Triangular pyramid at mga formula para sa pagtukoy ng lugar nito

2024 May -akda: Angel Austin | [email protected]. Huling binago: 2023-12-17 05:44

Ang

Pyramid ay isang geometric spatial figure, ang mga katangian nito ay pinag-aaralan sa high school sa kurso ng solid geometry. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang isang triangular na pyramid, ang mga uri nito, pati na rin ang mga formula para sa pagkalkula ng surface area nito.

Aling pyramid ang pinag-uusapan natin?

Ang triangular pyramid ay isang figure na maaaring makuha sa pamamagitan ng pagkonekta sa lahat ng vertices ng isang arbitrary triangle na may isang solong punto na hindi matatagpuan sa plane ng triangle na ito. Ayon sa kahulugang ito, ang pyramid na isinasaalang-alang ay dapat na binubuo ng isang paunang tatsulok, na tinatawag na base ng figure, at tatlong gilid na tatsulok na may isang karaniwang panig sa base at konektado sa isa't isa sa isang punto. Ang huli ay tinatawag na tuktok ng pyramid.

Ang larawan sa itaas ay nagpapakita ng isang arbitrary triangular pyramid.

Ang figure na isinasaalang-alang ay maaaring pahilig o tuwid. Sa huling kaso, ang patayo na bumaba mula sa tuktok ng pyramid hanggang sa base nito ay dapat mag-intersect dito sa geometric center. ang geometric na sentro ng alinmantatsulok ang punto ng intersection ng mga median nito. Ang geometric center ay tumutugma sa gitna ng mass ng figure sa physics.

Kung ang isang regular (equilateral) na tatsulok ay nasa base ng isang tuwid na pyramid, kung gayon ito ay tinatawag na isang regular na tatsulok. Sa isang regular na pyramid, ang lahat ng panig ay pantay sa isa't isa at mga equilateral triangle.

Kung ang taas ng isang regular na pyramid ay tulad na ang mga tatsulok sa gilid nito ay naging equilateral, kung gayon ito ay tinatawag na tetrahedron. Sa isang tetrahedron, lahat ng apat na mukha ay pantay sa isa't isa, kaya ang bawat isa sa kanila ay maaaring ituring na base.

Pyramid elements

Kabilang sa mga elementong ito ang mga mukha o gilid ng figure, mga gilid, vertices, taas at apothems.

Tulad ng ipinapakita, ang lahat ng panig ng isang triangular na pyramid ay mga tatsulok. Ang kanilang numero ay 4 (3 gilid at isa sa base).

Ang mga vertices ay ang mga intersection point ng tatlong triangular na gilid. Hindi mahirap hulaan na para sa pyramid na isinasaalang-alang ay mayroong 4 sa mga ito (3 ay kabilang sa base at 1 sa tuktok ng pyramid).

Ang mga gilid ay maaaring tukuyin bilang mga linyang nagsasalubong sa dalawang tatsulok na gilid, o bilang mga linyang nagdudugtong sa bawat dalawang vertice. Ang bilang ng mga gilid ay tumutugma sa dalawang beses sa bilang ng mga base vertices, iyon ay, para sa isang tatsulok na pyramid ito ay 6 (3 mga gilid ay kabilang sa base at 3 mga gilid ay nabuo sa pamamagitan ng mga gilid na mukha).

Ang taas, gaya ng nabanggit sa itaas, ay ang haba ng patayo na iginuhit mula sa tuktok ng pyramid hanggang sa base nito. Kung gumuhit tayo ng mga taas mula sa vertex na ito sa bawat panig ng triangular na base,pagkatapos ay tatawagin silang apotems (o apothems). Kaya, ang triangular na pyramid ay may isang taas at tatlong apothems. Ang huli ay katumbas ng isa't isa para sa isang regular na pyramid.

Ang base ng pyramid at ang lawak nito

Dahil ang base para sa figure na isinasaalang-alang ay karaniwang isang tatsulok, upang kalkulahin ang lugar nito ay sapat na upang mahanap ang taas nito h_o at ang haba ng gilid ng base a, kung saan ito ibinababa. Ang formula para sa lugar na S_o ng base ay:

S_o=1/2h_oa

Kung ang tatsulok ng base ay equilateral, ang lugar ng base ng triangular pyramid ay kalkulahin gamit ang sumusunod na formula:

S_o=√3/4a²

Ibig sabihin, ang lugar na S_oay natatanging tinutukoy ng haba ng gilid a ng triangular na base.

Gilid at kabuuang lawak ng figure

Bago isaalang-alang ang lugar ng isang triangular na pyramid, kapaki-pakinabang na ipakita ang pag-unlad nito. Nakalarawan siya sa ibaba.

Ang lugar ng sweep na ito na nabuo ng apat na tatsulok ay ang kabuuang lawak ng pyramid. Ang isa sa mga tatsulok ay tumutugma sa base, ang formula para sa isinasaalang-alang na halaga na kung saan ay nakasulat sa itaas. Tatlong lateral triangular na mukha ang magkakasamang bumubuo sa lateral area ng figure. Samakatuwid, upang matukoy ang halagang ito, sapat na upang ilapat ang formula sa itaas para sa isang arbitrary na tatsulok sa bawat isa sa kanila, at pagkatapos ay idagdag ang tatlong resulta.

Kung tama ang pyramid, pagkatapos ay ang pagkalkulapinadali ang lateral surface area, dahil ang lahat ng lateral na mukha ay magkaparehong equilateral triangle. Tukuyin ang h_bang haba ng apothem, pagkatapos ay matutukoy ang lugar ng lateral surface S_b tulad ng sumusunod:

S_b=3/2ah_b

Ang formula na ito ay sumusunod mula sa pangkalahatang expression para sa lugar ng isang tatsulok. Ang numero 3 ay lumitaw sa mga numerator dahil sa katotohanan na ang pyramid ay may tatlong gilid na mukha.

Apotema h_b sa isang regular na pyramid ay maaaring kalkulahin kung alam ang taas ng figure h. Sa paglalapat ng Pythagorean theorem, makukuha natin ang:

h_b=√(h²+ a²/12)

Malinaw, ang kabuuang area S ng surface ng figure ay katumbas ng kabuuan ng gilid at base area nito:

S=S_o+ S_b

Para sa isang regular na pyramid, na pinapalitan ang lahat ng kilalang value, makukuha natin ang formula:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

Ang lugar ng isang triangular pyramid ay nakadepende lamang sa haba ng gilid ng base nito at sa taas.

Halimbawang problema

Alam na ang gilid ng gilid ng isang tatsulok na pyramid ay 7 cm, at ang gilid ng base ay 5 cm. Kailangan mong hanapin ang surface area ng figure kung alam mo na ang pyramid ay regular.

Gumamit ng pangkalahatang pagkakapantay-pantay:

S=S_o+ S_b

Area S_oay katumbas ng:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825cm}2.

Upang matukoy ang lateral surface area, kailangan mong hanapin ang apotema. Hindi mahirap ipakita na sa haba ng gilid ng gilid a_b ito ay tinutukoy ng formula:

h_b=√(a_b²- a^{2 /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6.538 cm.}

Kung gayon ang lugar ng S_b ay:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49.035 cm2.

Ang kabuuang lawak ng pyramid ay:

S=S_o+ S_b=10.825 + 49.035=59.86cm².

Tandaan na noong nilulutas ang problema, hindi namin ginamit ang halaga ng taas ng pyramid sa mga kalkulasyon.