Ang kabalintunaan ni Bertrand ay isang problema sa klasikal na interpretasyon ng probability theory. Ipinakilala ito ni Joseph sa kanyang akdang Calcul des probabilités (1889) bilang isang halimbawa na ang mga probabilidad ay hindi matukoy nang mabuti kung ang isang mekanismo o pamamaraan ay gumagawa ng isang random na variable.
Pahayag ng Problema
Ang kabalintunaan ni Bertrand ay ang mga sumusunod.
Una, isaalang-alang ang isang equilateral triangle na nakasulat sa isang bilog. Sa kasong ito, ang diameter ay pinili nang random. Ano ang posibilidad na mas mahaba ito kaysa sa gilid ng tatsulok?
Nagbigay ng tatlong argumento si Bertrand, na lahat ay mukhang tama, ngunit nagbibigay ng iba't ibang resulta.
Random na Paraan ng Endpoint
Kailangan mong pumili ng dalawang lugar sa bilog at gumuhit ng arko na nagkokonekta sa kanila. Para sa pagkalkula, isinasaalang-alang ang probability paradox ni Bertrand. Kinakailangang isipin na ang tatsulok ay pinaikot upang ang vertex nito ay tumutugma sa isa sa mga dulo ng chord. Sulit na bayarantandaan na kung ang kabilang bahagi ay nasa isang arko sa pagitan ng dalawang lugar, ang bilog ay mas mahaba kaysa sa gilid ng tatsulok. Ang haba ng arko ay 1/3 ng bilog, kaya ang posibilidad na mas mahaba ang isang random na chord ay 1/3.
Paraan ng pagpili
Kinakailangan na piliin ang radius ng bilog at isang punto dito. Pagkatapos nito, kailangan mong bumuo ng isang chord sa pamamagitan ng lugar na ito, patayo sa diameter. Upang makalkula ang itinuturing na kabalintunaan ng Bertrand ng probability theory, dapat isipin na ang tatsulok ay pinaikot upang ang gilid ay patayo sa radius. Ang chord ay mas mahaba kaysa sa binti kung ang napiling punto ay mas malapit sa gitna ng bilog. At sa kasong ito, hinahati ng gilid ng tatsulok ang radius. Samakatuwid, ang posibilidad na ang chord ay mas mahaba kaysa sa gilid ng inscribed figure ay 1/2.
Random chords
Paraan sa gitna. Ito ay kinakailangan upang pumili ng isang lugar sa bilog at lumikha ng isang chord na may isang naibigay na gitna. Ang axis ay mas mahaba kaysa sa gilid ng inscribed triangle, kung ang napiling lokasyon ay nasa loob ng concentric na bilog na radius 1/2. Ang lugar ng mas maliit na bilog ay isang ikaapat na bahagi ng mas malaking pigura. Samakatuwid, ang posibilidad ng isang random na chord ay mas mahaba kaysa sa gilid ng inscribed triangle at katumbas ng 1/4.
Tulad ng ipinakita sa itaas, ang mga paraan ng pagpili ay naiiba sa bigat na ibinibigay ng mga ito sa ilang partikular na chord, na mga diameter. Sa paraan 1, maaaring piliin ang bawat chord sa eksaktong isang paraan, diameter man ito o hindi.
Sa paraang 2, maaaring piliin ang bawat tuwid na linya sa dalawang paraan. Samantalang ang anumang iba pang chord ay pipiliinisa lang sa mga posibilidad.
Sa paraan 3, ang bawat pagpili ng midpoint ay may isang parameter. Maliban sa gitna ng bilog, na siyang midpoint ng lahat ng diameters. Ang mga problemang ito ay maiiwasan sa pamamagitan ng "pag-order" ng lahat ng tanong upang ibukod ang mga parameter nang hindi naaapektuhan ang mga resultang probabilities.
Maaari ding makita ang mga piling pamamaraan bilang mga sumusunod. Ang chord na hindi diameter ay katangi-tanging nakikilala sa pamamagitan ng midpoint nito. Ang bawat isa sa tatlong paraan ng pagpili na ipinakita sa itaas ay gumagawa ng ibang pamamahagi ng gitna. At ang mga opsyon 1 at 2 ay nagbibigay ng dalawang magkaibang hindi pare-parehong partisyon, habang ang paraan 3 ay nagbibigay ng pare-parehong pamamahagi.
