Natuklasan ang mga matrice at determinant noong ikalabinwalo at ikalabinsiyam na siglo. Sa una, ang kanilang pag-unlad ay nababahala sa pagbabago ng mga geometric na bagay at ang solusyon ng mga sistema ng mga linear na equation. Sa kasaysayan, ang maagang diin ay sa determinant. Sa modernong mga pamamaraan ng pagpoproseso ng linear algebra, ang mga matrice ay unang isinasaalang-alang. Ito ay nagkakahalaga ng pag-isipan ang tanong na ito nang ilang sandali.
Mga sagot mula sa bahaging ito ng kaalaman
Ang mga matrice ay nagbibigay ng teoretikal at praktikal na kapaki-pakinabang na paraan upang malutas ang maraming problema, gaya ng:
- systems ng mga linear equation;
- equilibrium ng solids (sa physics);
- teorya ng graph;
- modelo ng ekonomiya ni Leontief;
- forestry;
- computer graphics at tomography;
- genetics;
- cryptography;
- electric network;
- fractal.
Sa katunayan, ang matrix algebra para sa "dummies" ay may pinasimpleng kahulugan. Ito ay ipinahayag tulad ng sumusunod: ito ay isang siyentipikong larangan ng kaalaman kung saanang mga halagang pinag-uusapan ay pinag-aralan, sinusuri at ganap na ginalugad. Sa seksyong ito ng algebra, pinag-aaralan ang iba't ibang operasyon sa mga matrice na pinag-aaralan.
Paano gamitin ang mga matrice
Ang mga halagang ito ay itinuturing na pantay-pantay kung mayroon silang parehong mga sukat at ang bawat elemento ng isa ay katumbas ng katumbas na elemento ng isa pa. Posibleng i-multiply ang isang matrix sa anumang pare-pareho. Ang ibinigay na ito ay tinatawag na scalar multiplication. Halimbawa: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Ang mga matrice na may parehong laki ay maaaring idagdag at ibawas ng mga input, at ang mga halaga ng mga katugmang laki ay maaaring i-multiply. Halimbawa: magdagdag ng dalawang A at B: A=[21−10]B=[1423]. Posible ito dahil ang A at B ay parehong matrice na may dalawang row at magkaparehong bilang ng mga column. Kinakailangang idagdag ang bawat elemento sa A sa katumbas na elemento sa B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Ang mga matrice ay ibinabawas sa parehong paraan sa algebra.
Matrix multiplication ay gumagana nang medyo naiiba. Bukod dito, maaaring mayroong maraming mga kaso at opsyon, pati na rin ang mga solusyon. Kung i-multiply natin ang matrix na Apq at Bmn, pagkatapos ay ang produkto na Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. Ang entry sa gth row at ang hth column ng AB ay ang kabuuan ng produkto ng kaukulang mga entry sa g A at h B. Posible lamang na i-multiply ang dalawang matrice kung ang bilang ng mga column sa una at mga row sa pangalawa ay pantay-pantay. Halimbawa: tuparin ang kundisyon para sa itinuturing na A at B: A=[1−130]B=[2−11214]. Posible ito dahil ang unang matrix ay naglalaman ng 2 column at ang pangalawa ay naglalaman ng 2 row. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Basic na impormasyon tungkol sa mga matrice
Ang mga value na pinag-uusapan ay nag-aayos ng impormasyon tulad ng mga variable at constant at iniimbak ang mga ito sa mga row at column, karaniwang tinatawag na C. Ang bawat posisyon sa matrix ay tinatawag na elemento. Halimbawa: C=[1234]. Binubuo ng dalawang row at dalawang column. Ang Element 4 ay nasa row 2 at column 2. Karaniwang maaari mong pangalanan ang isang matrix ayon sa mga sukat nito, ang pinangalanang Cmk ay may m row at k column.
Mga pinalawak na matrice
Ang mga pagsasaalang-alang ay hindi kapani-paniwalang kapaki-pakinabang na mga bagay na lumalabas sa maraming iba't ibang lugar ng aplikasyon. Ang mga matrice ay orihinal na nakabatay sa mga sistema ng mga linear na equation. Dahil sa sumusunod na istruktura ng mga hindi pagkakapantay-pantay, kailangang isaalang-alang ang sumusunod na complemented matrix:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Isulat ang mga coefficient at mga value ng sagot, kasama ang lahat ng minus sign. Kung ang elementong may negatibong numero, ito ay magiging katumbas ng "1". Iyon ay, dahil sa isang sistema ng (linear) na mga equation, posibleng iugnay ang isang matrix (grid ng mga numero sa loob ng mga bracket) dito. Ito ang isa na naglalaman lamang ng mga coefficient ng linear system. Ito ay tinatawag na "expanded matrix". Ang grid na naglalaman ng mga coefficient mula sa kaliwang bahagi ng bawat equation ay "nalagyan" ng mga sagot mula sa kanang bahagi ng bawat equation.
