Ang pag-aaral ng teorya ng probabilidad ay nagsisimula sa paglutas ng mga problema ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad. Nararapat na banggitin kaagad na kapag pinagkadalubhasaan ang larangan ng kaalaman na ito, ang isang mag-aaral ay maaaring makatagpo ng isang problema: kung ang mga prosesong pisikal o kemikal ay maaaring maipakita sa visually at mauunawaan sa empirikal, kung gayon ang antas ng abstraction ng matematika ay napakataas, at ang pag-unawa dito ay kasama lamang. karanasan.
Gayunpaman, sulit ang laro, dahil ang mga formula - parehong isinasaalang-alang sa artikulong ito at mas kumplikado - ay ginagamit saanman ngayon at maaaring maging kapaki-pakinabang sa trabaho.
Origin
Kakatwa, ang impetus para sa pagbuo ng seksyong ito ng matematika ay … pagsusugal. Sa katunayan, ang mga dice, coin toss, poker, roulette ay mga tipikal na halimbawa na gumagamit ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad. Sa halimbawa ng mga gawain sa anumang aklat-aralin, makikita ito nang malinaw. Interesado ang mga tao na matutunan kung paano pataasin ang kanilang mga pagkakataong manalo, at masasabi kong nagtagumpay dito ang ilan.
Halimbawa, nasa ika-21 siglo na, isang tao, na ang pangalan ay hindi namin ibubunyag,ginamit ang kaalamang naipon sa paglipas ng mga siglo upang literal na "linisin" ang casino, na nanalo ng ilang sampu-sampung milyong dolyar sa roulette.
Gayunpaman, sa kabila ng tumaas na interes sa paksa, noong ika-20 siglo lamang nabuo ang isang teoretikal na balangkas na ginawa ang "theorver" bilang isang ganap na bahagi ng matematika. Ngayon, sa halos anumang agham, mahahanap mo ang mga kalkulasyon gamit ang mga probabilistikong pamamaraan.
Applicability
Isang mahalagang punto kapag gumagamit ng mga formula ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad, ang conditional probability ay ang satisfiability ng central limit theorem. Kung hindi man, bagama't hindi ito napagtanto ng mag-aaral, ang lahat ng mga kalkulasyon, gaano man ito kapani-paniwala, ay magiging mali.
Oo, ang mataas na motivated na mag-aaral ay natutukso na gumamit ng bagong kaalaman sa bawat pagkakataon. Ngunit sa kasong ito, dapat ay bumagal nang kaunti at mahigpit na binabalangkas ang saklaw ng pagkakalapat.
Ang teorya ng probabilidad ay tumatalakay sa mga random na kaganapan, na sa mga empirikal na termino ay ang mga resulta ng mga eksperimento: maaari tayong gumulong ng anim na panig na die, gumuhit ng card mula sa isang deck, mahulaan ang bilang ng mga may sira na bahagi sa isang batch. Gayunpaman, sa ilang mga tanong, imposibleng gumamit ng mga formula mula sa seksyong ito ng matematika. Tatalakayin natin ang mga tampok ng pagsasaalang-alang sa mga probabilidad ng isang kaganapan, ang mga theorems ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga kaganapan sa dulo ng artikulo, ngunit sa ngayon ay tumungo tayo sa mga halimbawa.
Mga pangunahing konsepto
Ang isang random na kaganapan ay nangangahulugan ng ilang proseso o resulta na maaaring lumitaw o hindibilang resulta ng eksperimento. Halimbawa, naghahagis kami ng sandwich - maaari itong mahulog mantikilya pataas o mantikilya pababa. Magiging random ang alinman sa dalawang resulta, at hindi namin alam nang maaga kung alin sa mga ito ang magaganap.
Kapag nag-aaral ng karagdagan at pagpaparami ng mga probabilidad, kailangan natin ng dalawa pang konsepto.
Ang mga pinagsamang kaganapan ay ang mga pangyayaring iyon, ang paglitaw ng isa sa mga ito ay hindi ibinubukod ang paglitaw ng isa pa. Sabihin nating dalawang tao ang bumaril sa isang target nang sabay. Kung ang isa sa kanila ay magpapaputok ng isang matagumpay na putok, hindi ito makakaapekto sa kakayahan ng isa na matamaan o makaligtaan.
Magiging hindi magkatugma ang mga ganitong kaganapan, na ang paglitaw nito ay imposible nang sabay-sabay. Halimbawa, sa pamamagitan ng paghila lamang ng isang bola mula sa kahon, hindi mo makukuha ang parehong asul at pula nang sabay-sabay.
