Isa sa pinakamahirap at hindi maintindihan na mga paksa ng matematika sa unibersidad ay ang integration at differential calculus. Kailangan mong malaman at maunawaan ang mga konseptong ito, pati na rin mailapat ang mga ito. Maraming mga teknikal na disiplina sa unibersidad ang nauugnay sa mga pagkakaiba at integral.
Maikling impormasyon tungkol sa mga equation
Ang mga equation na ito ay isa sa pinakamahalagang konsepto ng matematika sa sistema ng edukasyon. Ang differential equation ay isang equation na nag-uugnay sa mga independyenteng variable, ang function na makikita, at ang derivatives ng function na iyon sa mga variable na ipinapalagay na independent. Ang differential calculus para sa paghahanap ng function ng isang variable ay tinatawag na ordinary. Kung ang nais na function ay nakasalalay sa ilang mga variable, kung gayon ang isa ay nagsasalita ng isang partial differential equation.
Sa katunayan, ang paghahanap ng isang tiyak na sagot sa equation ay bumaba sa pagsasama, at ang paraan ng solusyon ay tinutukoy ng uri ng equation.
Mga equation sa unang order
Ang first-order differential equation ay isang equation na maaaring maglarawan ng variable, isang gustong function, at ang unang derivative nito. Ang mga naturang equation ay maaaring ibigay sa tatlong anyo: tahasan, implicit, differential.
Mga konseptong kailangan para malutas
Paunang kundisyon - pagtatakda ng value ng gustong function para sa isang naibigay na value ng variable na independyente.
Solusyon ng isang differential equation - anumang naiba-iba na function, na eksaktong ipinalit sa orihinal na equation, ginagawa itong magkaparehong pantay. Ang nakuhang solusyon, na hindi tahasan, ay ang integral ng equation.
Ang pangkalahatang solusyon ng mga differential equation ay isang function na y=y(x;C), na maaaring matugunan ang mga sumusunod na paghatol:
- Ang isang function ay maaari lamang magkaroon ng isang arbitrary constant С.
- Ang resultang function ay dapat na isang solusyon sa equation para sa anumang arbitrary values ng isang arbitrary constant.
- Sa isang ibinigay na paunang kundisyon, ang isang arbitrary na pare-pareho ay maaaring tukuyin sa isang natatanging paraan upang ang magreresultang partikular na solusyon ay maging pare-pareho sa ibinigay na maagang paunang kundisyon.
Sa pagsasagawa, kadalasang ginagamit ang problemang Cauchy - paghahanap ng solusyon na partikular at maihahambing sa kundisyong itinakda sa simula.
Ang theorem ni Cauchy ay isang theorem na nagbibigay-diin sa pagkakaroon at pagiging natatangi ng isang partikular na solusyon sa differential calculus.
Geometric sense:
- Pangkalahatang solusyon y=y(x;C)ang equation ay ang kabuuang bilang ng integral curves.
- Binibigyang-daan ka ng differential calculus na ikonekta ang mga coordinate ng isang punto sa XOY plane at ang tangent na iginuhit sa integral curve.
- Ang pagtatakda ng paunang kundisyon ay nangangahulugan ng pagtatakda ng punto sa eroplano.
- Para malutas ang problemang Cauchy ay nangangahulugan na mula sa buong hanay ng integral curves na kumakatawan sa parehong solusyon ng equation, kinakailangang piliin ang isa lamang na dumadaan sa tanging posibleng punto.
- Ang pagtupad sa mga kundisyon ng Cauchy theorem sa isang punto ay nangangahulugan na ang isang integral curve (bukod dito, isa lamang) ay kinakailangang dumaan sa napiling punto sa eroplano.
Separable variable equation
Sa pamamagitan ng kahulugan, ang differential equation ay isang equation kung saan ang kanang bahagi nito ay naglalarawan o ipinapakita bilang isang produkto (minsan ay isang ratio) ng dalawang function, ang isa ay nakadepende lamang sa "x", at ang isa - lamang sa "y ". Isang malinaw na halimbawa para sa ganitong uri: y'=f1(x)f2(y).
Upang malutas ang mga equation ng isang partikular na anyo, kailangan mo munang ibahin ang anyo ng derivative na y'=dy/dx. Pagkatapos, sa pamamagitan ng pagmamanipula sa equation, kailangan mong dalhin ito sa isang form kung saan maaari mong isama ang dalawang bahagi ng equation. Pagkatapos ng mga kinakailangang pagbabago, isinasama namin ang parehong bahagi at pinapasimple ang resulta.
Homogeneous equation
Sa pamamagitan ng kahulugan, ang isang differential equation ay matatawag na homogenous kung mayroon itong sumusunod na anyo: y'=g(y/x).
Sa kasong ito, ang kapalit na y/x=ang kadalasang ginagamitt(x).