Mga tala, ibig sabihinang mga halaga ng B ng matrix ay tumutugma sa mga halaga ng x-, y-, at z sa orihinal na sistema. Kung ito ay maayos na nakaayos, pagkatapos ay una sa lahat suriin ito. Minsan kailangan mong muling ayusin ang mga termino o maglagay ng mga zero bilang mga placeholder sa matrix na pinag-aaralan o pinag-aaralan.
Dahil sa sumusunod na sistema ng mga equation, maaari nating agad na isulat ang nauugnay na augmented matrix:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Una, tiyaking muling ayusin ang system bilang:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Pagkatapos, posibleng isulat ang nauugnay na matrix bilang: [11000113-1012]. Kapag bumubuo ng pinahaba, sulit ang paggamit ng zero para sa anumang talaan kung saan walang laman ang katumbas na puwesto sa system ng mga linear equation.
Matrix Algebra: Properties of Operations
Kung kinakailangan na bumuo ng mga elemento mula lamang sa mga halaga ng coefficient, ang itinuturing na halaga ay magiging ganito: [110011-101]. Ito ay tinatawag na "coefficient matrix".
Isinasaalang-alang ang sumusunod na pinahabang matrix algebra, ito ay kinakailangan upang mapabuti ito at idagdag ang nauugnay na linear system. Iyon ay sinabi, mahalagang tandaan na kailangan nila ang mga variable na maayos at maayos. At kadalasan kapag may tatlong variable, gamitin ang x, y at z sa ganoong pagkakasunod-sunod. Samakatuwid, ang nauugnay na linear system ay dapat na:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Laki ng matrix
Ang mga item na pinag-uusapan ay madalas na tinutukoy ng kanilang pagganap. Ang laki ng isang matrix sa algebra ay ibinibigay bilangmga sukat, dahil maaaring iba ang tawag sa silid. Ang mga sinusukat na sukat ng mga halaga ay mga hilera at haligi, hindi lapad at haba. Halimbawa, ang matrix A:
[1234]
[2345]
[3456].
Dahil ang A ay may tatlong row at apat na column, ang laki ng A ay 3 × 4.
→
↓
Patagilid ang mga linya. Ang mga haligi ay pataas at pababa. Ang "Row" at "column" ay mga detalye at hindi mapapalitan. Palaging tinutukoy ang mga laki ng matrix kasama ang bilang ng mga row at pagkatapos ay ang bilang ng mga column. Kasunod ng convention na ito, ang sumusunod na B:
[123]
Ang
[234] ay 2 × 3. Kung ang isang matrix ay may parehong bilang ng mga row gaya ng mga column, kung gayon ito ay tinatawag na "parisukat". Halimbawa, mga halaga ng coefficient mula sa itaas:
[110]
[011]
Ang
[-101] ay isang 3×3 square matrix.
notation at formatting ng matrix
Pag-format ng tala: Halimbawa, kapag kailangan mong magsulat ng matrix, mahalagang gumamit ng mga bracket . Ang mga absolute value bar || ay hindi ginagamit dahil may ibang direksyon ang mga ito sa kontekstong ito. Ang mga panaklong o curly braces {} ay hindi kailanman ginagamit. O ilang iba pang simbolo ng pagpapangkat, o wala, dahil ang mga presentasyong ito ay walang anumang kahulugan. Sa algebra, ang isang matrix ay palaging nasa loob ng mga square bracket. Tamang notasyon lang ang dapat gamitin, o maaaring ituring na magulo ang mga tugon.
Tulad ng nabanggit kanina, ang mga halagang nilalaman sa isang matrix ay tinatawag na mga tala. Para sa anumang kadahilanan, ang mga elemento na pinag-uusapan ay karaniwang nakasulatmalalaking titik, gaya ng A o B, at ang mga entry ay tinukoy gamit ang kaukulang maliliit na titik, ngunit may mga subscript. Sa matrix A, ang mga halaga ay karaniwang tinatawag na "ai, j", kung saan ang i ay ang hilera ng A at j ay ang column ng A. Halimbawa, a3, 2=8. Ang entry para sa a1, 3 ay 3.
