Differential calculus function ng isa at ilang variable

2024 May -akda: Angel Austin | [email protected]. Huling binago: 2024-01-02 17:57

Ang calculus ay isang sangay ng calculus na nag-aaral ng derivative, differentials at paggamit ng mga ito sa pag-aaral ng isang function.

Kasaysayan ng Pagpapakita

Differential calculus ay lumitaw bilang isang independiyenteng disiplina sa ikalawang kalahati ng ika-17 siglo, salamat sa gawa nina Newton at Leibniz, na bumalangkas ng mga pangunahing probisyon sa calculus ng differentials at napansin ang koneksyon sa pagitan ng integration at differentiation. Mula sa sandaling iyon, ang disiplina ay nabuo kasama ang calculus ng integrals, kaya bumubuo ng batayan ng mathematical analysis. Ang paglitaw ng mga calculus na ito ay nagbukas ng bagong modernong panahon sa mundo ng matematika at naging sanhi ng paglitaw ng mga bagong disiplina sa agham. Pinalawak din nito ang posibilidad ng paglalapat ng agham ng matematika sa natural na agham at teknolohiya.

Mga pangunahing konsepto

Differential calculus ay batay sa mga pangunahing konsepto ng matematika. Ang mga ito ay: tunay na numero, pagpapatuloy, pag-andar at limitasyon. Sa paglipas ng panahon, nagkaroon sila ng modernong hitsura, salamat sa integral at differential calculus.

Proseso ng paglikha

Ang pagbuo ng differential calculus sa anyo ng isang inilapat, at pagkatapos ay isang siyentipikong pamamaraan ang naganap bago ang paglitaw ng isang pilosopikal na teorya, na nilikha ni Nicholas ng Cusa. Ang kanyang mga gawa ay itinuturing na isang ebolusyonaryong pag-unlad mula sa mga paghatol ng sinaunang agham. Sa kabila ng katotohanan na ang pilosopo mismo ay hindi isang matematiko, ang kanyang kontribusyon sa pag-unlad ng agham matematika ay hindi maikakaila. Si Kuzansky ay isa sa mga unang umiwas sa pagsasaalang-alang sa aritmetika bilang ang pinakatumpak na larangan ng agham, na naglalagay ng pagdududa sa matematika noong panahong iyon.

Ginamit ng mga sinaunang mathematician ang yunit bilang pangkalahatang pamantayan, habang iminungkahi ng pilosopo ang infinity bilang bagong sukat sa halip na ang eksaktong bilang. Sa pagsasaalang-alang na ito, ang representasyon ng katumpakan sa agham ng matematika ay baligtad. Ang kaalamang siyentipiko, ayon sa kanya, ay nahahati sa rasyonal at intelektwal. Ang pangalawa ay mas tumpak, ayon sa siyentipiko, dahil ang una ay nagbibigay lamang ng tinatayang resulta.

Ideya

Ang pangunahing ideya at konsepto sa differential calculus ay nauugnay sa isang function sa maliliit na kapitbahayan ng ilang partikular na punto. Upang gawin ito, kinakailangan upang lumikha ng isang mathematical apparatus para sa pag-aaral ng isang function na ang pag-uugali sa isang maliit na kapitbahayan ng mga naitatag na mga punto ay malapit sa pag-uugali ng isang polynomial o isang linear function. Ito ay batay sa kahulugan ng isang derivative at isang differential.

Ang paglitaw ng konsepto ng isang derivative ay sanhi ng malaking bilang ng mga problema mula sa natural na agham at matematika,na humantong sa paghahanap ng mga halaga ng mga limitasyon ng parehong uri.

Ang isa sa mga pangunahing problema na ibinigay bilang isang halimbawa simula sa high school ay upang matukoy ang bilis ng isang punto na gumagalaw sa isang tuwid na linya at bumuo ng isang tangent na linya patungo sa curve na ito. Ang pagkakaiba ay nauugnay dito, dahil posibleng tantiyahin ang function sa isang maliit na kapitbahayan ng itinuturing na punto ng linear function.

Kung ikukumpara sa konsepto ng derivative ng isang function ng isang tunay na variable, ang kahulugan ng differentials ay pumasa lamang sa isang function ng isang pangkalahatang kalikasan, sa partikular, sa imahe ng isang Euclidean space sa isa pa.