Ang klasikong kabalintunaan ng paglutas sa problema ni Bertrand ay nakasalalay sa paraan kung saan ang chord ay pinili "nang random". Lumalabas na kung ang isang paraan ng random na pagpili ay tinukoy nang maaga, ang problema ay may isang mahusay na tinukoy na solusyon. Ito ay dahil ang bawat indibidwal na pamamaraan ay may sariling pamamahagi ng mga chord. Ang tatlong pagpapasya na ipinakita ni Bertrand ay tumutugma sa iba't ibang paraan ng pagpili at, sa kawalan ng karagdagang impormasyon, walang dahilan upang paboran ang isa kaysa sa isa. Alinsunod dito, ang nakasaad na problema ay walang iisang solusyon.
Ang isang halimbawa ng kung paano gawing kakaiba ang pangkalahatang sagot ay ang tukuyin na ang mga endpoint ng chord ay pantay-pantay sa pagitan ng 0 at c, kung saan ang c ay ang circumference ng bilog. Ang distribusyon na ito ay kapareho ng sa unang argumento ni Bertrand at ang magreresultang natatanging probabilidad ay magiging 1/3.
Itong Bertrand Russell na kabalintunaan at iba pang mga kakaibang klasikalang mga interpretasyon ng posibilidad ay nagbibigay-katwiran sa mas mahigpit na mga pormulasyon. Kasama ang probability frequency at subjectivist Bayesian theory.
Ano ang pinagbabatayan ng kabalintunaan ni Bertrand
Sa kanyang artikulo noong 1973 na "The Well-posed Problem," inialok ni Edwin Jaynes ang kanyang natatanging solusyon. Nabanggit niya na ang kabalintunaan ni Bertrand ay batay sa isang premise batay sa prinsipyo ng "maximum ignorance". Nangangahulugan ito na hindi ka dapat gumamit ng anumang impormasyon na hindi ibinigay sa pahayag ng problema. Ipinunto ni Jaynes na hindi tinutukoy ng problema ni Bertrand ang posisyon o sukat ng bilog. At nangatuwiran na kung gayon ang anumang tiyak at layunin na desisyon ay dapat na "walang pakialam" sa laki at posisyon.
Para sa mga layunin ng paglalarawan
Ipagpalagay na ang lahat ng chord ay random na inilagay sa isang 2 cm na bilog, ngayon ay kailangan mo itong hagisan ng mga straw mula sa malayo.
Pagkatapos ay kailangan mong kumuha ng isa pang bilog na may mas maliit na diameter (halimbawa, 1 sentimetro), na akma sa mas malaking pigura. Kung gayon ang pamamahagi ng mga chord sa mas maliit na bilog na ito ay dapat na kapareho ng sa maximum na isa. Kung ang pangalawang pigura ay gumagalaw din sa loob ng una, ang posibilidad, sa prinsipyo, ay hindi dapat magbago. Napakadaling makita na para sa paraan 3 ang sumusunod na pagbabago ay magaganap: ang distribusyon ng mga chord sa maliit na pulang bilog ay magiging qualitatively naiiba mula sa distribusyon sa malaking bilog.
Gayundin ang nangyayari sa paraan 1. Bagama't mas mahirap makita sa graphical na view.
Ang
Paraan 2 ay nag-iisana lumalabas na parehong sukat at invariant ng pagsasalin.
Mukhang pinalawak lang ang paraan bilang 3.
Ang Paraan 1 ay hindi.
Gayunpaman, hindi madaling gumamit ng mga invariant si Janes para tanggapin o tanggihan ang mga pamamaraang ito. Ito ay mag-iiwan ng posibilidad na may isa pang hindi inilarawang pamamaraan na akma sa mga aspeto nito ng makatwirang kahulugan. Naglapat si Jaynes ng mga integral equation na naglalarawan ng mga invariance. Upang direktang matukoy ang pamamahagi ng posibilidad. Sa kanyang problema, ang integral equation ay mayroon ngang kakaibang solusyon, at ito mismo ang tinatawag na pangalawang random radius method sa itaas.