Para sa mas maliliit na matrice, ang mga mas kaunti sa sampung row at column, minsan ay inalis ang subscript comma. Halimbawa, ang "a1, 3=3" ay maaaring isulat bilang "a13=3". Malinaw na hindi ito gagana para sa malalaking matrice dahil magiging malabo ang a213.
Mga uri ng matrix
Minsan inuuri ayon sa kanilang mga pagsasaayos ng talaan. Halimbawa, ang gayong matrix na mayroong lahat ng zero na entry sa ibaba ng dayagonal na itaas-kaliwa-ibaba-kanang "diagonal" ay tinatawag na upper triangular. Sa iba pang mga bagay, maaaring may iba pang mga uri at uri, ngunit hindi sila masyadong kapaki-pakinabang. Sa pangkalahatan, kadalasang nakikita bilang upper triangular. Ang mga halaga na may hindi zero na exponent ay pahalang lamang ay tinatawag na mga diagonal na halaga. Ang mga katulad na uri ay may hindi zero na mga entry kung saan ang lahat ay 1, ang mga naturang sagot ay tinatawag na magkapareho (para sa mga kadahilanang magiging malinaw kapag natutunan at naunawaan kung paano i-multiply ang mga halaga na pinag-uusapan). Mayroong maraming mga katulad na tagapagpahiwatig ng pananaliksik. Ang 3 × 3 na pagkakakilanlan ay tinutukoy ng I3. Katulad nito, ang 4 × 4 na pagkakakilanlan ay I4.
Matrix Algebra at Linear Spaces
Tandaan na ang mga triangular na matrice ay parisukat. Ngunit ang mga diagonal ay tatsulok. Sa pagtingin dito, sila ayparisukat. At ang mga pagkakakilanlan ay itinuturing na mga dayagonal at, samakatuwid, tatsulok at parisukat. Kapag kinakailangan na ilarawan ang isang matrix, karaniwang tinutukoy lamang ng isa ang sariling pinaka tiyak na pag-uuri, dahil ipinahihiwatig nito ang lahat ng iba pa. Uriin ang mga sumusunod na opsyon sa pananaliksik:bilang 3 × 4. Sa kasong ito, hindi sila parisukat. Samakatuwid, ang mga halaga ay hindi maaaring maging anupaman. Ang sumusunod na klasipikasyon:ay posible bilang 3 × 3. Ngunit ito ay itinuturing na isang parisukat, at walang espesyal tungkol dito. Pag-uuri ng sumusunod na data:bilang 3 × 3 upper triangular, ngunit hindi ito diagonal. Totoo, sa mga halagang isinasaalang-alang ay maaaring mayroong karagdagang mga zero sa o sa itaas ng matatagpuan at ipinahiwatig na espasyo. Ang pag-uuri sa ilalim ng pag-aaral ay higit pa: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], kung saan ito ay kinakatawan bilang isang dayagonal at, higit pa rito, ang lahat ng mga entry ay 1. Pagkatapos ito ay isang 3 × 3 na pagkakakilanlan, I3.
Dahil ang mga analogous matrice ay ayon sa definition square, kailangan mo lang gumamit ng isang index upang mahanap ang mga sukat ng mga ito. Para maging pantay ang dalawang matrice, dapat silang magkaroon ng parehong parameter at magkaroon ng parehong mga entry sa parehong mga lugar. Halimbawa, ipagpalagay na mayroong dalawang elementong isinasaalang-alang: A=[1 3 0] [-2 0 0] at B=[1 3] [-2 0]. Ang mga halagang ito ay hindi maaaring maging kapareho ng magkaiba ang mga ito sa laki.
Kahit na ang A at B ay: A=[3 6] [2 5] [1 4] at B=[1 2 3] [4 5 6] - hindi pa rin sila pareho parehas na bagay. A at B bawat isa ay mayroonanim na mga entry at mayroon ding parehong mga numero, ngunit ito ay hindi sapat para sa mga matrice. Ang A ay 3×2. At ang B ay isang 2×3 matrix. Ang A para sa 3×2 ay hindi 2×3. Hindi mahalaga kung ang A at B ay may parehong dami ng data o kahit na parehong mga numero sa mga talaan. Kung ang A at B ay hindi magkaparehong laki at hugis, ngunit may magkaparehong halaga sa magkatulad na mga lugar, hindi sila pantay.
