Ang mga geometric na hugis na ito ay pumapalibot sa amin kahit saan. Maaaring natural ang mga convex polygon, gaya ng pulot-pukyutan, o artipisyal (gawa ng tao). Ang mga figure na ito ay ginagamit sa paggawa ng iba't ibang uri ng coatings, sa pagpipinta, arkitektura, dekorasyon, atbp. Ang mga convex polygon ay may katangian na ang lahat ng kanilang mga punto ay nasa parehong gilid ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang pares ng mga katabing vertices ng geometric figure na ito. Mayroon ding iba pang mga kahulugan. Ang polygon ay tinatawag na convex kung ito ay matatagpuan sa isang kalahating eroplano na may kinalaman sa anumang tuwid na linya na naglalaman ng isa sa mga gilid nito.
Convex polygons
Sa kurso ng elementarya geometry, mga simpleng polygon lang ang palaging isinasaalang-alang. Upang maunawaan ang lahat ng mga katangian ng tuladgeometric na mga hugis, ito ay kinakailangan upang maunawaan ang kanilang kalikasan. Upang magsimula, dapat itong maunawaan na ang anumang linya ay tinatawag na sarado, ang mga dulo nito ay nag-tutugma. Bukod dito, ang pigura na nabuo nito ay maaaring magkaroon ng iba't ibang mga pagsasaayos. Ang polygon ay isang simpleng saradong putol na linya, kung saan ang mga kalapit na link ay hindi matatagpuan sa parehong tuwid na linya. Ang mga link at vertices nito ay, ayon sa pagkakabanggit, ang mga gilid at vertex ng geometric figure na ito. Ang isang simpleng polyline ay hindi dapat magkaroon ng sariling intersection.
Ang mga vertices ng isang polygon ay tinatawag na katabi kung kinakatawan nila ang mga dulo ng isa sa mga gilid nito. Ang isang geometric na figure na may ika-n na bilang ng mga vertices, at samakatuwid ay ang ika-1 bilang ng mga gilid, ay tinatawag na n-gon. Ang putol na linya mismo ay tinatawag na hangganan o tabas ng geometric figure na ito. Ang isang polygonal na eroplano o isang patag na polygon ay tinatawag na dulong bahagi ng anumang eroplano na nakatali nito. Ang mga katabing gilid ng geometric na figure na ito ay tinatawag na mga segment ng isang putol na linya na nagmumula sa isang vertex. Hindi sila magkakatabi kung nagmula sila sa magkakaibang vertex ng polygon.
Iba pang kahulugan ng convex polygons
Sa elementarya geometry, may ilan pang katumbas na mga kahulugan na nagsasaad kung aling polygon ang tinatawag na convex. Ang lahat ng mga pahayag na ito ay pare-parehong totoo. Ang polygon ay itinuturing na matambok kung:
• bawat segment na nag-uugnay sa alinmang dalawang punto sa loob nito ay nasa loob nito;
• sa loob nitolahat ng diagonal nito ay kasinungalingan;
• anumang panloob na anggulo ay hindi lalampas sa 180°.
Palaging hinahati ng polygon ang isang eroplano sa 2 bahagi. Ang isa sa kanila ay limitado (maaari itong ilakip sa isang bilog), at ang isa ay walang limitasyon. Ang una ay tinatawag na panloob na rehiyon, at ang pangalawa ay ang panlabas na rehiyon ng geometric figure na ito. Ang polygon na ito ay isang intersection (sa madaling salita, isang karaniwang bahagi) ng ilang kalahating eroplano. Bukod dito, ang bawat segment na nagtatapos sa mga puntong kabilang sa polygon ay ganap na kabilang dito.
Mga uri ng convex polygons
Ang kahulugan ng convex polygon ay hindi nagpapahiwatig na maraming uri ng mga ito. At bawat isa sa kanila ay may ilang mga pamantayan. Kaya, ang mga convex polygon na may panloob na anggulo na 180° ay tinatawag na mahinang matambok. Ang convex geometric figure na may tatlong vertices ay tinatawag na triangle, four - a quadrangle, five - a pentagon, atbp. Ang bawat isa sa convex n-gons ay nakakatugon sa sumusunod na mahahalagang kinakailangan: n ay dapat na katumbas ng o higit sa 3. Ang bawat isa sa ang mga tatsulok ay matambok. Ang isang geometric na figure ng ganitong uri, kung saan ang lahat ng vertices ay matatagpuan sa parehong bilog, ay tinatawag na inscribed sa isang bilog. Ang convex polygon ay tinatawag na circumscribed kung ang lahat ng panig nito malapit sa bilog ay hawakan ito. Ang dalawang polygon ay sinasabing pantay lamang kung maaari silang i-superimpose ng superposition. Ang plane polygon ay tinatawag na polygonal plane.(bahagi ng eroplano), na nililimitahan ng geometric figure na ito.