Sa isang 2015 na papel, sinabi ni Alon Drory na ang prinsipyo ni Jaynes ay maaari ding magbunga ng dalawa pang solusyon sa Bertrand. Tinitiyak ng may-akda na ang mathematical na pagpapatupad ng mga katangian sa itaas ng invariance ay hindi natatangi, ngunit depende sa pangunahing pamamaraan ng random na pagpili na napagpasyahan ng isang tao na gamitin. Ipinakita niya na ang bawat isa sa tatlong solusyon ng Bertrand ay maaaring makuha gamit ang rotational, scaling, at translational invariance. Kasabay nito, ang paghihinuha na ang prinsipyo ng Jaynes ay napapailalim sa interpretasyon gaya ng mismong paraan ng kawalang-interes.
Mga pisikal na eksperimento
Ang
Method 2 ay ang tanging solusyon na nakakatugon sa mga invariant ng pagbabagong naroroon sa mga partikular na konseptong pisyolohikal gaya ng statistical mechanics at gas structure. Gayundin sa iminungkahingEksperimento ni Janes sa paghahagis ng mga straw mula sa isang maliit na bilog.
Gayunpaman, maaaring idisenyo ang iba pang praktikal na eksperimento na nagbibigay ng mga sagot ayon sa iba pang mga pamamaraan. Halimbawa, upang makarating sa isang solusyon sa unang random na paraan ng endpoint, maaari kang mag-attach ng counter sa gitna ng lugar. At hayaang i-highlight ng mga resulta ng dalawang independyenteng pag-ikot ang mga huling lugar ng chord. Upang makarating sa isang solusyon sa ikatlong paraan, maaaring takpan ng isang molasses ang bilog, halimbawa, at markahan ang unang punto kung saan dumapo ang langaw bilang gitnang chord. Ilang contemplator ang lumikha ng mga pag-aaral upang makagawa ng iba't ibang konklusyon at kinumpirma ang mga resulta sa empirikal na paraan.
Mga pinakabagong kaganapan
Sa kanyang artikulo noong 2007 na "The Bertrand Paradox and the Indifference Principle," sinabi ni Nicholas Shackel na mahigit isang siglo na ang lumipas, ang problema ay nananatiling hindi nareresolba. Nagpapatuloy siya upang pabulaanan ang prinsipyo ng kawalang-interes. Higit pa rito, sa kanyang 2013 na papel, "The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical," ipinapakita ni Darrell R. Robottom na ang lahat ng iminungkahing desisyon ay walang kinalaman sa kanyang sariling tanong. Kaya lumabas na ang kabalintunaan ay magiging mas mahirap lutasin kaysa sa naisip dati.
Binibigyang-diin ng
Shackel na sa ngayon maraming mga siyentipiko at taong malayo sa agham ang sumubok na lutasin ang kabalintunaan ni Bertrand. Dinaig pa rin ito sa tulong ng dalawang magkaibang diskarte.
Yaong kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng hindi katumbas na mga problema ay isinasaalang-alang, at ang mga kung saan ang problema ay palaging itinuturing na tama. Sinipi ni Shackel si Louis sa kanyang mga aklatMarinoff (bilang isang tipikal na exponent ng diskarte ng differentiation) at Edwin Jaynes (bilang may-akda ng isang pinag-isipang mabuti na teorya).
Gayunpaman, sa kanilang kamakailang gawaing Solving a Complex Problem, naniniwala sina Diederik Aerts at Massimiliano Sassoli de Bianchi na upang malutas ang kabalintunaan ng Bertrand, ang mga lugar ay dapat hanapin sa magkahalong diskarte. Ayon sa mga may-akda na ito, ang unang hakbang ay upang ayusin ang problema sa pamamagitan ng malinaw na pagsasabi ng likas na katangian ng nilalang na randomized. At pagkatapos lamang gawin ito, ang anumang problema ay maaaring ituring na tama. Iyan ang iniisip ni Janes.
Kaya ang prinsipyo ng pinakamataas na kamangmangan ay maaaring gamitin upang malutas ito. Sa layuning ito, at dahil ang problema ay hindi tumutukoy kung paano dapat piliin ang isang chord, ang prinsipyo ay inilalapat hindi sa antas ng iba't ibang mga posibilidad, ngunit sa isang mas malalim.