Derivative

Hayaan ang punto na lumipat sa direksyon ng Oy axis, para sa oras na kukunin natin ang x, na binibilang mula sa isang tiyak na simula ng sandali. Ang ganitong paggalaw ay maaaring ilarawan sa pamamagitan ng function na y=f(x), na itinalaga sa bawat oras na x ng coordinate ng puntong ginagalaw. Sa mechanics, ang function na ito ay tinatawag na batas ng paggalaw. Ang pangunahing katangian ng paggalaw, lalo na ang hindi pantay, ay ang agarang bilis. Kapag ang isang punto ay gumagalaw sa kahabaan ng Oy axis ayon sa batas ng mechanics, pagkatapos ay sa isang random na oras ng sandali x, ito ay nakakakuha ng coordinate f (x). Sa oras na x + Δx, kung saan ang Δx ay nagsasaad ng pagtaas ng oras, ang coordinate nito ay magiging f(x + Δx). Ito ay kung paano nabuo ang formula Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), na tinatawag na pagtaas ng function. Kinakatawan nito ang landas na dinaanan ng punto ng oras mula x hanggang x + Δx.

Dahil sa paglitaw nitobilis sa oras, ang derivative ay ipinakilala. Sa isang arbitrary function, ang derivative sa isang nakapirming punto ay tinatawag na limitasyon (ipagpalagay na ito ay umiiral). Maaari itong italaga ng ilang partikular na simbolo:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Ang proseso ng pagkalkula ng derivative ay tinatawag na differentiation.

Differential calculus ng isang function ng ilang variable

Ang calculus method na ito ay ginagamit kapag sinusuri ang isang function na may ilang variable. Sa pagkakaroon ng dalawang variable na x at y, ang partial derivative na may kinalaman sa x sa point A ay tinatawag na derivative ng function na ito na may kinalaman sa x na may fixed y.

Maaaring katawanin ng mga sumusunod na character:

f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x o ∂f(x, y)’/∂x.

Mga Kinakailangang Kasanayan

Kinakailangan ang mga kasanayan sa integration at differentiation upang matagumpay na makapag-aral at malutas ang mga diffuse. Upang mas madaling maunawaan ang mga differential equation, dapat ay mayroon kang isang mahusay na pag-unawa sa paksa ng derivative at ang hindi tiyak na integral. Hindi rin masakit na matutunan kung paano hanapin ang derivative ng isang implicitly na ibinigay na function. Ito ay dahil sa ang katunayan na sa proseso ng pag-aaral ng mga integral at pagkakaiba ay kadalasang kailangang gamitin.

Mga uri ng differential equation

Sa halos lahat ng test paper na nauugnay sa first-order differential equation, mayroong 3 uri ng equation: homogenous, may separable variable, linear inhomogeneous.

May mga mas bihirang uri din ng mga equation: na may kabuuang pagkakaiba, mga equation ni Bernoulli at iba pa.

Mga pangunahing kaalaman sa desisyon

Una, dapat mong tandaan ang mga algebraic equation mula sa kurso sa paaralan. Naglalaman ang mga ito ng mga variable at numero. Upang malutas ang isang ordinaryong equation, kailangan mong makahanap ng isang hanay ng mga numero na nakakatugon sa isang ibinigay na kondisyon. Bilang isang tuntunin, ang mga naturang equation ay may isang ugat, at upang suriin ang kawastuhan, kailangan lang palitan ng isa ang halagang ito para sa hindi alam.

Differential equation ay katulad nito. Sa pangkalahatan, kabilang sa naturang first-order equation ang:

• Independent variable.
• Ang derivative ng unang function.
• Isang function o dependent variable.

Sa ilang mga kaso, ang isa sa mga hindi alam, x o y, ay maaaring nawawala, ngunit ito ay hindi napakahalaga, dahil ang pagkakaroon ng unang derivative, nang walang mas mataas na order derivatives, ay kinakailangan para sa solusyon at ang pagkakaiba calculus upang maging tama.

Para malutas ang isang differential equation ay nangangahulugang hanapin ang set ng lahat ng function na tumutugma sa ibinigay na expression. Ang ganitong hanay ng mga function ay madalas na tinatawag na pangkalahatang solusyon ng DE.

Integral na calculus

Integral na calculus ay isa sa mga seksyon ng mathematical analysis na nag-aaral sa konsepto ng integral, mga katangian at pamamaraan ng pagkalkula nito.

Kadalasan, ang pagkalkula ng integral ay nangyayari kapag kinakalkula ang lugar ng isang curvilinear figure. Ang lugar na ito ay nangangahulugang ang limitasyon kung saan ang lugar ng isang polygon na nakasulat sa isang naibigay na figure ay may posibilidad na may unti-unting pagtaas sa gilid nito, habang ang mga panig na ito ay maaaring gawing mas mababa kaysa sa anumang naunang tinukoy na arbitrarymaliit na halaga.

