Sa tingin ko, dapat tayong magsimula sa kasaysayan ng napakagandang kasangkapang pangmatematika gaya ng mga differential equation. Tulad ng lahat ng differential at integral calculus, ang mga equation na ito ay naimbento ni Newton sa pagtatapos ng ika-17 siglo. Itinuring niya ang napakaimportanteng pagtuklas na ito sa kanya kaya na-encrypt pa niya ang mensahe, na ngayon ay maaaring isalin ng ganito: "Ang lahat ng mga batas ng kalikasan ay inilalarawan ng mga differential equation." Ito ay maaaring mukhang isang pagmamalabis, ngunit ito ay totoo. Anumang batas ng physics, chemistry, biology ay maaaring ilarawan ng mga equation na ito.
Mathematician Euler at Lagrange ay gumawa ng malaking kontribusyon sa pagbuo at paglikha ng teorya ng differential equation. Nasa ika-18 siglo na, natuklasan at binuo nila ang kanilang pinag-aaralan ngayon sa mga senior course ng mga unibersidad.
Nagsimula ang isang bagong milestone sa pag-aaral ng mga differential equation salamat kay Henri Poincare. Lumikha siya ng isang "teorya ng husay ng mga equation ng kaugalian", na, kasama ang teorya ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable, ay gumawa ng isang makabuluhang kontribusyon sa pundasyon ng topology - ang agham ng espasyo at nito.property.
Ano ang mga differential equation?
Maraming tao ang natatakot sa isang pariralang "differential equation". Gayunpaman, sa artikulong ito ay idedetalye namin ang buong kakanyahan ng napaka-kapaki-pakinabang na kagamitang pangmatematika na ito, na sa katunayan ay hindi kasing kumplikado na tila mula sa pangalan. Upang simulan ang pag-uusap tungkol sa mga first-order differential equation, dapat mo munang makilala ang mga pangunahing konsepto na likas na nauugnay sa kahulugang ito. At magsisimula tayo sa differential.
Differential
Maraming nakakaalam ng konseptong ito mula sa paaralan. Gayunpaman, tingnan natin ito nang mas malapitan. Isipin ang isang graph ng isang function. Maaari nating dagdagan ito sa isang lawak na ang alinman sa mga segment nito ay magiging isang tuwid na linya. Dito ay kukuha kami ng dalawang puntos na walang katapusan na malapit sa isa't isa. Ang pagkakaiba sa pagitan ng kanilang mga coordinate (x o y) ay magiging isang infinitesimal na halaga. Ito ay tinatawag na isang kaugalian at ipinapahiwatig ng mga palatandaang dy (differential mula sa y) at dx (differential mula sa x). Napakahalagang maunawaan na ang pagkakaiba ay hindi isang may hangganang halaga, at ito ang kahulugan at pangunahing function nito.
At ngayon kailangan nating isaalang-alang ang susunod na elemento, na magiging kapaki-pakinabang sa atin sa pagpapaliwanag ng konsepto ng isang differential equation. Ito ang derivative.
Derivative
Malamang narinig nating lahat sa paaralan at ang konseptong ito. Ang derivative ay sinasabing ang rate ng paglago o pagbaba ng isang function. Gayunpaman, mula sa kahulugan na itomarami ang nagiging hindi malinaw. Subukan nating ipaliwanag ang derivative sa mga tuntunin ng mga pagkakaiba. Bumalik tayo sa isang infinitesimal na segment ng isang function na may dalawang puntos na nasa pinakamababang distansya sa isa't isa. Ngunit kahit na para sa distansya na ito, ang function ay namamahala sa pagbabago ng ilang halaga. At para ilarawan ang pagbabagong ito, nakabuo sila ng isang derivative, na maaaring isulat bilang ratio ng mga pagkakaiba: f(x)'=df/dx.
Ngayon ay sulit na isaalang-alang ang mga pangunahing katangian ng hinalaw. Tatlo lang sila:
- Ang derivative ng kabuuan o pagkakaiba ay maaaring katawanin bilang kabuuan o pagkakaiba ng mga derivatives: (a+b)'=a'+b' at (a-b)'=a'-b'.
- Ang pangalawang property ay nauugnay sa multiplication. Ang derivative ng isang produkto ay ang kabuuan ng mga produkto ng isang function at ang derivative ng isa pa: (ab)'=a'b+ab'.
