Hexagonal prism at ang mga pangunahing katangian nito

2024 May -akda: Angel Austin | [email protected]. Huling binago: 2024-01-02 17:57

Ang Spatial geometry ay ang pag-aaral ng prisms. Ang kanilang mahahalagang katangian ay ang dami na nakapaloob sa mga ito, ang ibabaw na lugar at ang bilang ng mga sangkap na bumubuo. Sa artikulo, isasaalang-alang namin ang lahat ng katangiang ito para sa isang hexagonal prism.

Aling prisma ang pinag-uusapan natin?

Ang hexagonal prism ay isang figure na nabuo sa pamamagitan ng dalawang polygons na may anim na gilid at anim na anggulo, at anim na parallelograms na nagkokonekta sa mga may markang hexagons sa isang solong geometric formation.

Ang figure ay nagpapakita ng halimbawa ng prisma na ito.

Ang hexagon na minarkahan ng pula ay tinatawag na base ng figure. Malinaw, ang bilang ng mga base nito ay katumbas ng dalawa, at pareho ang mga ito ay magkapareho. Ang dilaw-berde na mga mukha ng isang prisma ay tinatawag na mga gilid nito. Sa figure, ang mga ito ay kinakatawan ng mga parisukat, ngunit sa pangkalahatan ang mga ito ay parallelograms.

Ang hexagonal prism ay maaaring inclined at tuwid. Sa unang kaso, ang mga anggulo sa pagitan ng base at ng mga gilid ay hindi tuwid, sa pangalawa ay katumbas ng 90o. Gayundin, ang prisma na ito ay maaaring tama at mali. Regular na heksagonalang prisma ay dapat na tuwid at may regular na hexagon sa base. Ang prisma sa itaas sa figure ay nakakatugon sa mga kinakailangang ito, kaya ito ay tinatawag na tama. Dagdag pa sa artikulo, pag-aaralan lang natin ang mga katangian nito, bilang pangkalahatang kaso.

Elements

Para sa anumang prisma ang mga pangunahing elemento nito ay mga gilid, mukha at mga vertex. Ang hexagonal prism ay walang pagbubukod. Ang figure sa itaas ay nagpapahintulot sa iyo na bilangin ang bilang ng mga elementong ito. Kaya, nakakakuha tayo ng 8 mukha o panig (dalawang base at anim na lateral parallelograms), ang bilang ng mga vertices ay 12 (6 vertices para sa bawat base), ang bilang ng mga gilid ng isang hexagonal prism ay 18 (anim na lateral at 12 para sa mga base).

Noong 1750s, itinatag ni Leonhard Euler (isang Swiss mathematician) para sa lahat ng polyhedra, na kinabibilangan ng isang prisma, isang mathematical na relasyon sa pagitan ng mga numero ng mga ipinahiwatig na elemento. Ang relasyong ito ay mukhang:

bilang ng mga gilid=bilang ng mga mukha + bilang ng mga vertice - 2.

Ang mga numero sa itaas ay nakakatugon sa formula na ito.

Prism diagonal

Lahat ng diagonal ng hexagonal prism ay maaaring hatiin sa dalawang uri:

• mga nakahiga sa mga eroplano ng mga mukha nito;
• mga kabilang sa buong volume ng figure.

Ang larawan sa ibaba ay nagpapakita ng lahat ng mga dayagonal na ito.

Makikita na ang D₁ ay ang side diagonal, D₂ at D₃ ay ang mga dayagonal ang buong prisma, D₄ at D_{5 - ang mga dayagonal ng base.}

Ang mga haba ng mga dayagonal ng mga gilid ay pantay sa bawat isa. Madaling kalkulahin ang mga ito gamit ang kilalang Pythagorean theorem. Hayaan ang a ay ang haba ng gilid ng hexagon, b ang haba ng gilid ng gilid. Pagkatapos ang dayagonal ay may haba:

D₁=√(a² + b^2).

Madali ding matukoy ang

Diagonal D₄. Kung maaalala natin na ang isang regular na hexagon ay umaangkop sa isang bilog na may radius a, kung gayon ang D_{4 ay ang diameter ng bilog na ito, ibig sabihin, nakukuha natin ang sumusunod na formula:}

D_4=2a.

Ang

Diagonal D₅mga base ay medyo mahirap hanapin. Upang gawin ito, isaalang-alang ang isang equilateral triangle ABC (tingnan ang Fig.). Para sa kanya AB=BC=a, ang anggulong ABC ay 120^{o. Kung ibababa natin ang taas mula sa anggulong ito (ito rin ang magiging bisector at median), ang kalahati ng AC base ay magiging katumbas ng:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

Ang AC side ay ang dayagonal ng D_{5, kaya makuha natin ang:}

D_5=AC=√3a.

Ngayon ay nananatili ang paghahanap ng mga diagonal D₂at D_{3ng isang regular na hexagonal prism. Upang gawin ito, kailangan mong makita na sila ang mga hypotenuse ng kaukulang right triangles. Gamit ang Pythagorean theorem, makukuha natin ang:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Kaya, ang pinakamalaking dayagonal para sa anumang mga halaga ng a at b ayD_2.

Lugar sa ibabaw

Upang maunawaan kung ano ang nakataya, ang pinakamadaling paraan ay isaalang-alang ang pagbuo ng prisma na ito. Ito ay ipinapakita sa larawan.

Makikita na upang matukoy ang lugar ng lahat ng panig ng figure na isinasaalang-alang, kinakailangan upang kalkulahin ang lugar ng quadrangle at ang lugar ng hexagon nang hiwalay, pagkatapos ay i-multiply ang mga ito sa pamamagitan ng katumbas na mga integer na katumbas ng bilang ng bawat n-gon sa prisma, at idagdag ang mga resulta. Hexagons 2, rectangles 6.

Para sa lugar ng isang parihaba nakukuha natin:

S_1=ab.

Kung gayon ang lateral surface area ay:

S_2=6ab.

Upang matukoy ang lugar ng isang hexagon, ang pinakamadaling paraan ay ang paggamit ng kaukulang formula, na mukhang:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Ang pagpapalit ng numero n katumbas ng 6 sa expression na ito, makuha natin ang area ng isang hexagon:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Ang expression na ito ay dapat na i-multiply sa dalawa upang makuha ang area ng mga base ng prism:

S_os=3√3a^2.

Nananatili itong magdagdag ng S_os at S_{2 upang makuha ang kabuuang surface area ng figure:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

volume ng prism

Pagkatapos ng formula para salugar ng isang hexagonal base, ang pagkalkula ng volume na nilalaman sa prisma na pinag-uusapan ay kasingdali ng paghihimay ng mga peras. Upang gawin ito, kailangan mo lamang i-multiply ang lugar ng bone base (hexagon) sa taas ng figure, ang haba nito ay katumbas ng haba ng gilid ng gilid. Nakukuha namin ang formula:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Tandaan na ang produkto ng base at ang taas ay nagbibigay ng halaga ng volume ng ganap na anumang prisma, kabilang ang pahilig. Gayunpaman, sa huling kaso, ang pagkalkula ng taas ay kumplikado, dahil hindi na ito magiging katumbas ng haba ng gilid ng tadyang. Para sa isang regular na hexagonal prism, ang halaga ng volume nito ay isang function ng dalawang variable: gilid a at b.