Ang pangunahing ideya sa pagkalkula ng lugar ng isang di-makatwirang geometric figure ay upang kalkulahin ang lugar ng isang rektanggulo, iyon ay, upang patunayan na ang lugar nito ay katumbas ng produkto ng haba at lapad. Pagdating sa geometry, ang lahat ng mga konstruksyon ay ginawa gamit ang isang ruler at isang compass, at pagkatapos ay ang ratio ng haba sa lapad ay isang makatwirang halaga. Kapag kinakalkula ang lugar ng isang tamang tatsulok, maaari mong matukoy na kung ilalagay mo ang parehong tatsulok sa tabi nito, pagkatapos ay isang rektanggulo ang nabuo. Sa isang paralelogram, ang lugar ay kinakalkula ng isang katulad, ngunit bahagyang mas kumplikadong pamamaraan, sa pamamagitan ng isang parihaba at isang tatsulok. Sa mga polygon, kinakalkula ang lugar sa pamamagitan ng mga tatsulok na kasama dito.

Kapag tinutukoy ang sparing ng isang arbitrary curve, hindi gagana ang paraang ito. Kung hahatiin mo ito sa mga solong parisukat, magkakaroon ng mga hindi napunong lugar. Sa kasong ito, sinusubukan ng isa na gumamit ng dalawang takip, na may mga parihaba sa itaas at ibaba, bilang resulta, kasama sa mga iyon ang graph ng function at hindi. Ang paraan ng paghahati sa mga parihaba na ito ay nananatiling mahalaga dito. Gayundin, kung unti-unti tayong kukuha ng mas maliliit na partisyon, ang bahagi sa itaas at ibaba ay dapat magtagpo sa isang tiyak na halaga.

Dapat itong bumalik sa paraan ng paghahati sa mga parihaba. Mayroong dalawang sikat na paraan.

Riemann na pormal ang kahulugan ng integral na nilikha nina Leibniz at Newton bilang lugar ng isang subgraph. Sa kasong ito, ang mga numero ay isinasaalang-alang, na binubuo ng isang tiyak na bilang ng mga patayong parihaba at nakuha sa pamamagitan ng paghahatisegment. Kapag, habang bumababa ang partition, may limitasyon kung saan nababawasan ang area ng isang katulad na figure, ang limitasyong ito ay tinatawag na integral ng Riemann ng isang function sa isang partikular na interval.

Ang pangalawang paraan ay ang pagbuo ng integral ng Lebesgue, na binubuo sa katotohanan na para sa lugar ng paghahati ng tinukoy na lugar sa mga bahagi ng integrand at pagkatapos ay pag-compile ng integral sum mula sa mga halagang nakuha sa mga bahaging ito, ang hanay ng mga halaga nito ay nahahati sa mga pagitan, at pagkatapos ay ibubuod sa mga kaukulang sukat ng mga preimage ng mga integral na ito.

Mga modernong benepisyo

Ang isa sa mga pangunahing manwal para sa pag-aaral ng differential at integral calculus ay isinulat ni Fikhtengolts - "Course of differential and integral calculus". Ang kanyang aklat-aralin ay isang pangunahing gabay sa pag-aaral ng mathematical analysis, na dumaan sa maraming edisyon at pagsasalin sa ibang mga wika. Nilikha para sa mga mag-aaral sa unibersidad at matagal nang ginagamit sa maraming institusyong pang-edukasyon bilang isa sa mga pangunahing tulong sa pag-aaral. Nagbibigay ng teoretikal na data at praktikal na kasanayan. Unang inilathala noong 1948.

Function research algorithm

Upang imbestigahan ang isang function gamit ang mga pamamaraan ng differential calculus, dapat mong sundin ang ibinigay na algorithm:

1. Hanapin ang saklaw ng isang function.
2. Hanapin ang mga ugat ng ibinigay na equation.
3. Kalkulahin ang mga sukdulan. Upang gawin ito, kalkulahin ang derivative at ang mga punto kung saan ito ay katumbas ng zero.
4. I-substitute ang resultang value sa equation.

