Kahit sa paaralan, ang bawat isa sa atin ay nag-aral ng mga equation at, sigurado, mga sistema ng mga equation. Ngunit hindi alam ng maraming tao na may ilang mga paraan upang malutas ang mga ito. Ngayon ay susuriin natin nang detalyado ang lahat ng mga pamamaraan para sa paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation, na binubuo ng higit sa dalawang equalities.
Kasaysayan
Ngayon ay kilala na ang sining ng paglutas ng mga equation at ang kanilang mga sistema ay nagmula sa sinaunang Babylon at Egypt. Gayunpaman, ang mga pagkakapantay-pantay sa kanilang karaniwang anyo ay lumitaw pagkatapos ng paglitaw ng pantay na tanda na "=", na ipinakilala noong 1556 ng English mathematician Record. Sa pamamagitan ng paraan, ang sign na ito ay pinili para sa isang kadahilanan: nangangahulugan ito ng dalawang magkatulad na pantay na mga segment. Sa katunayan, walang mas magandang halimbawa ng pagkakapantay-pantay.
Ang nagtatag ng modernong mga pagtatalaga ng titik ng mga hindi alam at mga senyales ng digri ay ang French mathematician na si Francois Viet. Gayunpaman, ang kanyang mga pagtatalaga ay malaki ang pagkakaiba sa ngayon. Halimbawa, tinukoy niya ang parisukat ng hindi kilalang numero na may titik Q (lat. "quadratus"), at ang kubo na may titik C (lat. "cubus"). Ang mga pagtatalaga na ito ngayon ay tila hindi maginhawa, ngunit pagkataposito ang pinakamadaling paraan upang magsulat ng mga sistema ng linear algebraic equation.
Gayunpaman, ang disbentaha ng mga pamamaraan noon ng solusyon ay ang mga mathematician ay itinuturing lamang ang mga positibong ugat. Marahil ito ay dahil sa ang katunayan na ang mga negatibong halaga ay walang praktikal na paggamit. Sa isang paraan o iba pa, ang mga Italian mathematician na sina Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano at Rafael Bombelli ang unang nag-isip ng mga negatibong ugat noong ika-16 na siglo. At ang modernong hitsura, ang pangunahing paraan para sa paglutas ng mga quadratic equation (sa pamamagitan ng discriminant) ay nilikha lamang noong ika-17 siglo salamat sa gawa nina Descartes at Newton.
Noong kalagitnaan ng ika-18 siglo, nakahanap ang Swiss mathematician na si Gabriel Cramer ng bagong paraan upang gawing mas madali ang paglutas ng mga sistema ng mga linear equation. Ang pamamaraang ito ay ipinangalan sa kanya at hanggang ngayon ay ginagamit namin ito. Ngunit pag-uusapan natin ang paraan ng Cramer sa ibang pagkakataon, ngunit sa ngayon ay tatalakayin natin ang mga linear na equation at pamamaraan para sa paglutas ng mga ito nang hiwalay sa system.
Linear equation
Linear equation ang pinakasimpleng equalities na may (mga) variable. Ang mga ito ay inuri bilang algebraic. Ang mga linear equation ay isinusulat sa pangkalahatang anyo tulad ng sumusunod: 2+…a x =b. Kakailanganin namin ang kanilang representasyon sa form na ito kapag nag-compile ng mga system at matrice pa.
Mga sistema ng linear algebraic equation
Ang kahulugan ng terminong ito ay ito: ito ay isang hanay ng mga equation na may mga karaniwang hindi alam at isang karaniwang solusyon. Bilang isang patakaran, sa paaralan ang lahat ay napagpasyahan ng mga sistemana may dalawa o kahit tatlong equation. Ngunit may mga system na may apat o higit pang mga bahagi. Unawain muna natin kung paano isulat ang mga ito upang maging maginhawa upang malutas ang mga ito sa ibang pagkakataon. Una, ang mga sistema ng linear algebraic equation ay magiging mas maganda kung ang lahat ng mga variable ay isusulat bilang x na may naaangkop na index: 1, 2, 3, at iba pa. Pangalawa, lahat ng equation ay dapat na bawasan sa canonical form: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Pagkatapos ng lahat ng mga hakbang na ito, maaari na nating simulan ang pag-uusap tungkol sa kung paano maghanap ng solusyon sa mga system ng linear equation. Ang mga matrice ay magiging lubhang kapaki-pakinabang para dito.
