2nd order surface: mga halimbawa

2024 May -akda: Angel Austin | [email protected]. Huling binago: 2024-01-02 17:57

Ang mag-aaral ang pinakamadalas na makatagpo ng mga surface ng 2nd order sa unang taon. Sa una, ang mga gawain sa paksang ito ay maaaring mukhang simple, ngunit habang nag-aaral ka ng mas mataas na matematika at lumalalim sa pang-agham na bahagi, sa wakas ay maaari mong ihinto ang pag-orient sa iyong sarili sa kung ano ang nangyayari. Upang maiwasang mangyari ito, ito ay kinakailangan hindi lamang sa kabisaduhin, ngunit upang maunawaan kung paano ito o ang ibabaw na iyon ay nakuha, kung paano ang pagbabago ng mga coefficient ay nakakaapekto dito at ang lokasyon nito na may kaugnayan sa orihinal na sistema ng coordinate, at kung paano makahanap ng isang bagong sistema (isa kung saan ang sentro nito ay tumutugma sa pinagmulang mga coordinate, at ang symmetry axis ay parallel sa isa sa mga coordinate axes). Magsimula tayo sa simula.

Definition

Ang GMT ay tinatawag na 2nd order surface, ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa pangkalahatang equation ng sumusunod na form:

F(x, y, z)=0.

Malinaw na ang bawat puntong kabilang sa ibabaw ay dapat may tatlong coordinate sa ilang itinalagang batayan. Bagaman sa ilang mga kaso ang locus ng mga punto ay maaaring bumagsak, halimbawa, sa isang eroplano. Nangangahulugan lamang ito na ang isa sa mga coordinate ay pare-pareho at katumbas ng zero sa buong hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga.

Ang buong pininturahan na anyo ng pagkakapantay-pantay na binanggit sa itaas ay ganito ang hitsura:

A₁₁x²+A₂₂y² +A₃₃z²+2A₁₂xy+2A_{23 yz+2A}13_xz+2A14_x+2A24_{y+2A 34}z+A₄₄=0.

A_{nm – ilang constant, x, y, z – mga variable na tumutugma sa affine coordinates ng ilang punto. Sa kasong ito, hindi bababa sa isa sa mga pare-parehong salik ang hindi dapat katumbas ng zero, ibig sabihin, walang anumang punto ang tumutugma sa equation.}

Sa karamihan ng mga halimbawa, maraming mga numerical na salik ang magkapareho pa rin sa zero, at ang equation ay lubos na pinasimple. Sa pagsasagawa, ang pagtukoy kung ang isang punto ay kabilang sa isang ibabaw ay hindi mahirap (ito ay sapat na upang palitan ang mga coordinate nito sa equation at suriin kung ang pagkakakilanlan ay sinusunod). Ang pangunahing punto sa naturang gawain ay ang dalhin ang huli sa isang kanonikal na anyo.

Ang equation na nakasulat sa itaas ay tumutukoy sa anumang (lahat ng nakalista sa ibaba) na mga surface ng ika-2 order. Isasaalang-alang namin ang mga halimbawa sa ibaba.

Mga uri ng surface ng 2nd order

Ang mga equation ng surface ng 2nd order ay nag-iiba lang sa mga value ng coefficients A_{nm. Mula sa pangkalahatang pananaw, para sa ilang partikular na halaga ng mga constant, maaaring makuha ang iba't ibang mga ibabaw, na inuri bilang sumusunod:}

1. Cylinders.
2. Elliptical type.
3. Hyperbolic type.
4. Uri ng korteng kono.
5. Parabolic type.
6. Eroplano.

Ang bawat isa sa mga nakalistang uri ay may natural at haka-haka na anyo: sa haka-haka na anyo, ang locus ng mga tunay na punto ay bumababa sa isang mas simpleng figure, o wala nang buo.

Cylinders

Ito ang pinakasimpleng uri, dahil ang isang medyo kumplikadong kurba ay nasa base lamang, na nagsisilbing gabay. Ang mga generator ay mga tuwid na linya na patayo sa eroplano kung saan matatagpuan ang base.