Upang malutas ang mga naturang equation, kinakailangan na bawasan ang isang homogenous na equation sa isang form na may mga separable variable. Upang gawin ito, dapat mong gawin ang mga sumusunod na operasyon:
- Display, na nagpapahayag ng derivative ng orihinal na function, mula sa anumang orihinal na function bilang bagong equation.
- Ang susunod na hakbang ay i-transform ang resultang function sa form na f(x;y)=g(y/x). Sa mas simpleng salita, gawin ang equation na naglalaman lamang ng ratio na y/x at mga constant.
- Gawin ang sumusunod na kapalit: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Ang pagpapalit na ginawa ay makakatulong na hatiin ang mga variable sa equation, unti-unting dalhin ito sa isang mas simpleng anyo.
Linear equation
Ang kahulugan ng mga naturang equation ay ang mga sumusunod: ang linear differential equation ay isang equation kung saan ang kanang bahagi nito ay ipinahayag bilang isang linear na expression na may kinalaman sa orihinal na function. Ang gustong function sa kasong ito: y'=a(x)y + b(x).
Let's rephrase the definition as follows: anumang equation ng 1st order ay magiging linear sa anyo nito kung ang orihinal na function at ang derivative nito ay kasama sa first degree equation at hindi i-multiply sa isa't isa. Ang "classical form" ng isang linear differential equation ay may sumusunod na istraktura: y' + P(x)y=Q(x).
Bago lutasin ang naturang equation, dapat itong i-convert sa "classical form". Ang susunod na hakbang ay ang pagpili ng paraan ng solusyon: ang Bernoulli method o ang Lagrange method.
Paglutas ng equation sagamit ang pamamaraang ipinakilala ni Bernoulli, ay nagpapahiwatig ng pagpapalit at pagbabawas ng isang linear differential equation sa dalawang equation na may magkahiwalay na variable na nauugnay sa mga function na U(x) at V(x), na ibinigay sa kanilang orihinal na anyo.
Ang Lagrange na paraan ay ang paghahanap ng pangkalahatang solusyon sa orihinal na equation.
- Kailangan upang mahanap ang parehong solusyon ng homogenous equation. Pagkatapos maghanap, mayroon tayong function na y=y(x, C), kung saan ang C ay isang arbitrary constant.
- Naghahanap kami ng solusyon sa orihinal na equation sa parehong anyo, ngunit isinasaalang-alang namin ang C=C(x). Pinapalitan natin ang function na y=y(x, C(x)) sa orihinal na equation, hanapin ang function na C(x) at isulat ang solusyon ng pangkalahatang orihinal na equation.
Bernoulli equation
Ang equation ni Bernoulli - kung ang kanang bahagi ng calculus ay nasa anyong f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, kung saan ang k ay anumang posibleng rational numerical value, hindi tinatanggap bilang isang halimbawa ng mga kaso kapag k=0 at k=1.
Kung k=1, ang calculus ay magiging separable, at kapag k=0, ang equation ay nananatiling linear.
Isaalang-alang natin ang pangkalahatang kaso ng paglutas ng ganitong uri ng equation. Mayroon kaming karaniwang Bernoulli equation. Dapat itong bawasan sa isang linear, para dito kailangan mong hatiin ang equation sa pamamagitan ng yk. Pagkatapos ng operasyong ito, palitan ang z(x)=y1-k. Pagkatapos ng serye ng mga pagbabago, ang equation ay gagawing linear, kadalasan sa pamamagitan ng substitution method na z=UV.
Mga equation sa kabuuang pagkakaiba
Kahulugan. Ang isang equation na may istrukturang P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 ay tinatawag na isang equation nang buodifferentials, kung matugunan ang sumusunod na kundisyon (sa kundisyong ito, ang "d" ay isang partial differential): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Lahat ng first-order differential equation na isinasaalang-alang nang mas maaga ay maaaring ipakita bilang mga differential.
Ang ganitong mga kalkulasyon ay nalulutas sa maraming paraan. Ngunit, gayunpaman, lahat sila ay nagsisimula sa isang pagsusuri sa kondisyon. Kung nasiyahan ang kundisyon, kung gayon ang pinakakaliwang rehiyon ng equation ay ang kabuuang pagkakaiba ng hindi pa alam na function na U(x;y). Pagkatapos, alinsunod sa equation, ang dU (x; y) ay magiging katumbas ng zero, at samakatuwid, ang parehong integral ng equation sa kabuuang differentials ay ipapakita sa form na U (x; y) u003d C. Samakatuwid, ang ang solusyon ng equation ay binawasan sa paghahanap ng function na U (x; y).
Integrating factor
Kung ang kundisyong dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx ay hindi nasiyahan sa equation, ang equation ay walang anyo na aming isinasaalang-alang sa itaas. Ngunit kung minsan posible na pumili ng ilang function na M(x;y), kapag pinarami kung saan ang equation ay tumatagal ng anyo ng isang equation sa buong "diffurs". Ang function na M (x;y) ay tinutukoy bilang ang integrating factor.
Matatagpuan lang ang isang integrator kapag ito ay naging function ng isang variable lang.