Matrics
Ang matrix ay isang talahanayan na binubuo ng mga row at column, at ang mga elemento nito ay matatagpuan sa kanilang intersection. Ang mga ito ay maaaring maging partikular na mga halaga o variable. Kadalasan, para magtalaga ng mga elemento, inilalagay ang mga subscript sa ilalim ng mga ito (halimbawa, a11 o a23). Ang unang index ay nangangahulugang ang row number at ang pangalawa ay ang column number. Sa mga matrice, pati na rin sa anumang iba pang elemento ng matematika, maaari kang magsagawa ng iba't ibang mga operasyon. Kaya maaari mong:
1) Magbawas at magdagdag ng mga talahanayan na may parehong laki.
2) I-multiply ang isang matrix sa ilang numero o vector.
3) I-transpose: Gawing mga column ang mga matrix row at mga column sa mga row.
4) I-multiply ang mga matrice kung ang bilang ng mga row ng isa sa mga ito ay katumbas ng bilang ng mga column ng isa pa.
Tatalakayin natin ang lahat ng diskarteng ito nang mas detalyado, dahil magiging kapaki-pakinabang ang mga ito sa atin sa hinaharap. Ang pagbabawas at pagdaragdag ng mga matrice ay napakadali. Kayahabang kumukuha kami ng mga matrice na may parehong laki, kung gayon ang bawat elemento ng isang talahanayan ay tumutugma sa bawat elemento ng isa pa. Kaya, idinaragdag namin (ibawas) ang dalawang elementong ito (mahalaga na sila ay nasa parehong lugar sa kanilang mga matrice). Kapag nagpaparami ng matrix sa isang numero o vector, kailangan mo lang i-multiply ang bawat elemento ng matrix sa numerong iyon (o vector). Ang transposisyon ay isang napaka-kagiliw-giliw na proseso. Ito ay napaka-interesante kung minsan upang makita ito sa totoong buhay, halimbawa, kapag binabago ang oryentasyon ng isang tablet o telepono. Ang mga icon sa desktop ay isang matrix, at kapag binago mo ang posisyon, lumilipat ito at nagiging mas malawak, ngunit bumababa ang taas.
Tingnan natin muli ang prosesong tulad ng matrix multiplication. Bagama't hindi ito magiging kapaki-pakinabang sa atin, magiging kapaki-pakinabang pa rin na malaman ito. Maaari mo lamang i-multiply ang dalawang matrice kung ang bilang ng mga column sa isang table ay katumbas ng bilang ng mga row sa kabilang table. Ngayon kunin natin ang mga elemento ng isang hilera ng isang matrix at ang mga elemento ng kaukulang column ng isa pa. Pina-multiply namin ang mga ito sa isa't isa at pagkatapos ay idinaragdag namin ang mga ito (iyon ay, halimbawa, ang produkto ng mga elementong a11 at a12 ng b Ang 12at b22 ay magiging katumbas ng: a11b12 + a 12 b22). Kaya, isang elemento ng talahanayan ang nakuha, at ito ay pinupunan pa ng katulad na paraan.
Ngayon ay maaari na nating simulang tingnan kung paano nalutas ang sistema ng mga linear equation.
Gauss method
Nagsisimulang pumasa ang paksang ito kahit sa paaralan. Alam na alam namin ang konsepto ng "sistema ng dalawang linear na equation" at alam namin kung paano lutasin ang mga ito. Ngunit paano kung ang bilang ng mga equation ay higit sa dalawa? Tutulungan tayo ng pamamaraang Gauss dito.
Siyempre, maginhawang gamitin ang paraang ito kung gagawa ka ng matrix sa system. Ngunit hindi mo ito mababago at malulutas sa pinakadalisay nitong anyo.
Kaya paano nilulutas ng pamamaraang ito ang sistema ng mga linear na Gaussian equation? Sa pamamagitan ng paraan, kahit na ang pamamaraang ito ay ipinangalan sa kanya, natuklasan ito noong sinaunang panahon. Iminumungkahi ni Gauss ang mga sumusunod: upang magsagawa ng mga operasyon na may mga equation upang tuluyang mabawasan ang buong set sa isang stepped form. Iyon ay, kinakailangan na mula sa itaas hanggang sa ibaba (kung nailagay nang tama) mula sa unang equation hanggang sa huli, ang isang hindi kilalang nababawasan. Sa madaling salita, kailangan nating tiyakin na nakukuha natin, sabihin nating, tatlong equation: sa una - tatlong hindi alam, sa pangalawa - dalawa, sa pangatlo - isa. Pagkatapos, mula sa huling equation ay makikita natin ang unang hindi alam, palitan ang halaga nito sa pangalawa o unang equation, at pagkatapos ay hanapin ang natitirang dalawang variable.