Pagpipilian ng mga bahagi
Ang bahaging ito ng problema ay nangangailangan ng pagkalkula ng meta-average sa lahat ng posibleng paraan, na tinatawag ng mga may-akda na unibersal na mean. Upang harapin ito, ginagamit nila ang paraan ng discretization. May inspirasyon ng kung ano ang ginagawa sa pagtukoy sa batas ng posibilidad sa mga proseso ng Wiener. Ang kanilang resulta ay pare-pareho sa numerical corollary ni Jaynes, bagama't ang kanilang mahusay na pagkakalagay na problema ay naiiba sa orihinal na may-akda.
Sa ekonomiya at komersyo, ang Bertrand Paradox, na ipinangalan sa lumikha nito na si Joseph Bertrand, ay naglalarawan ng isang sitwasyon kung saan ang dalawang manlalaro (mga kumpanya) ay umabot sa isang Nash equilibrium. Kapag ang parehong mga kumpanya ay nagtakda ng isang presyo na katumbas ng marginal cost(MS).
Ang kabalintunaan ni Bertrand ay batay sa isang premise. Ito ay nakasalalay sa katotohanan na sa mga modelo tulad ng kumpetisyon ng Cournot, ang pagtaas sa bilang ng mga kumpanya ay nauugnay sa convergence ng mga presyo sa mga marginal na gastos. Sa mga alternatibong modelong ito, ang kabalintunaan ni Bertrand ay nasa isang oligopoly ng isang maliit na bilang ng mga kumpanya na kumikita ng mga positibong kita sa pamamagitan ng pagsingil ng mga presyo nang higit sa gastos.
Upang magsimula, sulit na ipagpalagay na ang dalawang kumpanyang A at B ay nagbebenta ng isang homogenous na produkto, na ang bawat isa ay may parehong halaga ng produksyon at pamamahagi. Ito ay sumusunod na ang mga mamimili ay pumili ng isang produkto batay lamang sa presyo. Nangangahulugan ito na ang demand ay walang katapusang price elastic. Ang alinman sa A o B ay hindi magtatakda ng mas mataas na presyo kaysa sa iba, dahil iyan ay magiging sanhi ng pagbagsak ng buong Bertrand na kabalintunaan. Ang isa sa mga kalahok sa merkado ay magbubunga sa katunggali nito. Kung itatakda nila ang parehong presyo, hahatiin ng mga kumpanya ang mga kita.
Sa kabilang banda, kung babaan ng kaunti ng anumang kumpanya ang presyo nito, makukuha nito ang buong merkado at mas mataas na kita. Dahil alam ito ng A at B, susubukan nilang i-undercut ang kakumpitensya hanggang sa maibenta ang produkto para sa zero economic profit.
Ipinakita ng kamakailang trabaho na maaaring mayroong karagdagang equilibrium sa magkahalong diskarte na kabalintunaan ni Bertrand, na may positibong kita sa ekonomiya, sa kondisyon na ang monopoly sum ay walang hanggan. Para sa kaso ng pangwakas na kita, ipinakita na ang isang positibong pagtaas sa ilalim ng kumpetisyon sa presyo ay imposible sa halo-halong equilibria at maging sa mas pangkalahatang kasomga nauugnay na sistema.
Sa katunayan, ang kabalintunaan ni Bertrand sa economics ay bihirang makita sa pagsasanay, dahil ang mga tunay na produkto ay halos palaging pinag-iiba sa ibang paraan maliban sa presyo (halimbawa, labis na pagbabayad para sa isang label). Ang mga kumpanya ay may mga limitasyon sa kanilang kakayahang gumawa at mamahagi. Ito ang dahilan kung bakit bihirang magkaroon ng parehong gastos ang dalawang negosyo.
Ang resulta ni Bertrand ay kabalintunaan dahil kung ang bilang ng mga kumpanya ay tumaas mula isa hanggang dalawa, ang presyo ay bababa mula sa monopolyo tungo sa mapagkumpitensya at nananatili sa parehong antas ng bilang ng mga kumpanya na tataas pagkatapos noon. Ito ay hindi masyadong makatotohanan, dahil sa katotohanan, ang mga pamilihan na may kakaunting kumpanyang may kapangyarihan sa pamilihan ay may posibilidad na maningil ng mga presyo sa itaas ng marginal na gastos. Ipinapakita ng empirical analysis na karamihan sa mga industriya na may dalawang kakumpitensya ay nakakakuha ng positibong kita.
