Ang isang mahalagang geometric na bagay na pinag-aaralan sa patag na espasyo ay isang tuwid na linya. Sa tatlong-dimensional na espasyo, bilang karagdagan sa tuwid na linya, mayroon ding isang eroplano. Ang parehong mga bagay ay maginhawang tinukoy gamit ang mga vector ng direksyon. Ano ito, paano ginagamit ang mga vector na ito upang matukoy ang mga equation ng isang tuwid na linya at isang eroplano? Ang mga ito at iba pang mga tanong ay tinalakay sa artikulo.
Direktang linya at kung paano ito tukuyin
Ang bawat mag-aaral ay may magandang ideya kung anong geometric na bagay ang kanilang pinag-uusapan. Mula sa punto ng view ng matematika, ang isang tuwid na linya ay isang hanay ng mga puntos, na, sa kaso ng kanilang di-makatwirang pares na koneksyon, ay humantong sa isang hanay ng mga parallel na vectors. Ang kahulugang ito ng isang linya ay ginagamit upang magsulat ng equation para dito sa dalawa at tatlong dimensyon.
Upang ilarawan ang itinuturing na one-dimensional na bagay, iba't ibang uri ng mga equation ang ginagamit, na nakalista sa listahan sa ibaba:
- pangkalahatang view;
- parametric;
- vector;
- canonical o simetriko;
- sa mga segment.
Ang bawat isa sa mga species na ito ay may ilang mga pakinabang sa iba. Halimbawa, ang isang equation sa mga segment ay maginhawang gamitin kapag pinag-aaralan ang pag-uugali ng isang tuwid na linya na may kaugnayan sa mga coordinate axes, ang isang pangkalahatang equation ay maginhawa kapag naghahanap ng isang direksyon na patayo sa isang naibigay na tuwid na linya, pati na rin kapag kinakalkula ang anggulo nito. intersection sa x-axis (para sa flat case).
Dahil ang paksa ng artikulong ito ay nauugnay sa nagdidirekta na vector ng isang tuwid na linya, higit pa nating isasaalang-alang ang equation kung saan ang vector na ito ay pangunahing at tahasang nilalaman, iyon ay, isang vector expression.
Pagtukoy ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang vector
Ipagpalagay na mayroon tayong ilang vector v¯ na may mga kilalang coordinate (a; b; c). Dahil mayroong tatlong mga coordinate, ang vector ay ibinibigay sa espasyo. Paano ito ilarawan sa isang rectangular coordinate system? Ginagawa ito nang napakasimple: sa bawat isa sa tatlong axes, ang isang segment ay naka-plot, ang haba nito ay katumbas ng kaukulang coordinate ng vector. Ang intersection point ng tatlong perpendicular na naibalik sa xy, yz at xz na mga eroplano ay magiging dulo ng vector. Ang simula nito ay ang punto (0; 0; 0).
Gayunpaman, ang ibinigay na posisyon ng vector ay hindi lamang isa. Katulad nito, ang isa ay maaaring gumuhit ng v¯ sa pamamagitan ng paglalagay ng pinanggalingan nito sa isang arbitrary na punto sa kalawakan. Sinasabi ng mga argumentong ito na imposibleng magtakda ng isang partikular na linya gamit ang isang vector. Tinutukoy nito ang isang pamilya ng walang katapusang bilang ng mga parallel na linya.
Ngayonayusin ang ilang punto P(x0; y0; z0) ng espasyo. At itinakda namin ang kundisyon: ang isang tuwid na linya ay dapat dumaan sa P. Sa kasong ito, ang vector v¯ ay dapat ding maglaman ng puntong ito. Ang huling katotohanan ay nangangahulugan na ang isang solong linya ay maaaring tukuyin gamit ang P at v¯. Isusulat ito bilang sumusunod na equation:
Q=P + λ × v¯
Narito ang Q ay anumang puntong kabilang sa linya. Ang puntong ito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagpili ng naaangkop na parameter λ. Ang nakasulat na equation ay tinatawag na vector equation, at ang v¯ ay tinatawag na direction vector ng tuwid na linya. Sa pamamagitan ng pag-aayos nito upang ito ay dumaan sa P at pagpapalit ng haba nito sa parameter na λ, nakukuha natin ang bawat punto ng Q bilang isang tuwid na linya.