Cramer method
Upang makabisado ang pamamaraang ito, napakahalagang makabisado ang mga kasanayan sa pagdaragdag, pagbabawas ng mga matrice, at kailangan mo ring makahanap ng mga determinant. Samakatuwid, kung gagawin mo ang lahat ng ito nang hindi maganda o hindi mo alam kung paano, kailangan mong matuto at magsanay.
Ano ang kakanyahan ng pamamaraang ito, at paano ito gagawin upang makakuha ng isang sistema ng mga linear na Cramer equation? Napakasimple ng lahat. Kailangan nating bumuo ng isang matrix mula sa mga numerical (halos palagi) na mga coefficient ng isang sistema ng mga linear algebraic equation. Upang gawin ito, kunin lamang ang mga numero sa harap ng mga hindi alam at ayusin ang mga itotalahanayan sa pagkakasunud-sunod kung saan ang mga ito ay naitala sa system. Kung ang numero ay nauuna sa isang "-" sign, pagkatapos ay isulat namin ang isang negatibong koepisyent. Kaya, pinagsama-sama namin ang unang matrix mula sa mga coefficient ng mga hindi alam, hindi kasama ang mga numero pagkatapos ng pantay na mga palatandaan (natural, ang equation ay dapat na bawasan sa canonical form, kapag ang numero lamang ang nasa kanan, at lahat ng hindi alam ay may mga coefficient sa kaliwa). Pagkatapos ay kailangan mong lumikha ng higit pang mga matrice - isa para sa bawat variable. Upang gawin ito, pinapalitan namin ang bawat haligi ng mga coefficient sa unang matrix na may isang hanay ng mga numero pagkatapos ng pantay na tanda. Kaya, kumukuha kami ng ilang matrice at pagkatapos ay hanapin ang mga determinant ng mga ito.
Pagkatapos nating matagpuan ang mga determinant, maliit na ang usapin. Mayroon kaming paunang matrix, at mayroong ilang mga resultang matrice na tumutugma sa iba't ibang mga variable. Upang makuha ang mga solusyon ng system, hinahati namin ang determinant ng resultang talahanayan sa determinant ng unang talahanayan. Ang resultang numero ay ang halaga ng isa sa mga variable. Katulad nito, nakikita namin ang lahat ng hindi alam.
Iba pang paraan
May ilan pang paraan para makuha ang solusyon ng mga sistema ng mga linear equation. Halimbawa, ang tinatawag na Gauss-Jordan method, na ginagamit upang maghanap ng mga solusyon sa isang sistema ng mga quadratic equation at nauugnay din sa paggamit ng mga matrice. Mayroon ding pamamaraang Jacobi para sa paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation. Ito ang pinakamadaling iakma sa isang computer at ginagamit sa pag-compute.
Mahirap na kaso
Karaniwang nangyayari ang pagiging kumplikado kapag ang bilang ng mga equation ay mas mababa sa bilang ng mga variable. Pagkatapos ay masasabi nating sigurado na ang sistema ay hindi pare-pareho (iyon ay, wala itong mga ugat), o ang bilang ng mga solusyon nito ay may posibilidad na walang katapusan. Kung mayroon tayong pangalawang kaso, kailangan nating isulat ang pangkalahatang solusyon ng sistema ng mga linear na equation. Maglalaman ito ng kahit isang variable.
Konklusyon
Heto na tayo sa dulo. Upang ibuod: nasuri namin kung ano ang isang sistema at isang matrix, natutunan namin kung paano maghanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation. Bilang karagdagan, ang iba pang mga pagpipilian ay isinasaalang-alang. Nalaman namin kung paano nalulutas ang sistema ng mga linear equation: ang Gauss method at ang Cramer method. Nag-usap kami tungkol sa mahihirap na kaso at iba pang paraan para makahanap ng solusyon.
Sa katunayan, ang paksang ito ay mas malawak, at kung gusto mo itong mas maunawaan, ipinapayo namin sa iyo na magbasa ng mas espesyal na literatura.