Designation
Ang konsepto ng probabilidad ay tinutukoy ng Latin na malaking letrang P. Susunod sa mga bracket ay mga argumento na nagsasaad ng ilang mga kaganapan.
Sa mga formula ng addition theorem, conditional probability, multiplication theorem, makikita mo ang mga expression sa mga bracket, halimbawa: A+B, AB o A|B. Kakalkulahin ang mga ito sa iba't ibang paraan, babalik na tayo sa kanila.
Addition
Ating isaalang-alang ang mga kaso kung saan ginagamit ang mga formula ng pagdaragdag at pagpaparami.
Para sa mga hindi tugmang kaganapan, ang pinakasimpleng formula sa pagdaragdag ay may kaugnayan: ang posibilidad ng alinman sa mga random na resulta ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng bawat isa sa mga resultang ito.
Ipagpalagay na mayroong isang kahon na may 2 asul, 3 pula at 5 dilaw na lobo. Mayroong 10 item sa kabuuan sa kahon. Ano ang porsyento ng katotohanan ng pahayag na bubunot tayo ng asul o pula na bola? Ito ay magiging katumbas ng 2/10 + 3/10, ibig sabihin, limampung porsyento.
Sa kaso ng mga hindi tugmang kaganapan, nagiging mas kumplikado ang formula, dahil may idinagdag na karagdagang termino. Babalik kami dito sa isang talata, pagkatapos isaalang-alang ang isa pang formula.
Multiplikasyon
Ang pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan ay ginagamit sa iba't ibang mga kaso. Kung, ayon sa kondisyon ng eksperimento, nasiyahan tayo sa alinman sa dalawang posibleng resulta, kakalkulahin natin ang kabuuan; kung gusto naming makakuha ng dalawang tiyak na resulta nang magkasunod, gagamit kami ng ibang formula.
Bumalik sa halimbawa mula sa nakaraang seksyon, gusto muna naming iguhit ang asul na bola at pagkatapos ay ang pula. Ang unang numero na alam natin ay 2/10. Anong mangyayari sa susunod? May 9 na bola ang natitira, mayroon pa ring parehong bilang ng mga pula - tatlong piraso. Ayon sa mga kalkulasyon, makakakuha ka ng 3/9 o 1/3. Ngunit ano ang gagawin sa dalawang numero ngayon? Ang tamang sagot ay paramihin para makakuha ng 2/30.
Mga Pinagsanib na Kaganapan
Ngayon ay maaari nating muling bisitahin ang sum formula para sa magkasanib na mga kaganapan. Bakit tayo lumilihis sa paksa? Upang malaman kung paano pinarami ang mga probabilidad. Ngayon ang kaalamang ito ay magiging kapaki-pakinabang.
Alam na natin kung ano ang magiging unang dalawang termino (katulad ng sa formula ng karagdagan na isinasaalang-alang kanina), ngayon kailangan nating ibawasang produkto ng mga probabilidad na ngayon lang natin natutunang kalkulahin. Para sa kalinawan, isinulat namin ang formula: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Lumalabas na parehong ginagamit ang pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad sa isang expression.
Sabihin nating kailangan nating lutasin ang alinman sa dalawang problema para makakuha ng kredito. Maaari nating lutasin ang una na may probabilidad na 0.3, at ang pangalawa - 0.6. Solusyon: 0.3 + 0.6 - 0.18=0.72. Tandaan na ang pagsasama-sama lamang ng mga numero dito ay hindi magiging sapat.
Conditional Probability
Sa wakas, mayroong konsepto ng conditional probability, ang mga argumento nito ay ipinahiwatig sa mga bracket at pinaghihiwalay ng vertical bar. Ang entry na P(A|B) ay ganito ang mababasa: “probability ng event A na ibinigay na event B”.
Tingnan natin ang isang halimbawa: binibigyan ka ng isang kaibigan ng ilang device, hayaan itong maging isang telepono. Maaari itong masira (20%) o mabuti (80%). Nagagawa mong ayusin ang anumang device na nahuhulog sa iyong mga kamay na may posibilidad na 0.4 o hindi mo ito magagawa (0.6). Panghuli, kung gumagana ang device, maaabot mo ang tamang tao na may posibilidad na 0.7.