Sa coordinate form, ang equation ay isusulat tulad ng sumusunod:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
At sa tahasang (parametric) na anyo, maaari mong isulat ang:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Kung ibubukod natin ang ikatlong coordinate sa mga expression sa itaas, makukuha natin ang mga vector equation ng tuwid na linya sa eroplano.
Para sa anong mga gawain kapaki-pakinabang na malaman ang vector ng direksyon ?
Bilang panuntunan, ito ay mga gawain upang matukoy ang parallelism at perpendicularity ng mga linya. Gayundin, ang direktang vector na tumutukoy sa direksyon ay ginagamit kapag kinakalkula ang distansya sa pagitan ng mga tuwid na linya at isang punto at isang tuwid na linya, upang ilarawan ang gawi ng isang tuwid na linya na nauugnay sa isang eroplano.
Dalawaang mga linya ay magiging parallel kung ang kanilang mga vector ng direksyon ay. Alinsunod dito, ang perpendicularity ng mga linya ay pinatunayan gamit ang perpendicularity ng kanilang mga vectors. Sa mga ganitong uri ng problema, sapat na upang kalkulahin ang scalar product ng mga itinuturing na vector para makuha ang sagot.
Sa kaso ng mga gawain para sa pagkalkula ng mga distansya sa pagitan ng mga linya at punto, ang vector ng direksyon ay tahasang kasama sa kaukulang formula. Isulat natin ito:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Dito P1P2¯ - binuo sa mga puntos na P1 at P 2 nakadirekta na segment. Ang puntong P2 ay arbitrary, na nakalagay sa linya na may vector v¯, habang ang puntong P1 ay ang punto kung saan dapat ang distansya maging determinado. Maaari itong maging independent o kabilang sa ibang linya o eroplano.
Tandaan na makatuwirang kalkulahin ang distansya sa pagitan ng mga linya lamang kapag sila ay parallel o intersecting. Kung magsalubong ang mga ito, ang d ay zero.
Ang formula sa itaas para sa d ay wasto din para sa pagkalkula ng distansya sa pagitan ng isang eroplano at isang tuwid na linya na kahanay nito, tanging sa kasong ito ang P1ay dapat na kabilang sa eroplano.
Lutasin natin ang ilang problema para mas maipakita kung paano gamitin ang itinuturing na vector.
Vector Equation Problem
Alam na ang isang tuwid na linya ay inilalarawan ng sumusunod na equation:
y=3 × x - 4
Dapat mong isulat ang naaangkop na expression savector form.
Ito ay isang tipikal na equation ng isang tuwid na linya, na kilala ng bawat mag-aaral, na nakasulat sa pangkalahatang anyo. Ipakita natin kung paano ito muling isulat sa vector form.
Ang expression ay maaaring katawanin bilang:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Makikita na kung bubuksan mo ito, makukuha mo ang orihinal na pagkakapantay-pantay. Ngayon, hinahati namin ang kanang bahagi nito sa dalawang vector upang isa lamang sa mga ito ang naglalaman ng x, mayroon kaming:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Nananatili itong alisin ang x sa mga bracket, italaga ito ng isang simbolo ng Greek at palitan ang mga vector sa kanang bahagi:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Nakuha namin ang vector form ng orihinal na expression. Ang mga coordinate ng vector ng direksyon ng tuwid na linya ay (1; 3).
Ang gawain ng pagtukoy ng kaugnay na posisyon ng mga linya
Dalawang linya ang ibinigay sa espasyo:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Magkapareho ba sila, tumatawid o nagsa-intersect?