Mga uri ng differential equation

first-order control (kung hindi man, differentialsingle variable calculus) at ang kanilang mga uri:

• Separable equation: f(y)dy=g(x)dx.
• Ang pinakasimpleng equation, o differential calculus ng isang function ng isang variable, na mayroong formula: y'=f(x).
• Linear inhomogeneous first-order DE: y'+P(x)y=Q(x).
• Bernoulli differential equation: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• Equation na may kabuuang pagkakaiba: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Second order differential equation at ang mga uri ng mga ito:

• Linear second order homogeneous differential equation na may pare-parehong coefficient value: y +py'+qy=0 p, q ay nabibilang sa R.
• Linear inhomogeneous second-order differential equation na may pare-parehong coefficient: y +py'+qy=f(x).
• Linear homogeneous differential equation: y +p(x)y'+q(x)y=0, at inhomogeneous second order equation: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

Higher order differential equation at ang mga uri ng mga ito:

• Differential equation na maaaring bawasan sa pagkakasunud-sunod: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• Linear higher order homogeneous equation: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0, at hindi magkakatulad: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

Mga hakbang sa paglutas ng problema gamit ang differential equation

Sa tulong ng remote control, hindi lamang mga tanong sa matematika o pisikal ang nareresolba, kundi pati na rin ang iba't ibang problema mula sabiology, ekonomiya, sosyolohiya, atbp. Sa kabila ng malawak na pagkakaiba-iba ng mga paksa, ang isa ay dapat sumunod sa isang solong lohikal na pagkakasunud-sunod kapag nilulutas ang mga naturang problema:

1. Kompilasyon ng remote control. Isa sa pinakamahirap na hakbang na nangangailangan ng pinakamataas na katumpakan, dahil ang anumang pagkakamali ay hahantong sa ganap na maling mga resulta. Ang lahat ng mga kadahilanan na nakakaimpluwensya sa proseso ay dapat isaalang-alang at ang mga paunang kondisyon ay dapat matukoy. Dapat din itong nakabatay sa mga katotohanan at lohikal na konklusyon.
2. Solusyon ng nabuong equation. Ang prosesong ito ay mas simple kaysa sa unang hakbang, dahil nangangailangan lamang ito ng mahigpit na mga kalkulasyon sa matematika.
3. Pagsusuri at pagsusuri ng mga resulta. Dapat suriin ang hinangong solusyon upang maitatag ang praktikal at teoretikal na halaga ng resulta.

Isang halimbawa ng paggamit ng mga differential equation sa medisina

Ang paggamit ng remote control sa larangan ng medisina ay nangyayari kapag gumagawa ng epidemiological mathematical model. Kasabay nito, hindi dapat kalimutan na ang mga equation na ito ay matatagpuan din sa biology at chemistry, na malapit sa medisina, dahil ang pag-aaral ng iba't ibang biological na populasyon at mga proseso ng kemikal sa katawan ng tao ay may mahalagang papel dito.

Sa halimbawa sa itaas ng isang epidemya, maaari nating isaalang-alang ang pagkalat ng impeksyon sa isang nakahiwalay na lipunan. Ang mga naninirahan ay nahahati sa tatlong uri:

• Infected, number x(t), na binubuo ng mga indibidwal, carrier ng impeksyon, bawat isa ay nakakahawa (maikli ang incubation period).
• Kabilang ang pangalawang urimga indibidwal na madaling kapitan y(t) na may kakayahang mahawa sa pamamagitan ng pakikipag-ugnayan sa mga nahawaang indibidwal.
• Kabilang sa ikatlong species ang immune na mga indibidwal z(t) na immune o namatay dahil sa sakit.

Ang bilang ng mga indibidwal ay pare-pareho, hindi isinasaalang-alang ang mga kapanganakan, natural na pagkamatay at paglipat. Magkakaroon ng dalawang hypotheses sa core.

Ang porsyento ng insidente sa isang tiyak na punto ng oras ay x(t)y(t) (batay sa teorya na ang bilang ng mga kaso ay proporsyonal sa bilang ng mga intersection sa pagitan ng mga maysakit at madaling kapitan ng mga kinatawan, na sa una Ang pagtatantya ay magiging proporsyonal sa x(t)y(t)), kaugnay nito, ang bilang ng mga kaso ay tumataas, at ang bilang ng mga madaling kapitan ay bumababa sa isang rate na kinakalkula ng formula ax(t)y(t) (a > 0).

Ang bilang ng mga immune na indibidwal na naging immune o namatay ay tumataas sa bilis na proporsyonal sa bilang ng mga kaso, bx(t) (b > 0).

Bilang resulta, maaari kang gumawa ng sistema ng mga equation na isinasaalang-alang ang lahat ng tatlong indicator at gumawa ng mga konklusyon batay dito.

