Dapat magkaroon ng kamalayan ang mga mag-aaral ng mas matataas na matematika na ang kabuuan ng ilang serye ng kapangyarihan na kabilang sa pagitan ng convergence ng ibinigay na serye ay lumalabas na tuluy-tuloy at walang limitasyong bilang ng beses na pinag-iba-ibang function. Ang tanong ay lumitaw: posible bang igiit na ang isang ibinigay na arbitrary na function na f(x) ay ang kabuuan ng ilang serye ng kapangyarihan? Iyon ay, sa ilalim ng anong mga kundisyon maaaring ang function na f(x) ay kinakatawan ng isang serye ng kapangyarihan? Ang kahalagahan ng tanong na ito ay nakasalalay sa katotohanan na posible na humigit-kumulang na palitan ang function na f(x) ng kabuuan ng unang ilang termino ng power series, iyon ay, sa pamamagitan ng polynomial. Ang ganitong pagpapalit ng isang function sa pamamagitan ng isang medyo simpleng expression - isang polynomial - ay maginhawa din kapag nilulutas ang ilang mga problema ng mathematical analysis, ibig sabihin: kapag nilulutas ang mga integral, kapag kinakalkula ang mga differential equation, atbp.
Napatunayan na para sa ilang function na f(х) kung saan ang mga derivatives hanggang sa (n+1)th order, kabilang ang huli, ay maaaring kalkulahin sa neighborhood (α - R; x0 + R) ng ilang punto x=α valid ang formula:
Ang formula na ito ay pinangalanan sa sikat na scientist na si Brook Taylor. Ang serye na nakuha mula sa nauna ay tinatawag na seryeng Maclaurin:
Ang panuntunang ginagawang posible na mapalawak sa isang serye ng Maclaurin:
- Tukuyin ang mga derivative ng una, pangalawa, pangatlo… mga order.
- Kalkulahin kung ano ang katumbas ng mga derivative sa x=0.
- I-record ang Maclaurin series para sa function na ito, at pagkatapos ay tukuyin ang pagitan ng convergence nito.
- Tukuyin ang pagitan (-R;R) kung saan ang natitira sa formula ng Maclaurin
R (x) -> 0 para sa n -> infinity. Kung mayroon man, ang function na f(x) dito ay dapat na tumutugma sa kabuuan ng serye ng Maclaurin.
Ngayon isaalang-alang ang serye ng Maclaurin para sa mga indibidwal na function.
1. Kaya, ang una ay magiging f(x)=ex. Siyempre, ayon sa mga tampok nito, ang naturang function ay may mga derivatives ng iba't ibang mga order, at f(k)(x)=ex, kung saan ang k ay katumbas ng lahat natural na mga numero. Palitan natin ang x=0. Nakukuha namin ang f(k)(0)=e0=1, k=1, 2… ay magiging ganito:
2. Ang serye ng Maclaurin para sa function na f(x)=sin x. Kaagad na linawin na ang function para sa lahat ng hindi alam ay magkakaroon ng mga derivatives, bukod sa f'(x)=cos x=sin(x+n/2), f '' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f(k)(x)=sin(x+k n/2), kung saan ang k ay katumbas ng anumang natural na numero. Iyon ay, pagkatapos gumawa ng mga simpleng kalkulasyon, maaari tayong magkaroon ng konklusyon na ang serye para sa f(x)=sin x ay magiging ganito:
3. Ngayon subukan nating isaalang-alang ang function f(x)=cos x. Siya ay para sa lahat ng hindi alamay may mga derivatives ng arbitrary order, at |f(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Muli, pagkatapos gumawa ng ilang kalkulasyon, nakuha namin na ang serye para sa f(x)=cos x ay magiging ganito:
Kaya, inilista namin ang pinakamahalagang function na maaaring palawakin sa serye ng Maclaurin, ngunit dinadagdagan ang mga ito ng serye ng Taylor para sa ilang function. Ngayon ay ilista natin ang mga ito. Nararapat ding tandaan na ang mga serye ng Taylor at Maclaurin ay isang mahalagang bahagi ng pagsasanay ng paglutas ng mga serye sa mas mataas na matematika. So, Taylor series.
1. Ang una ay isang serye para sa f-ii f(x)=ln(1+x). Tulad ng sa mga nakaraang halimbawa, na ibinigay sa amin f (x)=ln (1 + x), maaari kaming magdagdag ng isang serye gamit ang pangkalahatang anyo ng serye ng Maclaurin. gayunpaman, para sa function na ito, ang serye ng Maclaurin ay maaaring makuha nang mas simple. Pagkatapos isama ang isang partikular na geometric na serye, makakakuha tayo ng serye para sa f(x)=ln(1+x) ng sample na ito:
2. At ang pangalawa, na magiging pangwakas sa aming artikulo, ay isang serye para sa f (x) u003d arctg x. Para sa x na kabilang sa interval [-1;1], valid ang expansion:
Iyon lang. Sinuri ng artikulong ito ang pinakakaraniwang ginagamit na serye ng Taylor at Maclaurin sa mas matataas na matematika, partikular, sa mga unibersidad sa ekonomiya at teknikal.