Ang graph ay nagpapakita ng isang circular cylinder, isang espesyal na case ng isang elliptical cylinder. Sa XY plane, ang projection nito ay magiging isang ellipse (sa aming kaso, isang bilog) - isang gabay, at sa XZ - isang parihaba - dahil ang mga generator ay parallel sa Z axis. Upang makuha ito mula sa pangkalahatang equation, kailangan mo upang bigyan ang mga coefficient ng mga sumusunod na halaga:

Sa halip na mga karaniwang simbolo x, y, z, x na may serial number ang ginagamit - hindi mahalaga.

Sa katunayan, 1/a2at ang iba pang mga constant na ipinahiwatig dito ay ang parehong mga coefficient na ipinahiwatig sa pangkalahatang equation, ngunit kaugalian na isulat ang mga ito sa form na ito - ito ay ang canonical na representasyon. Dagdag pa, ang gayong notasyon lang ang gagamitin.

Ganito ang kahulugan ng hyperbolic cylinder. Pareho ang scheme - ang hyperbole ang magiging gabay.

y2=2px

Ang isang parabolic cylinder ay medyo naiiba: ang canonical form nito ay may kasamang coefficient p, na tinatawag na parameter. Sa katunayan, ang coefficient ay katumbas ng q=2p, ngunit nakaugalian na itong hatiin sa dalawang salik na ipinakita.

May isa pang uri ng cylinder: haka-haka. Walang tunay na punto ang nabibilang sa gayong silindro. Inilalarawan ito ng equationelliptical cylinder, ngunit sa halip na unit ay -1.

Elliptical type

Ang isang ellipsoid ay maaaring iunat kasama ang isa sa mga axes (kasama ito ay depende sa mga halaga ng mga constants a, b, c, na ipinahiwatig sa itaas; ito ay malinaw na ang isang mas malaking koepisyent ay tumutugma sa mas malaking axis).

Mayroon ding imaginary ellipsoid - sa kondisyon na ang kabuuan ng mga coordinate na pinarami ng mga coefficient ay -1:

Hyperboloids

Kapag lumitaw ang isang minus sa isa sa mga constant, ang ellipsoid equation ay magiging equation ng isang single-sheet na hyperboloid. Dapat na maunawaan na ang minus na ito ay hindi kailangang matatagpuan bago ang x₃ coordinate! Tinutukoy lamang nito kung alin sa mga axes ang magiging axis ng pag-ikot ng hyperboloid (o kahanay nito, dahil kapag lumitaw ang mga karagdagang termino sa parisukat (halimbawa, (x-2)^{2) ang gitna ng figure ay nagbabago, bilang isang resulta, ang ibabaw ay gumagalaw parallel sa mga coordinate axes). Nalalapat ito sa lahat ng surface ng 2nd order.}

Bukod dito, kailangan mong maunawaan na ang mga equation ay ipinakita sa canonical form at maaari itong baguhin sa pamamagitan ng pag-iiba-iba ng mga constants (na may sign na napanatili!); habang ang kanilang anyo (hyperboloid, cone, at iba pa) ay mananatiling pareho.

Ang equation na ito ay ibinigay na ng isang two-sheet na hyperboloid.

Conical surface

Walang unit sa cone equation - equality to zero.

Tanging isang bounded conical surface ang tinatawag na cone. Ipinapakita ng larawan sa ibaba na, sa katunayan, magkakaroon ng dalawang tinatawag na cone sa chart.

Mahalagang tala: sa lahat ng itinuturing na canonical equation, ang mga constant ay kinukuhang positibo bilang default. Kung hindi, maaaring makaapekto ang sign sa huling chart.

Ang mga coordinate plane ay nagiging mga eroplano ng simetrya ng kono, ang sentro ng simetrya ay matatagpuan sa pinanggalingan.

May mga plus lamang sa imaginary cone equation; nagmamay-ari ito ng isang tunay na punto.