Madaling makita kung paano gumagana ang conditional probability sa kasong ito: hindi ka makakalapit sa isang tao kung sira ang telepono, at kung maganda ito, hindi mo na kailangang ayusin. Kaya, upang makakuha ng anumang mga resulta sa "ikalawang antas", kailangan mong malaman kung anong kaganapan ang naisagawa sa una.
Mga Pagkalkula
Isaalang-alang natin ang mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad, gamit ang data mula sa nakaraang talata.
Una, hanapin natin ang posibilidad na ikawayusin ang aparato na ibinigay sa iyo. Upang gawin ito, una, dapat itong may sira, at pangalawa, dapat mong makayanan ang pag-aayos. Isa itong karaniwang problema sa pagpaparami: nakakakuha tayo ng 0.20.4=0.08.
Ano ang posibilidad na makalusot ka kaagad sa tamang tao? Mas madali kaysa simple: 0.80.7=0.56. Sa kasong ito, nalaman mong gumagana ang telepono at matagumpay na nakatawag.
Sa wakas, isaalang-alang ang sitwasyong ito: nakatanggap ka ng sirang telepono, inayos ito, pagkatapos ay nag-dial ng numero, at sinagot ng taong nasa kabilang dulo ang telepono. Dito, kailangan na ang pagpaparami ng tatlong bahagi: 0, 20, 40, 7=0, 056.
At paano kung mayroon kang dalawang hindi gumaganang telepono nang sabay-sabay? Gaano ka posibilidad na ayusin mo ang kahit isa sa mga ito? Ito ay isang problema ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad, dahil ginagamit ang magkasanib na mga kaganapan. Solusyon: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Maingat na paggamit
Tulad ng nabanggit sa simula ng artikulo, ang paggamit ng probability theory ay dapat na sinadya at mulat.
Kung mas malaki ang serye ng mga eksperimento, mas malapit ang teoretikal na hinulaang halaga sa praktikal. Halimbawa, naghahagis tayo ng barya. Sa teoryang, alam ang tungkol sa pagkakaroon ng mga formula para sa pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad, maaari nating mahulaan kung gaano karaming beses mahuhulog ang mga ulo at buntot kung 10 beses tayong magsagawa ng eksperimento. Gumawa kami ng isang eksperimento atNagkataon, ang ratio ng mga nahulog na panig ay 3 hanggang 7. Ngunit kung magsasagawa ka ng isang serye ng 100, 1000 o higit pang mga pagtatangka, lumalabas na ang graph ng pamamahagi ay papalapit ng papalapit sa teoretikal na isa: 44 hanggang 56, 482 hanggang 518 at iba pa.
Ngayon isipin na ang eksperimentong ito ay isinasagawa hindi gamit ang isang barya, ngunit sa paggawa ng ilang bagong kemikal na sangkap, ang posibilidad na hindi natin alam. Magpapatakbo kami ng 10 eksperimento at, kung hindi kami nakakuha ng matagumpay na resulta, maaari naming gawing pangkalahatan: "hindi makukuha ang sangkap." Ngunit sino ang nakakaalam, kung ginawa natin ang pang-labing isang pagtatangka, maabot ba natin ang layunin o hindi?
Kaya kung pupunta ka sa hindi alam, ang unexplored realm, ang theory of probability ay maaaring hindi nalalapat. Ang bawat kasunod na pagtatangka sa kasong ito ay maaaring maging matagumpay at ang mga generalization tulad ng "X does not exist" o "X is impossible" ay magiging napaaga.
Pangwakas na salita
Kaya tiningnan namin ang dalawang uri ng karagdagan, multiplication at conditional probabilities. Sa karagdagang pag-aaral ng lugar na ito, ito ay kinakailangan upang malaman upang makilala ang mga sitwasyon kapag ang bawat tiyak na formula ay ginagamit. Bilang karagdagan, kailangan mong maunawaan kung ang mga probabilistikong pamamaraan ay karaniwang naaangkop sa paglutas ng iyong problema.
Kung magsasanay ka, pagkaraan ng ilang sandali ay magsisimula kang isagawa ang lahat ng kinakailangang operasyon nang eksklusibo sa iyong isipan. Para sa mga mahilig sa mga laro ng baraha, maaaring isaalang-alang ang kasanayang itolubhang mahalaga - madadagdagan mo nang malaki ang iyong mga pagkakataong manalo, sa pamamagitan lamang ng pagkalkula ng posibilidad na mahulog ang isang partikular na card o suit. Gayunpaman, ang nakuhang kaalaman ay madaling magamit sa ibang mga lugar ng aktibidad.