Mga katulad na operasyon sa lugar na isinasaalang-alang
Ang property na ito ng matrix equality ay maaaring gawing mga gawain para sa independiyenteng pananaliksik. Halimbawa, ang dalawang matrice ay ibinigay, at ito ay ipinahiwatig na sila ay pantay. Sa kasong ito, kakailanganin mong gamitin ang pagkakapantay-pantay na ito upang galugarin at makakuha ng mga sagot para sa mga halaga ng mga variable.
Ang mga halimbawa at solusyon ng mga matrice sa algebra ay maaaring iba-iba, lalo na pagdating sa pagkakapantay-pantay. Dahil ang mga sumusunod na matrice ay isinasaalang-alang, ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga halaga ng x at y. Para maging pantay ang A at B, dapat magkapareho ang laki at hugis. Sa katunayan, sila ay ganoon, dahil ang bawat isa sa kanila ay 2 × 2 matrice. At dapat silang magkaroon ng parehong mga halaga sa parehong mga lugar. Pagkatapos ang a1, 1 ay dapat na katumbas ng b1, 1, a1, 2 ay dapat na katumbas ng b1, 2, at iba pa. sila). Ngunit, ang a1, 1=1 ay malinaw na hindi katumbas ng b1, 1=x. Para ang A ay magkapareho sa B, ang entry ay dapat na may a1, 1=b1, 1, kaya ito ay may kakayahang maging 1=x. Katulad nito, ang mga indeks a2, 2=b2, 2, kaya 4=y. Kung gayon ang solusyon ay: x=1, y=4. Given na ang mga sumusunodAng mga matrice ay pantay, kailangan mong hanapin ang mga halaga ng x, y at z. Upang magkaroon ng A=B, ang mga coefficient ay dapat na ang lahat ng mga entry ay pantay. Ibig sabihin, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 at iba pa. Sa partikular, dapat:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Tulad ng nakikita mo mula sa mga napiling matrice: may 1, 1-, 2, 2- at 3, 1-element. Sa paglutas ng tatlong equation na ito, makukuha natin ang sagot: x=4, y=-6 at z=9. Ang matrix algebra at matrix operations ay iba sa nakasanayan na ng lahat, ngunit hindi sila maaaring kopyahin.
Karagdagang impormasyon sa lugar na ito
Ang
Linear matrix algebra ay ang pag-aaral ng magkakatulad na hanay ng mga equation at ang kanilang mga katangian ng pagbabago. Ang larangan ng kaalaman na ito ay nagbibigay-daan sa iyo na pag-aralan ang mga pag-ikot sa kalawakan, tinatayang hindi bababa sa mga parisukat, lutasin ang nauugnay na mga equation ng kaugalian, tukuyin ang isang bilog na dumadaan sa tatlong ibinigay na mga punto, at lutasin ang maraming iba pang mga problema sa matematika, pisika at teknolohiya. Ang linear algebra ng isang matrix ay hindi talaga ang teknikal na kahulugan ng salitang ginamit, iyon ay, isang vector space v sa ibabaw ng isang field f, atbp.
Ang
Matrix at determinant ay lubhang kapaki-pakinabang na mga tool sa linear algebra. Ang isa sa mga pangunahing gawain ay ang solusyon ng matrix equation Ax=b, para sa x. Bagama't maaari itong malutas ayon sa teorya gamit ang inverse x=A-1 b. Ang iba pang mga paraan, gaya ng pag-aalis ng Gaussian, ay mas maaasahan sa bilang.
Bilang karagdagan sa paggamit upang ilarawan ang pag-aaral ng mga linear na hanay ng mga equation, ang tinukoy naang termino sa itaas ay ginagamit din upang ilarawan ang isang tiyak na uri ng algebra. Sa partikular, ang L sa ibabaw ng isang field F ay may istraktura ng isang singsing na may lahat ng karaniwang axiom para sa panloob na pagdaragdag at pagpaparami, kasama ang mga distributive na batas. Samakatuwid, binibigyan ito ng higit na istraktura kaysa sa isang singsing. Tinatanggap din ng linear matrix algebra ang isang panlabas na operasyon ng multiplication sa pamamagitan ng mga scalar na mga elemento ng pinagbabatayan na field F. Halimbawa, ang set ng lahat ng itinuturing na pagbabago mula sa isang vector space V patungo sa sarili nito sa ibabaw ng isang field F ay nabuo sa ibabaw ng F. Ang isa pang halimbawa ng linear Ang algebra ay ang set ng lahat ng tunay na square matrice sa ibabaw ng isang field R real number.
