Ang pag-unlad ng sangkatauhan ay higit sa lahat ay dahil sa mga pagtuklas na ginawa ng mga henyo. Isa sa kanila ay si Blaise Pascal. Ang kanyang malikhaing talambuhay ay muling nagpapatunay sa katotohanan ng ekspresyon ni Lion Feuchtwanger na "Isang taong may talento, may talento sa lahat ng bagay." Ang lahat ng siyentipikong tagumpay ng mahusay na siyentipikong ito ay mahirap bilangin. Kabilang sa mga ito ang isa sa mga pinaka-eleganteng imbensyon sa mundo ng matematika - ang tatsulok ni Pascal.
Ilang salita tungkol sa henyo
Blaise Pascal ay maagang namatay ayon sa modernong pamantayan, sa edad na 39. Gayunpaman, sa kanyang maikling buhay nakilala niya ang kanyang sarili bilang isang natitirang pisiko, matematiko, pilosopo at manunulat. Ang nagpapasalamat na mga inapo ay pinangalanan ang yunit ng presyon at ang sikat na programming language na Pascal sa kanyang karangalan. Ito ay ginamit sa halos 60 taon upang turuan kung paano magsulat ng iba't ibang mga code. Halimbawa, sa tulong nito, ang bawat mag-aaral ay maaaring magsulat ng isang programa upang makalkula ang lugar ng isang tatsulok sa Pascal, pati na rin galugarin ang mga katangian ng circuit, tungkol sana tatalakayin sa ibaba.
Ang aktibidad ng siyentipikong ito na may hindi pangkaraniwang pag-iisip ay sumasaklaw sa malawak na iba't ibang larangan ng agham. Sa partikular, si Blaise Pascal ay isa sa mga tagapagtatag ng hydrostatics, mathematical analysis, ilang lugar ng geometry at probability theory. Gayundin, siya:
- lumikha ng mechanical calculator na kilala bilang Pascal wheel;
- nagbigay ng pang-eksperimentong ebidensya na ang hangin ay may pagkalastiko at timbang;
- itinakda na ang isang barometer ay maaaring gamitin upang hulaan ang lagay ng panahon;
- imbento ang kartilya;
- imbento ang omnibus - mga karwahe na hinihila ng kabayo na may mga nakapirming ruta, na kalaunan ay naging unang uri ng regular na pampublikong sasakyan, atbp.
Pascal's Arithmetic Triangle
Tulad ng nabanggit na, ang mahusay na siyentipikong Pranses na ito ay gumawa ng malaking kontribusyon sa mathematical science. Isa sa kanyang ganap na siyentipikong obra maestra ay ang "Treatise on the Arithmetic Triangle", na binubuo ng mga binomial coefficient na nakaayos sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Ang mga katangian ng pamamaraang ito ay kapansin-pansin sa kanilang pagkakaiba-iba, at ito mismo ang nagpapatunay sa kasabihang "Lahat ng mapanlikha ay simple!".
Kaunting kasaysayan
Upang maging patas, dapat sabihin na sa katunayan ang tatsulok ni Pascal ay kilala sa Europa noong simula pa lamang ng ika-16 na siglo. Sa partikular, ang kanyang imahe ay makikita sa pabalat ng isang aklat-aralin sa aritmetika ng sikat na astronomer na si Peter Apian mula sa Unibersidad ng Ingolstadt. Ang isang katulad na tatsulok ay ipinapakita din bilang isang paglalarawan.sa isang libro ng Chinese mathematician na si Yang Hui, na inilathala noong 1303. Ang kahanga-hangang Persian na makata at pilosopo na si Omar Khayyam ay alam din ang mga ari-arian nito sa simula ng ika-12 siglo. Bukod dito, pinaniniwalaan na nakilala niya siya mula sa mga treatise ng mga Arab at Indian na siyentipiko na isinulat kanina.
Paglalarawan
Bago tuklasin ang mga pinakakawili-wiling katangian ng tatsulok ni Pascal, maganda sa pagiging perpekto at simple nito, sulit na malaman kung ano ito.
Sa siyentipikong pagsasalita, ang numerical scheme na ito ay isang walang katapusang triangular table na nabuo mula sa mga binomial coefficient na nakaayos sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Sa tuktok nito at sa mga gilid ay ang mga numero 1. Ang natitirang mga posisyon ay inookupahan ng mga numero na katumbas ng kabuuan ng dalawang numero na matatagpuan sa itaas ng mga ito sa tabi ng bawat isa. Bukod dito, ang lahat ng linya ng tatsulok ni Pascal ay simetriko tungkol sa patayong axis nito.
Mga Pangunahing Tampok
Ang tatsulok ni Pascal ay tumatama sa pagiging perpekto nito. Para sa anumang linyang may bilang na n (n=0, 1, 2…) true:
- una at huling numero ay 1;
- pangalawa at penultimate - n;
- ang pangatlong numero ay katumbas ng triangular na numero (ang bilang ng mga bilog na maaaring isaayos sa isang equilateral triangle, i.e. 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Ang ikaapat na numero ay tetrahedral, ibig sabihin, ito ay isang pyramid na may tatsulok sa base.
Bukod dito, medyo kamakailan lamang, noong 1972, isa pang pag-aari ng tatsulok ni Pascal ang naitatag. Para sa kanyaupang malaman, kailangan mong isulat ang mga elemento ng scheme na ito sa anyo ng isang talahanayan na may isang row shift sa pamamagitan ng 2 posisyon. Pagkatapos ay tandaan ang mga numerong nahahati sa numero ng linya. Lumalabas na ang numero ng column kung saan naka-highlight ang lahat ng numero ay isang prime number.