Sa modernong mundo, sinusubukan ng mga siyentipiko na makahanap ng mga solusyon sa kabalintunaan na mas naaayon sa modelo ng kumpetisyon ng Cournot. Kung saan ang dalawang kumpanya sa isang merkado ay kumikita ng mga positibong kita na nasa pagitan ng perpektong mapagkumpitensya at mga antas ng monopolyo.
Ilang dahilan kung bakit ang kabalintunaan ni Bertrand ay hindi direktang nauugnay sa ekonomiya:
- Mga limitasyon sa kapasidad. Minsan ang mga kumpanya ay walang sapat na kapasidad upang matugunan ang lahat ng pangangailangan. Ang puntong ito ay unang itinaas ni Francis Edgeworth at nagbunga ng modelong Bertrand-Edgeworth.
- Integer na mga presyo. Ang mga presyo sa itaas ng MC ay hindi kasama dahil maaaring i-undercut ng isang kumpanya ang isa pa nang random.maliit na halaga. Kung ang mga presyo ay discrete (halimbawa, dapat silang kumuha ng mga halaga ng integer), kung gayon ang isang kumpanya ay dapat mag-undercut sa isa pa ng hindi bababa sa isang ruble. Ito ay nagpapahiwatig na ang halaga ng maliit na pera ay mas mataas sa MC. Kung ang isa pang kumpanya ay nagtatakda ng presyo para dito nang mas mataas, ang isa pang kumpanya ay maaaring ibaba ito at makuha ang buong merkado, ang kabalintunaan ni Bertrand ay tiyak na binubuo dito. Hindi ito magdadala sa kanya ng anumang tubo. Mas gugustuhin ng negosyong ito na ibahagi ang mga benta 50/50 sa ibang kumpanya at makatanggap ng puro positibong kita.
- Pagkakaiba ng produkto. Kung magkaiba ang mga produkto ng iba't ibang kumpanya, maaaring hindi ganap na lumipat ang mga consumer sa mga produktong may mas mababang presyo.
- Dynamic na kumpetisyon. Ang paulit-ulit na pakikipag-ugnayan o paulit-ulit na kumpetisyon sa presyo ay maaaring humantong sa isang equilibrium ng halaga.
- Higit pang mga item para sa mas mataas na halaga. Ito ay kasunod ng paulit-ulit na pakikipag-ugnayan. Kung itatakda ng isang kumpanya ang presyo nito nang medyo mas mataas, makakakuha pa rin ito ng halos parehong bilang ng mga pagbili, ngunit mas maraming tubo bawat item. Samakatuwid, tataas ng ibang kumpanya ang markup nito, atbp. (Sa mga replay lang, kung hindi, mapupunta ang dynamics sa kabilang direksyon).
Oligopoly
Kung maaaring magkasundo ang dalawang kumpanya sa isang presyo, nasa kanilang pangmatagalang interes na panatilihin ang kasunduan: ang kita sa pagbabawas ng halaga ay mas mababa sa dalawang beses ang kita mula sa pagsunod sa kasunduan at tatagal lamang hanggang sa putulin ito ng ibang kumpanya. sariling mga presyo.
Teoryaprobabilities (tulad ng iba pang matematika) ay isang kamakailang imbensyon. At hindi naging maayos ang pag-unlad. Ang mga unang pagtatangka na gawing pormal ang calculus ng probabilidad ay ginawa ng Marquis de Laplace, na nagmungkahi na tukuyin ang konsepto bilang ratio ng bilang ng mga kaganapan na humahantong sa isang resulta.
Ito, siyempre, ay makatuwiran lamang kung ang bilang ng lahat ng posibleng kaganapan ay may hangganan. At bukod pa, lahat ng kaganapan ay pantay na posibilidad.
Kaya, noong panahong iyon, ang mga konseptong ito ay tila walang matibay na pundasyon. Ang mga pagtatangka na palawigin ang kahulugan sa kaso ng isang walang katapusang bilang ng mga kaganapan ay humantong sa mas malalaking paghihirap. Ang kabalintunaan ni Bertrand ay isa sa gayong pagtuklas na naging dahilan ng pag-iingat ng mga mathematician sa buong konsepto ng probabilidad.
