito sa 9. Sagot: - 5.
Dispersion
Scientifically speaking, ang variance ay ang mean square ng mga deviations ng nakuhang feature values mula sa arithmetic mean. Ang isa ay tinutukoy ng malaking letrang Latin na D. Ano ang kailangan upang makalkula ito? Para sa bawat elemento ng sequence, kinakalkula namin ang pagkakaiba sa pagitan ng magagamit na numero at ng arithmetic mean at parisukat ito. Magkakaroon ng eksaktong bilang ng maraming mga halaga na maaaring magkaroon ng mga resulta para sa kaganapan na aming isinasaalang-alang. Susunod, ibubuod namin ang lahat ng natanggap at hatiin sa bilang ng mga elemento sa pagkakasunud-sunod. Kung mayroon tayong limang posibleng resulta, hatiin sa lima.
Ang dispersion ay mayroon ding mga katangian na kailangan mong tandaan upang mailapat ito kapag nilulutas ang mga problema. Halimbawa, kung ang random na variable ay tinaasan ng X beses, ang variance ay tataas ng X na beses sa parisukat (ibig sabihin, XX). Ito ay hindi bababa sa zero at hindi nakadepende sapaglilipat ng mga halaga sa pamamagitan ng pantay na halaga pataas o pababa. Gayundin, para sa mga independiyenteng pagsubok, ang pagkakaiba ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga pagkakaiba.
Ngayon ay tiyak na kailangan nating isaalang-alang ang mga halimbawa ng pagkakaiba-iba ng isang discrete random variable at ang mathematical na inaasahan.
Ipagpalagay na nagpatakbo kami ng 21 eksperimento at nakakuha kami ng 7 magkakaibang resulta. Inobserbahan namin ang bawat isa sa kanila, ayon sa pagkakabanggit, 1, 2, 2, 3, 4, 4 at 5 beses. Ano ang magiging pagkakaiba?
Una, kalkulahin natin ang arithmetic mean: ang kabuuan ng mga elemento, siyempre, ay 21. Hatiin ito sa 7, pagkuha ng 3. Ngayon ay ibawas ang 3 sa bawat numero sa orihinal na pagkakasunod-sunod, parisukat ang bawat halaga, at idagdag magkasama ang mga resulta. Lumalabas na 12. Ngayon ay nananatili para sa amin na hatiin ang numero sa bilang ng mga elemento, at, tila, iyon lang. Pero may catch! Pag-usapan natin ito.
Pagdepende sa bilang ng mga eksperimento
Lumalabas na kapag kinakalkula ang pagkakaiba, ang denominator ay maaaring isa sa dalawang numero: alinman sa N o N-1. Narito ang N ay ang bilang ng mga eksperimento na isinagawa o ang bilang ng mga elemento sa sequence (na, sa katunayan, ay pareho). Saan ito nakasalalay?
Kung ang bilang ng mga pagsubok ay sinusukat sa daan-daan, dapat nating ilagay ang N sa denominator. Kung sa mga yunit, pagkatapos ay N-1. Nagpasya ang mga siyentipiko na iguhit ang hangganan nang medyo simboliko: ngayon ito ay tumatakbo kasama ang numero 30. Kung magsagawa kami ng mas mababa sa 30 mga eksperimento, hahatiin namin ang halaga sa N-1, at kung higit pa, pagkatapos ay sa N.
Gawain
Balik tayo sa ating halimbawa ng paglutas ng problema sa pagkakaiba-iba at inaasahan. Kaminakatanggap ng intermediate number na 12, na kailangang hatiin ng N o N-1. Dahil nagsagawa kami ng 21 eksperimento, na mas mababa sa 30, pipiliin namin ang pangalawang opsyon. Kaya ang sagot ay: ang pagkakaiba ay 12 / 2=2.
Pag-asa
Tumuloy tayo sa pangalawang konsepto, na dapat nating isaalang-alang sa artikulong ito. Ang inaasahan sa matematika ay ang resulta ng pagdaragdag ng lahat ng posibleng resulta na pinarami ng mga katumbas na probabilidad. Mahalagang maunawaan na ang resultang halaga, gayundin ang resulta ng pagkalkula ng pagkakaiba, ay makukuha lamang ng isang beses para sa buong gawain, gaano man karaming mga resulta ang isinasaalang-alang nito.
Ang formula ng inaasahan ay medyo simple: kumukuha tayo ng resulta, i-multiply ito sa probabilidad nito, idinagdag ang pareho para sa pangalawa, pangatlong resulta, atbp. Lahat ng nauugnay sa konseptong ito ay madaling kalkulahin. Halimbawa, ang kabuuan ng mga inaasahan sa matematika ay katumbas ng inaasahan sa matematika ng kabuuan. Ang parehong ay totoo para sa trabaho. Hindi lahat ng dami sa teorya ng probabilidad ay nagbibigay-daan sa gayong mga simpleng operasyon na maisagawa. Gumawa tayo ng isang gawain at kalkulahin ang halaga ng dalawang konsepto na pinag-aralan natin nang sabay-sabay. Bilang karagdagan, nagambala kami sa teorya - oras na para magsanay.
Isa pang halimbawa
Nagpatakbo kami ng 50 pagsubok at nakakuha kami ng 10 uri ng mga resulta - mga numero mula 0 hanggang 9 - na lumalabas sa iba't ibang porsyento. Ito ay, ayon sa pagkakabanggit: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Alalahanin na upang makuha ang mga probabilidad, kailangan mong hatiin ang mga halaga ng porsyento sa pamamagitan ng 100. Kaya, makakakuha tayo ng 0.02; 0, 1, atbp. Ipaalam sa amin kumatawan para sa pagkakaiba-iba ng isang randomhalaga at mathematical expectation halimbawa ng paglutas ng problema.