Paraboloids

Ang mga ibabaw ng 2nd order sa kalawakan ay maaaring magkaroon ng iba't ibang hugis kahit na may mga katulad na equation. Halimbawa, mayroong dalawang uri ng paraboloids.

x²/a²+y²/b^2=2z

Ang isang elliptical paraboloid, kapag ang Z axis ay patayo sa drawing, ay ipapakita sa isang ellipse.

x²/a²-y²/b^2=2z

Hyperbolic paraboloid: ang mga seksyon na may mga eroplanong parallel sa ZY ay gagawa ng mga parabola, at ang mga seksyon na may mga eroplanong parallel sa XY ay gagawa ng mga hyperbola.

Mga magkasalubong na eroplano

May mga kaso kapag ang mga surface ng 2nd order ay bumagsak sa isang eroplano. Maaaring isaayos ang mga eroplanong ito sa iba't ibang paraan.

Isaalang-alang muna ang mga intersecting na eroplano:

x²/a²-y²/b²⁼⁰

Ang pagbabagong ito ng canonical equation ay nagreresulta sa dalawang intersecting planes (haka-haka!); lahat ng totoong point ay nasa axis ng coordinate na nawawala sa equation (sa canonical - ang Z axis).

Parallel na eroplano

y²=a²

Kapag iisa lang ang coordinate, ang mga surface ng 2nd order ay bumababa sa isang pares ng parallel na eroplano. Tandaan, ang anumang iba pang variable ay maaaring pumalit sa Y; pagkatapos ay makukuha ang mga eroplanong parallel sa ibang mga palakol.

y²=−a²

Sa kasong ito, nagiging haka-haka ang mga ito.

Nagkataon na eroplano

y2=0

Sa ganitong simpleng equation, ang isang pares ng eroplano ay bumababa sa isa - sila ay nagtutugma.

Huwag kalimutan na sa kaso ng isang three-dimensional na batayan, ang equation sa itaas ay hindi tumutukoy sa tuwid na linya na y=0! Wala ito sa iba pang dalawang variable, ngunit nangangahulugan lamang iyon na ang kanilang halaga ay pare-pareho at katumbas ng zero.

Gusali

Isa sa pinakamahirap na gawain para sa isang mag-aaral ay ang pagtatayo ng mga surface ng ika-2 order. Ito ay mas mahirap na lumipat mula sa isang coordinate system patungo sa isa pa, dahil ang mga anggulo ng curve na may paggalang sa mga axes at ang offset ng sentro. Ulitin natin kung paano patuloy na matukoy ang hinaharap na pagtingin sa pagguhit gamit ang isang analyticalparaan.

Para makabuo ng 2nd order surface, kailangan mo ng:

• dalhin ang equation sa canonical form;
• tukuyin ang uri ng ibabaw na pinag-aaralan;
• build batay sa mga coefficient value.

Nasa ibaba ang lahat ng uri na isinasaalang-alang:

Upang pagsama-samahin, ilarawan natin nang detalyado ang isang halimbawa ng ganitong uri ng gawain.

Mga Halimbawa

Ipagpalagay na mayroong isang equation:

3(x²-2x+1)+6y²+2z^{2+ 60y+144=0}

Dalhin natin ito sa canonical form. Iisa-isa natin ang buong mga parisukat, ibig sabihin, inaayos natin ang mga magagamit na termino sa paraang ito ang pagpapalawak ng parisukat ng kabuuan o pagkakaiba. Halimbawa: kung (a+1)²=a²+2a+1 pagkatapos ay isang²+2a +1=(a+1)^{2. Isasagawa namin ang pangalawang operasyon. Sa kasong ito, hindi kinakailangan na buksan ang mga bracket, dahil ito ay magpapalubha lamang sa mga kalkulasyon, ngunit kinakailangan na alisin ang karaniwang kadahilanan 6 (sa mga bracket na may buong parisukat ng Y):}

3(x-1)²+6(y+5)²+2z²⁼⁶

Ang variable na z ay nangyayari sa kasong ito nang isang beses lamang - maaari mo itong iwanan sa ngayon.

Aming sinusuri ang equation sa yugtong ito: lahat ng hindi alam ay nauunahan ng plus sign; kapag hinati sa anim, isa ang nananatili. Samakatuwid, mayroon kaming equation na tumutukoy sa isang ellipsoid.