- Ang derivative ng pagkakaiba ay maaaring isulat bilang sumusunod na pagkakapantay-pantay: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Magiging kapaki-pakinabang ang lahat ng property na ito para sa paghahanap ng mga solusyon sa mga first-order differential equation.
Mayroon ding mga partial derivatives. Sabihin nating mayroon tayong function na z na nakadepende sa mga variable na x at y. Upang kalkulahin ang bahagyang derivative ng function na ito, sabihin nating, patungkol sa x, kailangan nating kunin ang variable na y bilang isang pare-pareho at simpleng pagkakaiba.
Integral
Ang isa pang mahalagang konsepto ay ang integral. Sa katunayan, ito ang direktang kabaligtaran ng derivative. Mayroong ilang mga uri ng integrals, ngunit upang malutas ang pinakasimpleng differential equation, kailangan namin ang pinaka-walang kabuluhang indefinite integral.
So ano ang integral? Sabihin nating mayroon tayong ilang dependency fmula sa x. Kinukuha namin ang integral mula dito at nakuha ang function na F (x) (kadalasang tinatawag na antiderivative), ang derivative nito ay katumbas ng orihinal na function. Kaya F(x)'=f(x). Kasunod din nito na ang integral ng derivative ay katumbas ng orihinal na function.
Kapag nilulutas ang mga differential equation, napakahalagang maunawaan ang kahulugan at function ng integral, dahil kakailanganin mong dalhin ang mga ito nang madalas upang mahanap ang solusyon.
Ang mga equation ay iba-iba depende sa kanilang kalikasan. Sa susunod na seksyon, isasaalang-alang namin ang mga uri ng first-order differential equation, at pagkatapos ay matutunan kung paano lutasin ang mga ito.
Mga klase ng differential equation
Ang "Diffury" ay hinati ayon sa pagkakasunud-sunod ng mga derivative na kasangkot sa mga ito. Kaya, mayroong una, pangalawa, pangatlo at higit pang pagkakasunud-sunod. Maaari din silang hatiin sa ilang klase: ordinaryo at partial derivatives.
Sa artikulong ito isasaalang-alang natin ang mga ordinaryong differential equation ng unang pagkakasunud-sunod. Tatalakayin din natin ang mga halimbawa at paraan upang malutas ang mga ito sa mga sumusunod na seksyon. Isasaalang-alang lamang namin ang mga ODE, dahil ito ang mga pinakakaraniwang uri ng mga equation. Ang mga ordinaryong ay nahahati sa mga subspecies: na may mga separable variable, homogenous at heterogenous. Susunod, malalaman mo kung paano sila naiiba sa isa't isa, at matutunan mo kung paano lutasin ang mga ito.
Sa karagdagan, ang mga equation na ito ay maaaring pagsama-samahin, upang pagkatapos nating makakuha ng isang sistema ng mga differential equation ng unang pagkakasunod-sunod. Isasaalang-alang din namin ang mga ganitong sistema at matutunan kung paano lutasin ang mga ito.
Bakit ang unang order lang ang isinasaalang-alang namin? Dahil kailangan mong magsimula sa isang simple, at ilarawan ang lahat na may kaugnayan sa kaugalianmga equation, sa isang artikulo ay imposible lang.
Mga separable variable equation
Ito marahil ang pinakasimpleng first-order differential equation. Kabilang dito ang mga halimbawa na maaaring isulat tulad nito: y'=f(x)f(y). Upang malutas ang equation na ito, kailangan namin ng isang formula para sa pagre-represent ng derivative bilang ratio ng mga differentials: y'=dy/dx. Gamit ito, nakukuha natin ang sumusunod na equation: dy/dx=f(x)f(y). Ngayon ay maaari nating buksan ang pamamaraan para sa paglutas ng mga karaniwang halimbawa: hahatiin natin ang mga variable sa mga bahagi, ibig sabihin, ililipat natin ang lahat ng may variable na y sa bahagi kung saan matatagpuan ang dy, at gagawin natin ang parehong sa x variable. Nakukuha namin ang isang equation ng anyo: dy/f(y)=f(x)dx, na nalulutas sa pamamagitan ng pagkuha ng mga integral ng parehong bahagi. Huwag kalimutan ang tungkol sa pare-pareho na dapat itakda pagkatapos kunin ang integral.