Kalkulahin ang arithmetic mean gamit ang formula na natatandaan natin mula sa elementarya: 50/10=5.
Ngayon, isalin natin ang mga probabilidad sa bilang ng mga resulta "sa piraso" para mas madaling mabilang. Nakukuha namin ang 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 at 9. Ibawas ang arithmetic mean mula sa bawat halaga na nakuha, pagkatapos ay i-square namin ang bawat resulta na nakuha. Tingnan kung paano ito gawin gamit ang unang elemento bilang isang halimbawa: 1 - 5=(-4). Dagdag pa: (-4)(-4)=16. Para sa iba pang mga halaga, gawin ang mga operasyong ito nang mag-isa. Kung ginawa mo ang lahat ng tama, pagkatapos idagdag ang lahat ng mga intermediate na resulta ay makakakuha ka ng 90.
Magpatuloy sa pagkalkula ng variance at mean sa pamamagitan ng paghahati ng 90 sa N. Bakit natin pipiliin ang N at hindi ang N-1? Tama iyon, dahil ang bilang ng mga eksperimento na ginawa ay lumampas sa 30. Kaya: 90/10=9. Nakuha namin ang dispersion. Kung nakakuha ka ng ibang numero, huwag mawalan ng pag-asa. Malamang, gumawa ka ng isang banal na error sa mga kalkulasyon. Suriin muli kung ano ang iyong isinulat, at tiyak na mahuhulog ang lahat.
Sa wakas, tandaan natin ang formula ng inaasahan. Hindi namin ibibigay ang lahat ng mga kalkulasyon, isusulat lamang namin ang sagot kung saan maaari mong suriin pagkatapos makumpleto ang lahat ng kinakailangang mga pamamaraan. Ang inaasahan ay magiging katumbas ng 5, 48. Naaalala lamang namin kung paano magsagawa ng mga operasyon, gamit ang halimbawa ng mga unang elemento: 00, 02 + 10, 1… at iba pa. Gaya ng nakikita mo, pinaparami lang namin ang halaga ng kinalabasan sa posibilidad nito.
Paglihis
Ang isa pang konsepto na malapit na nauugnay sa pagkakaiba at inaasahang halaga aykaraniwang lihis. Ito ay tinutukoy ng mga Latin na letrang sd, o ng maliit na letrang Griyego na "sigma". Ang konseptong ito ay nagpapakita kung paano, sa karaniwan, ang mga halaga ay lumihis mula sa pangunahing tampok. Upang mahanap ang halaga nito, kailangan mong kalkulahin ang square root ng variance.
Kung gagawa ka ng graph ng isang normal na distribusyon at gusto mong makita ang halaga ng standard deviation nang direkta dito, maaari itong gawin sa ilang yugto. Dalhin ang kalahati ng imahe sa kaliwa o kanan ng mode (central value), gumuhit ng patayo sa pahalang na axis upang ang mga lugar ng mga resultang figure ay pantay. Ang halaga ng segment sa pagitan ng gitna ng distribusyon at ang magreresultang projection sa pahalang na axis ang magiging standard deviation.
Software
Tulad ng makikita mo mula sa mga paglalarawan ng mga formula at mga halimbawang ipinakita, ang pagkalkula ng pagkakaiba at pag-asa sa matematika ay hindi ang pinakamadaling pamamaraan mula sa punto ng view ng aritmetika. Upang hindi mag-aksaya ng oras, makatuwiran na gamitin ang programa na ginagamit sa mas mataas na edukasyon - ito ay tinatawag na "R". Mayroon itong mga function na nagbibigay-daan sa iyong kalkulahin ang mga halaga para sa maraming mga konsepto mula sa mga istatistika at teorya ng posibilidad.
Halimbawa, tumukoy ka ng vector ng mga value. Ginagawa ito tulad ng sumusunod: vector <-c(1, 5, 2…). Ngayon, kapag kailangan mong kalkulahin ang ilang mga halaga para sa vector na ito, sumulat ka ng isang function at ibigay ito bilang isang argumento. Upang mahanap ang pagkakaiba, kakailanganin mong gamitin ang var. Isang halimbawa sa kanyapaggamit: var(vector). Pagkatapos ay pindutin mo lang ang "enter" at makuha ang resulta.
Sa konklusyon
Ang
variance at mathematical expectation ay ang mga pangunahing konsepto ng probability theory, kung wala ito mahirap kalkulahin ang anuman sa hinaharap. Sa pangunahing kurso ng mga lektura sa mga unibersidad, sila ay itinuturing na sa mga unang buwan ng pag-aaral ng paksa. Dahil mismo sa kakulangan ng pag-unawa sa mga simpleng konsepto na ito at sa kawalan ng kakayahang kalkulahin ang mga ito kung kaya't maraming mga mag-aaral ang agad na nahuhuli sa programa at kalaunan ay nakatanggap ng mahihirap na marka sa pagtatapos ng sesyon, na nag-aalis sa kanila ng mga scholarship.
Magsanay nang hindi bababa sa isang linggo para sa kalahating oras sa isang araw, paglutas ng mga problemang katulad ng mga ipinakita sa artikulong ito. Pagkatapos, sa anumang pagsubok sa teorya ng probabilidad ay makakayanan mo ang mga halimbawa nang walang mga ekstrang tip at cheat sheet.