Regular convex polygons
Ang mga regular na polygon ay mga geometric na hugis na may pantay na mga anggulo at gilid. Sa loob ng mga ito mayroong isang punto 0, na nasa parehong distansya mula sa bawat isa sa mga vertice nito. Ito ay tinatawag na sentro ng geometric figure na ito. Ang mga segment na nagkokonekta sa gitna sa mga vertices ng geometric figure na ito ay tinatawag na apothems, at ang mga nag-uugnay sa point 0 sa mga gilid ay tinatawag na radii.
Ang regular na quadrilateral ay isang parisukat. Ang equilateral triangle ay tinatawag na equilateral triangle. Para sa mga naturang figure, mayroong sumusunod na panuntunan: ang bawat sulok ng convex polygon ay 180°(n-2)/ n, kung saan ang n ay ang bilang ng mga vertex ng convex geometric figure na ito.
Ang lugar ng anumang regular na polygon ay tinutukoy ng formula:
S=ph, kung saan ang p ay kalahati ng kabuuan ng lahat ng panig ng ibinigay na polygon at ang h ay ang haba ng apothem.
Mga katangian ng convex polygons
Ang
Convex polygons ay may ilang partikular na katangian. Kaya, ang isang segment na nag-uugnay sa anumang 2 puntos ng naturang geometric figure ay kinakailangang matatagpuan dito. Patunay:
Ipagpalagay na ang P ay isang binigay na convex polygon. Kumuha kami ng 2 di-makatwirang puntos, halimbawa, A, B, na kabilang sa P. Ayon sa umiiral na kahulugan ng isang matambok na polygon, ang mga puntong ito ay matatagpuan sa parehong gilid ng linya, na naglalaman ng anumang panig ng P. Samakatuwid, ang AB ay mayroon ding katangiang ito at nakapaloob sa P. Ang isang matambok na polygon ay palaging mahahati sa maraming tatsulok sa pamamagitan ng ganap na lahat ng mga dayagonal na iginuhit mula sa isa sa mga vertice nito.
Anggulo ng matambok na geometric na hugis
Ang mga sulok ng convex polygon ay ang mga sulok na nabuo sa gilid nito. Ang mga panloob na sulok ay matatagpuan sa panloob na rehiyon ng isang ibinigay na geometric na pigura. Ang anggulo na nabuo ng mga gilid nito na nagtatagpo sa isang vertex ay tinatawag na anggulo ng isang matambok na polygon. Ang mga anggulo na katabi ng mga panloob na anggulo ng isang ibinigay na geometric na pigura ay tinatawag na panlabas. Ang bawat sulok ng convex polygon na matatagpuan sa loob nito ay:
180° - x, kung saan ang x ay ang halaga ng panlabas na anggulo. Gumagana ang simpleng formula na ito para sa anumang mga geometric na hugis ng ganitong uri.
Sa pangkalahatan, para sa mga panlabas na sulok ay may sumusunod na panuntunan: ang bawat anggulo ng isang matambok na polygon ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng 180° at ang halaga ng panloob na anggulo. Maaari itong magkaroon ng mga halaga mula -180° hanggang 180°. Samakatuwid, kapag ang anggulo sa loob ay 120°, ang anggulo sa labas ay magiging 60°.
Kabuuan ng mga anggulo ng convex polygons
Ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang convex polygon ay itinakda ng formula:
180°(n-2), kung saan ang n ay ang bilang ng mga vertices ng n-gon.
Ang kabuuan ng mga anggulo ng convex polygon ay medyo madaling kalkulahin. Isaalang-alang ang anumang gayong geometric na pigura. Upang matukoy ang kabuuan ng mga anggulo sa loob ng isang convex polygon, ito ay kinakailanganikonekta ang isa sa mga vertice nito sa iba pang mga vertex. Bilang resulta ng pagkilos na ito, ang (n-2) na mga tatsulok ay nakuha. Alam natin na ang kabuuan ng mga anggulo ng anumang tatsulok ay palaging 180°. Dahil ang kanilang numero sa anumang polygon ay (n-2), ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng naturang figure ay 180° x (n-2).
Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang convex polygon, lalo na ang alinmang dalawang panloob at katabing panlabas na mga anggulo, para sa isang partikular na convex geometric figure ay palaging katumbas ng 180°. Batay dito, matutukoy mo ang kabuuan ng lahat ng anggulo nito:
180 x n.
Ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ay 180°(n-2). Batay dito, ang kabuuan ng lahat ng panlabas na sulok ng figure na ito ay itinakda ng formula:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng anumang convex polygon ay palaging magiging 360° (anuman ang bilang ng mga gilid).
Ang panlabas na anggulo ng convex polygon ay karaniwang kinakatawan ng pagkakaiba sa pagitan ng 180° at ang halaga ng panloob na anggulo.
Iba pang katangian ng convex polygon
Bilang karagdagan sa mga pangunahing katangian ng mga geometric na hugis na ito, mayroon silang iba pang lumalabas kapag minamanipula ang mga ito. Kaya, ang alinman sa mga polygon ay maaaring hatiin sa ilang matambok n-gons. Upang gawin ito, kinakailangan upang ipagpatuloy ang bawat panig nito at gupitin ang geometric figure na ito kasama ang mga tuwid na linya na ito. Posible rin na hatiin ang anumang polygon sa ilang matambok na bahagi sa paraang ang mga vertices ng bawat isa sa mga piraso ay tumutugma sa lahat ng vertices nito. Mula sa gayong geometric na pigura, ang mga tatsulok ay maaaring gawin nang simple sa pamamagitan ng pagguhit ng lahatdiagonal mula sa isang vertex. Kaya, ang anumang polygon sa kalaunan ay maaaring hatiin sa isang tiyak na bilang ng mga tatsulok, na lumalabas na lubhang kapaki-pakinabang sa paglutas ng iba't ibang problemang nauugnay sa gayong mga geometric na hugis.
Perimeter ng convex polygon
Ang mga segment ng isang putol na linya, na tinatawag na mga gilid ng isang polygon, ay kadalasang tinutukoy ng mga sumusunod na titik: ab, bc, cd, de, ea. Ito ang mga gilid ng isang geometric na figure na may vertices a, b, c, d, e. Ang kabuuan ng mga haba ng lahat ng panig ng convex polygon na ito ay tinatawag na perimeter nito.
Polygon circumference
Ang
Convex polygons ay maaaring i-inscribe at circumscribed. Ang isang bilog na humipo sa lahat ng panig ng geometric figure na ito ay tinatawag na nakasulat dito. Ang nasabing polygon ay tinatawag na circumscribed. Ang gitna ng isang bilog na nakasulat sa isang polygon ay ang intersection point ng mga bisectors ng lahat ng mga anggulo sa loob ng isang ibinigay na geometric figure. Ang lugar ng naturang polygon ay:
S=pr, kung saan ang r ay ang radius ng inscribed na bilog at ang p ay ang semiperimeter ng ibinigay na polygon.
Ang isang bilog na naglalaman ng mga vertices ng isang polygon ay tinatawag na circumscribed sa paligid nito. Bukod dito, ang convex geometric figure na ito ay tinatawag na inscribed. Ang gitna ng bilog, na nakapaligid sa naturang polygon, ay ang intersection point ng tinatawag na perpendicular bisectors ng lahat ng panig.
Mga diagonal ng matambok na geometric na hugis
Ang mga diagonal ng isang convex polygon ay mga segment naikonekta ang mga di-katabing vertices. Ang bawat isa sa kanila ay nasa loob ng geometric figure na ito. Ang bilang ng mga diagonal ng naturang n-gon ay itinakda ng formula:
N=n (n – 3)/ 2.
Ang bilang ng mga diagonal ng isang convex polygon ay gumaganap ng mahalagang papel sa elementarya na geometry. Ang bilang ng mga tatsulok (K) kung saan posibleng hatiin ang bawat convex polygon ay kinakalkula ng sumusunod na formula:
K=n – 2.
Ang bilang ng mga diagonal ng isang convex polygon ay palaging nakadepende sa bilang ng mga vertices nito.
Pagbubulok ng convex polygon
Sa ilang mga kaso, upang malutas ang mga geometric na problema, kinakailangan na hatiin ang isang matambok na polygon sa ilang mga tatsulok na may mga hindi intersecting na diagonal. Ang problemang ito ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pagkuha ng isang partikular na formula.