Ang solusyon sa anumang "diffurance" ay isang function ng pagdepende ng x sa y (sa aming kaso) o, kung mayroong isang numerical na kondisyon, ang sagot ay nasa anyo ng isang numero. Suriin natin ang buong kurso ng solusyon gamit ang isang partikular na halimbawa:
y'=2ysin(x)
Ilipat ang mga variable sa iba't ibang direksyon:
dy/y=2sin(x)dx
Ngayon ay kumukuha kami ng mga integral. Ang lahat ng mga ito ay matatagpuan sa isang espesyal na talahanayan ng mga integral. At makuha namin ang:
ln(y)=-2cos(x) + C
Kung kinakailangan, maaari naming ipahayag ang "y" bilang isang function ng "x". Ngayon ay masasabi natin na ang ating differential equation ay malulutas kung walang ibinigay na kondisyon. Maaaring magbigay ng kundisyon, halimbawa, y(n/2)=e. Pagkatapos ay pinapalitan lang natin ang halaga ng mga variable na ito sa solusyon athanapin ang halaga ng pare-pareho. Sa aming halimbawa, ito ay katumbas ng 1.
First-order homogeneous differential equation
Ngayon sa mas mahirap na bahagi. Ang mga homogenous na differential equation ng unang pagkakasunod-sunod ay maaaring isulat sa pangkalahatang anyo tulad ng sumusunod: y'=z(x, y). Dapat tandaan na ang tamang function ng dalawang variable ay homogenous, at hindi ito mahahati sa dalawang dependencies: z sa x at z sa y. Ang pagsuri kung homogenous o hindi ang equation ay medyo simple: ginagawa namin ang pagpapalit x=kx at y=ky. Now we cancel all k. Kung ang lahat ng mga titik na ito ay nabawasan, kung gayon ang equation ay homogenous at maaari mong ligtas na magpatuloy upang malutas ito. Sa hinaharap, sabihin natin: ang prinsipyo ng paglutas ng mga halimbawang ito ay napakasimple rin.
Kailangan nating gumawa ng pagpapalit: y=t(x)x, kung saan ang t ay ilang function na nakadepende rin sa x. Pagkatapos ay maaari nating ipahayag ang derivative: y'=t'(x)x+t. Ang pagpapalit ng lahat ng ito sa aming orihinal na equation at pinasimple ito, nakakakuha kami ng isang halimbawa na may mga separable na variable na t at x. Malutas namin ito at makuha ang dependence t(x). Kapag nakuha namin ito, pinapalitan lang namin ang y=t(x)x sa dati naming kapalit. Pagkatapos ay makukuha natin ang dependence ng y sa x.
Upang gawing mas malinaw, tingnan natin ang isang halimbawa: xy'=y-xey/x.
Kapag nagsusuri ng kapalit, lahat ay nababawasan. So homogenous talaga ang equation. Ngayon gumawa kami ng isa pang pagpapalit na aming napag-usapan: y=t(x)x at y'=t'(x)x+t(x). Pagkatapos ng pagpapasimple, makukuha natin ang sumusunod na equation: t'(x)x=-et. Nire-solve namin ang resultang halimbawa gamit ang mga pinaghihiwalay na variable at makuha ang: e-t=ln(Cx). Kailangan lang nating palitan ang t ng y/x (pagkatapos ng lahat, kung y=tx, pagkatapos ay t=y/x), at makukuha natinsagot: e-y/x=ln(xC).
First Order Linear Differential Equation
Panahon na para sa isa pang malaking paksa. Susuriin namin ang hindi magkakatulad na mga equation ng kaugalian ng unang pagkakasunud-sunod. Paano sila naiiba sa naunang dalawa? Alamin natin ito. Ang mga linear differential equation ng unang pagkakasunod-sunod sa pangkalahatang anyo ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: y' + g(x)y=z(x). Ito ay nagkakahalaga ng paglilinaw na ang z(x) at g(x) ay maaaring maging mga constant.
At ngayon isang halimbawa: y' - yx=x2.
Mayroong dalawang paraan para malutas ito, at haharapin natin ang dalawa sa pagkakasunud-sunod. Ang una ay ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants.
Upang malutas ang equation sa ganitong paraan, kailangan mo munang ipantay ang kanang bahagi sa zero at lutasin ang resultang equation, na pagkatapos ilipat ang mga bahagi ay magkakaroon ng anyong:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Ngayon kailangan nating palitan ang constant C1 ng function na v(x) na kailangan nating hanapin.
y=vex2/2.