Ang parehong trick ay maaaring gawin sa ibang paraan. Upang gawin ito, sa tatsulok ni Pascal, ang mga numero ay pinapalitan ng mga natitira sa kanilang dibisyon ng numero ng hilera sa talahanayan. Pagkatapos ay ang mga linya ay nakaayos sa nagreresultang tatsulok upang ang susunod ay magsisimula ng 2 column sa kanan mula sa unang elemento ng nauna. Pagkatapos, ang mga column na may mga numerong prime number ay bubuuin lang ng mga zero, at ang mga may composite na numero ay maglalaman ng kahit isang zero.
Koneksyon sa binomial ni Newton
Tulad ng alam mo, ito ang pangalan ng formula para sa pagpapalawak sa mga tuntunin ng isang non-negative na integer na kapangyarihan ng kabuuan ng dalawang variable, na mukhang:
Ang mga coefficient na nasa mga ito ay katumbas ng C m =n! / (m! (n - m)!), kung saan ang m ay ang ordinal na numero sa hilera n ng tatsulok ni Pascal. Sa madaling salita, kapag nasa kamay ang talahanayang ito, madali mong maitataas ang anumang numero sa isang kapangyarihan, na dati nang nabulok ang mga ito sa dalawang termino.
Kaya, ang tatsulok ni Pascal at ang binomial ni Newton ay malapit na magkaugnay.
Math Wonders
Ang masusing pagsusuri sa tatsulok ni Pascal ay nagpapakita na:
- ang kabuuan ng lahat ng numero sa linya na mayserial number n (nagbibilang mula 0) ay 2;
- kung ang mga linya ay nakahanay sa kaliwa, kung gayon ang mga kabuuan ng mga numero na matatagpuan sa kahabaan ng mga dayagonal ng tatsulok ni Pascal, mula sa ibaba hanggang sa itaas at mula kaliwa hanggang kanan, ay katumbas ng mga numerong Fibonacci;
- ang unang "diagonal" ay binubuo ng mga natural na numero sa pagkakasunud-sunod;
- anumang elemento mula sa tatsulok ni Pascal, na binawasan ng isa, ay katumbas ng kabuuan ng lahat ng mga numerong nasa loob ng parallelogram, na nililimitahan ng kaliwa at kanang mga diagonal na nagsasalubong sa numerong ito;
- sa bawat linya ng diagram, ang kabuuan ng mga numero sa kahit na mga lugar ay katumbas ng kabuuan ng mga elemento sa mga kakaibang lugar.
Sierpinski Triangle
Ang ganitong kawili-wiling mathematical scheme, medyo nangangako sa mga tuntunin ng paglutas ng mga kumplikadong problema, ay nakukuha sa pamamagitan ng pagkulay ng mga even na numero ng Pascal image sa isang kulay, at ang mga kakaibang numero sa isa pa.
Ang Sierpinski triangle ay maaaring itayo sa ibang paraan:
- sa shaded na Pascal scheme, ang gitnang tatsulok ay muling pinipintura sa ibang kulay, na nabuo sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga midpoint ng mga gilid ng orihinal;
- gawin ang parehong sa tatlong hindi pininturahan na matatagpuan sa mga sulok;
- kung ipagpapatuloy ang pamamaraan nang walang katapusan, ang resulta ay dapat na dalawang kulay na pigura.
Ang pinakakawili-wiling pag-aari ng Sierpinski triangle ay ang pagkakatulad nito sa sarili, dahil binubuo ito ng 3 sa mga kopya nito, na nababawasan ng 2 beses. Nagbibigay-daan ito sa amin na maiugnay ang scheme na ito sa mga fractal curve, at ang mga ito, gaya ng ipinapakita ng pinakabagoang pananaliksik ay pinakaangkop para sa matematikal na pagmomodelo ng mga ulap, halaman, delta ng ilog, at ang uniberso mismo.
Maraming kawili-wiling gawain
Saan ginagamit ang tatsulok ni Pascal? Ang mga halimbawa ng mga gawain na maaaring malutas sa tulong nito ay medyo magkakaibang at nabibilang sa iba't ibang larangan ng agham. Tingnan natin ang ilan sa mga mas kawili-wili.
Problema 1. Ang ilang malaking lungsod na napapalibutan ng fortress wall ay may iisang entrance gate lang. Sa unang intersection, nahahati sa dalawa ang pangunahing kalsada. Ganoon din ang nangyayari sa iba. 210 katao ang pumasok sa lungsod. Sa bawat intersection na kanilang nakakasalubong, nahahati sila sa kalahati. Ilang tao ang makikita sa bawat intersection kapag hindi na ito maaaring ibahagi. Ang sagot niya ay line 10 ng Pascal's triangle (ang coefficient formula ay ipinakita sa itaas), kung saan ang mga numerong 210 ay matatagpuan sa magkabilang panig ng vertical axis.
Gawain 2. Mayroong 7 pangalan ng mga kulay. Kailangan mong gumawa ng isang palumpon ng 3 bulaklak. Kinakailangang malaman kung gaano karaming iba't ibang paraan ito magagawa. Ang problemang ito ay mula sa larangan ng combinatorics. Upang malutas ito, muli naming ginagamit ang tatsulok ni Pascal at pumunta sa ika-7 linya sa ikatlong posisyon (pagnunumero sa parehong mga kaso mula sa 0) ang numerong 35.
Ngayon alam mo na kung ano ang naimbento ng mahusay na pilosopo at siyentipikong Pranses na si Blaise Pascal. Ang sikat na tatsulok nito, kapag ginamit nang tama, ay maaaring maging isang tunay na tagapagligtas para sa paglutas ng maraming problema, lalo na mula sa larangan.combinatorics. Bilang karagdagan, maaari itong magamit upang malutas ang maraming misteryong nauugnay sa mga fractals.