Ang Non-zero vectors (-1; 3; 1) at (1; 2; 0) ay magiging mga gabay para sa mga linyang ito. Ipahayag natin ang mga equation na ito sa parametric form at palitan ang mga coordinate ng una sa pangalawa. Nakukuha namin ang:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Palitan ang natagpuang parameter λ sa dalawang equation sa itaas, makukuha natin ang:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ - 1=5
Ang Parameter γ ay hindi maaaring kumuha ng dalawang magkaibang value nang sabay. Nangangahulugan ito na ang mga linya ay walang isang solong karaniwang punto, iyon ay, sila ay intersecting. Hindi magkatulad ang mga ito, dahil ang mga di-zero na vector ay hindi parallel sa isa't isa (para sa kanilang parallelism, dapat mayroong isang numero na, sa pamamagitan ng pag-multiply sa isang vector, ay hahantong sa mga coordinate ng pangalawa).
Matematical na paglalarawan ng eroplano
Upang magtakda ng eroplano sa kalawakan, nagbibigay kami ng pangkalahatang equation:
A × x + B × y + C × z + D=0
Dito kinakatawan ng malalaking titik ng Latin ang mga partikular na numero. Ang unang tatlo sa kanila ay tumutukoy sa mga coordinate ng normal na vector ng eroplano. Kung ito ay tinutukoy ng n¯, kung gayon:
n¯=(A; B; C)
Ang vector na ito ay patayo sa eroplano, kaya tinatawag itong gabay. Ang kaalaman nito, pati na rin ang mga kilalang coordinate ng anumang puntong kabilang sa eroplano, ay natatanging tinutukoy ang huli.
Kung ang puntong P(x1; y1; z1) ay kabilang sa ang eroplano, pagkatapos ay ang intercept D ay kinakalkula tulad ng sumusunod:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Lutasin natin ang ilang problema gamit ang pangkalahatang equation para sa eroplano.
Gawain para sapaghahanap ng normal na vector ng eroplano
Ang eroplano ay tinukoy bilang sumusunod:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Paano makahanap ng vector ng direksyon para sa kanya?
Mula sa teorya sa itaas, sumusunod na ang mga coordinate ng normal na vector n¯ ay ang mga coefficient sa harap ng mga variable. Sa bagay na ito, upang mahanap ang n¯, ang equation ay dapat na nakasulat sa pangkalahatang anyo. Mayroon kaming:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Kung gayon ang normal na vector ng eroplano ay:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Ang problema sa pagguhit ng equation ng eroplano
Ang mga coordinate ng tatlong puntos ay ibinigay:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Ano ang magiging hitsura ng equation ng eroplanong naglalaman ng lahat ng puntong ito.
Sa pamamagitan ng tatlong puntos na hindi kabilang sa parehong linya, isang eroplano lamang ang maaaring iguhit. Upang mahanap ang equation nito, kinakalkula muna natin ang vector ng direksyon ng eroplano n¯. Upang gawin ito, nagpapatuloy kami bilang mga sumusunod: nakahanap kami ng mga arbitrary na dalawang vector na kabilang sa eroplano, at kalkulahin ang kanilang produkto ng vector. Magbibigay ito ng isang vector na magiging patayo sa eroplanong ito, iyon ay, n¯. Mayroon kaming:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Kunin ang punto M1upang gumuhitmga expression ng eroplano. Nakukuha namin ang:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Nakakuha kami ng pangkalahatang uri ng expression para sa isang eroplano sa kalawakan sa pamamagitan ng unang pagtukoy ng vector ng direksyon para dito.
Dapat tandaan ang cross product property kapag nilulutas ang mga problema sa mga eroplano, dahil pinapayagan ka nitong matukoy ang mga coordinate ng isang normal na vector sa simpleng paraan.