Kahulugan ng problema: tawagan natin ang isang wastong partition ng convex n-gon sa ilang mga tatsulok sa pamamagitan ng mga diagonal na nagsa-intersect lamang sa mga vertices ng geometric figure na ito.
Solution: Ipagpalagay na ang Р1, Р2, Р3 …, Pn ay mga vertices ng n-gon na ito. Ang numerong Xn ay ang bilang ng mga partisyon nito. Maingat nating isaalang-alang ang nakuha na dayagonal ng geometric figure na Pi Pn. Sa alinman sa mga regular na partisyon, ang P1 Pn ay kabilang sa isang tiyak na tatsulok na P1 Pi Pn, na mayroong 1<i<n. Pagpapatuloy mula dito at sa pag-aakalang i=2, 3, 4 …, n-1, makakakuha tayo ng (n-2) na mga grupo ng mga partisyon na ito, na kinabibilangan ng lahat ng posibleng partikular na kaso.
Hayaan ang i=2 na maging isang pangkat ng mga regular na partisyon, palaging naglalaman ng dayagonal na Р2 Pn. Ang bilang ng mga partisyon na pumapasok dito ay kapareho ng bilang ng mga partisyon(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Sa madaling salita, katumbas ito ng Xn-1.
Kung i=3, ang ibang grupo ng mga partisyon ay palaging naglalaman ng mga diagonal na Р3 Р1 at Р3 Pn. Sa kasong ito, ang bilang ng mga regular na partisyon na nakapaloob sa pangkat na ito ay mag-tutugma sa bilang ng mga partisyon ng (n-2)-gon P3 P4 … Pn. Sa madaling salita, magiging katumbas ito ng Xn-2.
Hayaan ang i=4, pagkatapos ay kabilang sa mga tatsulok ang isang regular na partisyon ay tiyak na maglalaman ng tatsulok na P1 P4 Pn, kung saan ang quadrangle P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn ay magkakadugtong. Ang bilang ng mga regular na partisyon ng naturang quadrilateral ay X4, at ang bilang ng mga partisyon ng isang (n-3)-gon ay Xn-3. Batay sa nabanggit, maaari nating sabihin na ang kabuuang bilang ng mga tamang partisyon na nakapaloob sa pangkat na ito ay Xn-3 X4. Ang ibang mga pangkat na may i=4, 5, 6, 7… ay maglalaman ng Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … mga regular na partisyon.
Hayaan ang i=n-2, kung gayon ang bilang ng mga tamang hati sa pangkat na ito ay magiging kapareho ng bilang ng mga hati sa pangkat kung saan ang i=2 (sa madaling salita, katumbas ng Xn-1).
Dahil X1=X2=0, X3=1, X4=2…, ang bilang ng lahat ng partition ng convex polygon ay:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Halimbawa:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Bilang ng mga tamang partition na nagsa-intersect sa isang dayagonal sa loob
Kapag tinitingnan ang mga espesyal na kaso, maaaring makarating ang isa saang pagpapalagay na ang bilang ng mga diagonal ng convex n-gons ay katumbas ng produkto ng lahat ng partisyon ng figure na ito sa pamamagitan ng (n-3).
Patunay ng pagpapalagay na ito: isipin na ang P1n=Xn(n-3), kung gayon ang anumang n-gon ay maaaring hatiin sa (n-2)-triangles. Bukod dito, ang isang (n-3)-quadrilateral ay maaaring binubuo ng mga ito. Kasama nito, ang bawat quadrilateral ay magkakaroon ng dayagonal. Dahil ang dalawang diagonal ay maaaring iguhit sa matambok na geometric na figure na ito, nangangahulugan ito na ang mga karagdagang (n-3) na diagonal ay maaaring iguhit sa alinmang (n-3)-quadrilaterals. Batay dito, maaari nating tapusin na sa anumang regular na partition ay posibleng gumuhit ng (n-3)-diagonal na nakakatugon sa mga kundisyon ng problemang ito.
Lugar ng convex polygons
Kadalasan, kapag nilulutas ang iba't ibang problema ng elementarya na geometry, kinakailangan upang matukoy ang lugar ng isang convex polygon. Ipagpalagay na (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n ay ang pagkakasunud-sunod ng mga coordinate ng lahat ng kalapit na vertices ng isang polygon na walang mga intersection sa sarili. Sa kasong ito, kinakalkula ang lugar nito gamit ang sumusunod na formula:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), where (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
