Ang kakayahang kalkulahin ang volume ng mga spatial figure ay mahalaga sa paglutas ng ilang praktikal na problema sa geometry. Ang isa sa mga pinakakaraniwang hugis ay ang pyramid. Sa artikulong ito, isasaalang-alang namin ang mga formula para sa volume ng pyramid, parehong puno at pinutol.
Pyramid bilang three-dimensional figure
Alam ng lahat ang tungkol sa Egyptian pyramids, kaya may magandang ideya sila kung anong figure ang tatalakayin. Gayunpaman, ang mga istrukturang bato ng Egypt ay isang espesyal na kaso lamang ng isang malaking klase ng mga pyramids.
Ang itinuturing na geometrical na bagay sa pangkalahatang kaso ay isang polygonal na base, ang bawat tuktok nito ay konektado sa ilang punto sa espasyo na hindi kabilang sa base plane. Ang kahulugan na ito ay humahantong sa isang figure na binubuo ng isang n-gon at n triangle.
Anumang pyramid ay binubuo ng n+1 na mukha, 2n gilid at n+1 na vertice. Dahil ang figure na isinasaalang-alang ay isang perpektong polyhedron, ang mga bilang ng mga minarkahang elemento ay sumusunod sa pagkakapantay-pantay ng Euler:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Ang polygon sa base ay nagbibigay ng pangalan ng pyramid,halimbawa, tatsulok, pentagonal, at iba pa. Isang set ng mga pyramids na may iba't ibang base ay ipinapakita sa larawan sa ibaba.
Ang punto kung saan konektado ang n triangles ng figure ay tinatawag na tuktok ng pyramid. Kung ang isang patayo ay ibinaba mula dito hanggang sa base at ito ay intersects ito sa geometric center, kung gayon ang nasabing figure ay tatawaging isang tuwid na linya. Kung hindi matugunan ang kundisyong ito, mayroong isang inclined pyramid.
Ang isang tuwid na pigura na ang base ay nabuo ng isang equilateral (equiangular) n-gon ay tinatawag na regular.
Pyramid volume formula
Upang kalkulahin ang volume ng pyramid, ginagamit namin ang integral calculus. Upang gawin ito, hinahati namin ang figure sa pamamagitan ng mga secant na eroplano na kahanay sa base sa isang walang katapusang bilang ng mga manipis na layer. Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng quadrangular pyramid na may taas h at side length L, kung saan ang manipis na layer ng seksyon ay minarkahan ng quadrilateral.
Maaaring kalkulahin ang lugar ng bawat naturang layer gamit ang formula:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Dito ang A0 ay ang lugar ng base, ang z ay ang halaga ng vertical coordinate. Makikita na kung z=0, ang formula ay nagbibigay ng halagang A0.
Upang makuha ang formula para sa volume ng isang pyramid, dapat mong kalkulahin ang integral sa buong taas ng figure, iyon ay:
V=∫h0(A(z)dz).
Pinapalitan ang dependence A(z) at pagkalkula ng antiderivative, dumating tayo sa expression:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Nakuha namin ang formula para sa volume ng pyramid. Upang mahanap ang halaga ng V, sapat na upang i-multiply ang taas ng figure sa pamamagitan ng lugar ng base, at pagkatapos ay hatiin ang resulta sa tatlo.
Tandaan na ang resultang expression ay wasto para sa pagkalkula ng volume ng isang pyramid ng isang arbitrary na uri. Ibig sabihin, maaari itong maging hilig, at ang base nito ay maaaring isang arbitrary na n-gon.
Ang tamang pyramid at ang volume nito
Ang pangkalahatang formula para sa volume na nakuha sa talata sa itaas ay maaaring pinuhin sa kaso ng isang pyramid na may tamang base. Ang lugar ng naturang base ay kinakalkula gamit ang sumusunod na formula:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Narito ang L ay ang haba ng gilid ng isang regular na polygon na may n vertices. Ang simbolong pi ay ang numerong pi.
Pinapalitan ang expression para sa A0 sa pangkalahatang formula, makukuha natin ang volume ng isang regular na pyramid:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Halimbawa, para sa isang triangular na pyramid, humahantong ang formula na ito sa sumusunod na expression:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
Para sa isang regular na quadrangular pyramid, ang volume formula ay magiging:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
Ang pagtukoy sa dami ng mga regular na pyramids ay nangangailangan ng pag-alam sa gilid ng kanilang base at ang taas ng figure.
Truncated pyramid
Ipagpalagay na kinuha naminisang arbitrary pyramid at putulin ang isang bahagi ng lateral surface nito na naglalaman ng tuktok. Ang natitirang figure ay tinatawag na truncated pyramid. Binubuo na ito ng dalawang n-gonal na base at n trapezoid na nag-uugnay sa kanila. Kung ang cutting plane ay parallel sa base ng figure, kung gayon ang isang pinutol na pyramid ay nabuo na may magkatulad na mga base. Iyon ay, ang mga haba ng mga gilid ng isa sa mga ito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga haba ng isa sa ilang coefficient k.
Ang larawan sa itaas ay nagpapakita ng pinutol na regular na hexagonal pyramid. Makikita na ang itaas na base nito, tulad ng ibaba, ay binubuo ng regular na hexagon.
Ang formula para sa volume ng isang pinutol na pyramid, na maaaring makuha gamit ang integral calculus na katulad ng ibinigay, ay:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Kung saan ang A0 at A1 ay ang mga bahagi ng ibabang (malaki) at itaas (maliit) na base, ayon sa pagkakabanggit. Ang variable na h ay ang taas ng pinutol na pyramid.
Ang dami ng pyramid ng Cheops
Nakakainteres na lutasin ang problema sa pagtukoy sa dami na nilalaman ng pinakamalaking Egyptian pyramid sa loob.
Noong 1984, itinatag ng mga British Egyptologist na sina Mark Lehner at Jon Goodman ang eksaktong sukat ng Cheops pyramid. Ang orihinal na taas nito ay 146.50 metro (kasalukuyang mga 137 metro). Ang average na haba ng bawat isa sa apat na gilid ng istraktura ay 230.363 metro. Ang base ng pyramid ay parisukat na may mataas na katumpakan.
Gamitin natin ang mga ibinigay na figure upang matukoy ang volume ng higanteng bato na ito. Dahil ang pyramid ay isang regular na quadrangular, kung gayon ang formula ay wasto para dito:
V4=1/3L2h.
Palitan ang mga numero, makakakuha tayo ng:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Ang dami ng Cheops pyramid ay halos 2.6 million m3. Para sa paghahambing, tandaan namin na ang Olympic pool ay may volume na 2.5 thousand m3. Ibig sabihin, para mapuno ang buong Cheops pyramid, higit sa 1000 sa mga pool na ito ang kakailanganin!