Halimbawa ng ekonomiya

Differential calculus ay kadalasang ginagamit sa economic analysis. Ang pangunahing gawain sa pagsusuri sa ekonomiya ay ang pag-aaral ng mga dami mula sa ekonomiya, na nakasulat sa anyo ng isang function. Ginagamit ito kapag nilulutas ang mga problema tulad ng mga pagbabago sa kita kaagad pagkatapos ng pagtaas ng mga buwis, pagpapakilala ng mga tungkulin, mga pagbabago sa kita ng kumpanya kapag nagbago ang halaga ng produksyon, sa anong proporsyon ang maaaring mapalitan ng mga bagong kagamitan ang mga retiradong manggagawa. Upang malutas ang mga naturang isyu, ito ay kinakailanganbumuo ng function ng koneksyon mula sa mga variable ng input, na pagkatapos ay pag-aaralan gamit ang differential calculus.

Sa larangan ng ekonomiya, kadalasang kinakailangan upang mahanap ang pinakamainam na mga tagapagpahiwatig: maximum na produktibidad sa paggawa, pinakamataas na kita, pinakamababang gastos, at iba pa. Ang bawat naturang indicator ay isang function ng isa o higit pang mga argumento. Halimbawa, ang produksyon ay maaaring tingnan bilang isang function ng paggawa at capital input. Kaugnay nito, ang paghahanap ng angkop na halaga ay maaaring bawasan sa paghahanap ng maximum o minimum ng isang function mula sa isa o higit pang mga variable.

Ang ganitong uri ng mga problema ay lumilikha ng isang klase ng matinding problema sa larangan ng ekonomiya, na ang solusyon ay nangangailangan ng differential calculus. Kapag ang isang economic indicator ay kailangang i-minimize o i-maximize bilang isang function ng isa pang indicator, pagkatapos ay sa punto ng maximum, ang ratio ng increment ng function sa mga argumento ay magiging zero kung ang pagtaas ng argument ay may posibilidad na zero. Kung hindi, kapag ang ganoong ratio ay may posibilidad sa ilang positibo o negatibong halaga, ang tinukoy na punto ay hindi angkop, dahil sa pamamagitan ng pagtaas o pagbaba ng argumento, maaari mong baguhin ang nakasalalay na halaga sa kinakailangang direksyon. Sa terminolohiya ng differential calculus, nangangahulugan ito na ang kinakailangang kundisyon para sa maximum ng isang function ay ang zero value ng derivative nito.

Sa economics, madalas may mga problema sa paghahanap ng extremum ng isang function na may ilang variable, dahil ang economic indicators ay binubuo ng maraming salik. Maganda ang mga tanong na ganito.pinag-aralan sa teorya ng mga pag-andar ng ilang mga variable, na nag-aaplay ng mga pamamaraan ng pagkalkula ng kaugalian. Ang ganitong mga problema ay kinabibilangan ng hindi lamang pinalaki at pinaliit na mga pag-andar, kundi pati na rin ang mga hadlang. Ang mga naturang tanong ay nauugnay sa mathematical programming, at ang mga ito ay nireresolba sa tulong ng mga espesyal na binuong pamamaraan, batay din sa sangay ng agham na ito.

Kabilang sa mga pamamaraan ng differential calculus na ginagamit sa economics, isang mahalagang seksyon ang marginal analysis. Sa larangan ng ekonomiya, ang terminong ito ay tumutukoy sa isang hanay ng mga pamamaraan para sa pag-aaral ng mga variable na tagapagpahiwatig at mga resulta kapag binabago ang dami ng paglikha, pagkonsumo, batay sa pagsusuri ng kanilang mga marginal na tagapagpahiwatig. Ang tagapagpahiwatig ng paglilimita ay ang derivative o partial derivatives na may ilang mga variable.

Differential calculus ng ilang variable ay isang mahalagang paksa sa larangan ng mathematical analysis. Para sa isang detalyadong pag-aaral, maaari mong gamitin ang iba't ibang mga aklat-aralin para sa mas mataas na edukasyon. Ang isa sa pinakasikat ay nilikha ng Fikhtengolts - "Course of differential and integral calculus". Gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan, ang mga kasanayan sa pagtatrabaho sa mga integral ay may malaking kahalagahan para sa paglutas ng mga differential equation. Kapag naganap ang differential calculus ng isang function ng isang variable, nagiging mas simple ang solusyon. Bagaman, dapat itong tandaan, ito ay napapailalim sa parehong mga pangunahing patakaran. Upang pag-aralan ang isang function sa pagsasanay sa pamamagitan ng differential calculus, sapat na upang sundin ang umiiral na algorithm, na ibinigay sa mataas na paaralan at bahagyang kumplikado lamang kapag ang mga bago ay ipinakilala.mga variable.