Tandaan na ang 144 ay isinama sa 150-6, pagkatapos nito ay inilipat ang -6 sa kanan. Bakit kailangang gawin ito sa ganitong paraan? Malinaw, ang pinakamalaking divisor sa halimbawang ito ay -6, upang matapos itong hatiinang isa ay naiwan sa kanan, kinakailangang "ipagpaliban" ang eksaktong 6 mula sa 144 (ang katotohanan na ang isa ay dapat nasa kanan ay ipinahiwatig ng pagkakaroon ng isang libreng termino - isang pare-parehong hindi pinarami ng hindi kilalang).

Hatiin ang lahat sa anim at kunin ang canonical equation ng ellipsoid:

(x-1)²/2+(y+5)²/1+z^{2 /3=1}

Sa dating ginamit na klasipikasyon ng mga surface ng ika-2 order, isang espesyal na kaso ang isinasaalang-alang kapag ang gitna ng figure ay nasa pinanggalingan ng mga coordinate. Sa halimbawang ito, ito ay offset.

Aming ipinapalagay na ang bawat panaklong na may mga hindi alam ay isang bagong variable. Iyon ay: a=x-1, b=y+5, c=z. Sa bagong mga coordinate, ang sentro ng ellipsoid ay tumutugma sa punto (0, 0, 0), samakatuwid, a=b=c=0, kung saan: x=1, y=-5, z=0. Sa mga unang coordinate, ang gitna ng figure ay nasa punto (1, -5, 0).

Ellipsoid ay makukuha mula sa dalawang ellipse: ang una sa XY plane at ang pangalawa sa XZ plane (o YZ - hindi mahalaga). Ang mga coefficient kung saan hinahati ang mga variable ay naka-squad sa canonical equation. Samakatuwid, sa halimbawa sa itaas, mas tamang hatiin sa ugat ng dalawa, isa at ugat ng tatlo.

Ang minor axis ng unang ellipse, parallel sa Y axis, ay dalawa. Ang pangunahing axis na kahanay sa x-axis ay dalawang ugat ng dalawa. Ang menor de edad na axis ng pangalawang ellipse, parallel sa Y axis, ay nananatiling pareho - ito ay katumbas ng dalawa. At ang major axis, parallel sa Z axis, ay katumbas ng dalawang ugat ng tatlo.

Sa tulong ng data na nakuha mula sa orihinal na equation sa pamamagitan ng pag-convert sa canonical form, maaari tayong gumuhit ng ellipsoid.

Summing up

Nasaklaw sa artikulong itoang paksa ay medyo malawak, ngunit, sa katunayan, tulad ng nakikita mo na ngayon, hindi masyadong kumplikado. Ang pag-unlad nito, sa katunayan, ay nagtatapos sa sandaling kabisaduhin mo ang mga pangalan at equation ng mga ibabaw (at, siyempre, kung ano ang hitsura nila). Sa halimbawa sa itaas, tinalakay namin ang bawat hakbang nang detalyado, ngunit ang pagdadala ng equation sa canonical form ay nangangailangan ng kaunting kaalaman sa mas mataas na matematika at hindi dapat magdulot ng anumang kahirapan para sa mag-aaral.

Ang pagsusuri ng iskedyul sa hinaharap sa kasalukuyang pagkakapantay-pantay ay isa nang mas mahirap na gawain. Ngunit para sa matagumpay na solusyon nito, sapat na upang maunawaan kung paano binuo ang mga katumbas na second-order curve - mga ellipse, parabola, at iba pa.

Mga kaso ng pagkabulok - isang mas simpleng seksyon. Dahil sa kawalan ng ilang variable, hindi lang ang mga kalkulasyon ang pinasimple, gaya ng nabanggit kanina, kundi pati na rin ang mismong construction.

Sa sandaling mapangalanan mo nang may kumpiyansa ang lahat ng uri ng surface, pag-iba-ibahin ang mga constant, gagawing isa o ibang hugis ang graph - ang paksa ay magiging mastered.

Tagumpay sa iyong pag-aaral!