Palitan natin ang derivative:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
At palitan ang mga expression na ito sa orihinal na equation:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Makikita mong nagkansela ang dalawang termino sa kaliwang bahagi. Kung sa ilang halimbawa ay hindi ito nangyari, may ginawa kang mali. Magpatuloy:
v'ex2/2 =x2.
Ngayon ay nilulutas natin ang karaniwang equation kung saan kailangan nating paghiwalayin ang mga variable:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Upang kunin ang integral, kailangan nating ilapat ang pagsasama ayon sa mga bahagi dito. Gayunpaman, hindi ito ang paksa ng aming artikulo. Kung interesado ka, maaari mong matutunan kung paano gawin ang mga naturang aksyon sa iyong sarili. Hindi ito mahirap, at kung may sapat na kasanayan at atensyon ay hindi nangangailangan ng maraming oras.
Let's turn to the second method of solving inhomogeneous equation: the Bernoulli method. Aling diskarte ang mas mabilis at mas madali ang nasa iyo.
Kaya, kapag nilulutas ang equation sa paraang ito, kailangan nating gumawa ng kapalit: y=kn. Narito ang k at n ay ilang mga function na umaasa sa x. Pagkatapos ang derivative ay magiging ganito: y'=k'n+kn'. Palitan ang parehong mga pagpapalit sa equation:
k'n+kn'+xkn=x2.
Group:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Ngayon kailangan nating itumbas sa zero kung ano ang nasa bracket. Ngayon, kung pagsasamahin mo ang dalawang resultang equation, makakakuha ka ng system ng first-order differential equation na kailangan mong lutasin:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Ang unang pagkakapantay-pantay ay nalulutas tulad ng isang normal na equation. Para magawa ito, kailangan mong paghiwalayin ang mga variable:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Kunin ang integral at kunin ang: ln(n)=x2/2. Pagkatapos, kung ipahayag natin ang n:
n=ex2/2.
Ngayon ay pinapalitan natin ang nagresultang pagkakapantay-pantay sa pangalawang equation ng system:
k'ex2/2=x2.
At sa pagbabago, nakukuha natin ang parehong pagkakapantay-pantay gaya ng sa unang paraan:
dk=x2/ex2/2.
Hindi na rin kami pupunta sa mga karagdagang hakbang. Ito ay nagkakahalaga ng pagsasabi na sa una ang solusyon ng mga first-order differential equation ay nagdudulot ng mga makabuluhang paghihirap. Gayunpaman, habang sumisid ka nang mas malalim sa paksa, magsisimula itong maging mas mahusay at mas mahusay.
Saan ginagamit ang mga differential equation?
Ang mga differential equation ay aktibong ginagamit sa physics, dahil halos lahat ng mga pangunahing batas ay nakasulat sa differential form, at ang mga formula na nakikita natin ay ang solusyon ng mga equation na ito. Sa kimika, ginagamit ang mga ito para sa parehong dahilan: ang mga pangunahing batas ay nagmula sa kanila. Sa biology, ang mga differential equation ay ginagamit upang imodelo ang pag-uugali ng mga system, tulad ng predator-prey. Magagamit din ang mga ito upang lumikha ng mga modelo ng pagpaparami ng, halimbawa, isang kolonya ng mga mikroorganismo.
Paano makakatulong ang mga differential equation sa buhay?
Ang sagot sa tanong na ito ay simple: hindi. Kung hindi ka isang scientist o engineer, malamang na hindi sila magiging kapaki-pakinabang sa iyo. Gayunpaman, para sa pangkalahatang pag-unlad, hindi masakit na malaman kung ano ang isang kaugalian na equation at kung paano ito malulutas. At pagkatapos ay ang tanong ng isang anak na lalaki o anak na babae "ano ang isang kaugalian equation?" hindi ka malito. Buweno, kung ikaw ay isang siyentipiko o isang inhinyero, kung gayon naiintindihan mo mismo ang kahalagahan ng paksang ito sa anumang agham. Ngunit ang pinakamahalagang bagay ay ngayon ang tanong na "kung paano malutas ang isang first-order differential equation?" lagi kang makakasagot. Sumang-ayon, ito ay palaging magandakapag naiintindihan mo kung ano ang kinakatakutan ng mga tao na maunawaan.
Mga pangunahing problema sa pag-aaral
Ang pangunahing problema sa pag-unawa sa paksang ito ay ang mahinang kasanayan sa pagsasama-sama at pagkakaiba-iba ng mga function. Kung mahina ka sa pagkuha ng mga derivatives at integral, malamang na dapat kang matuto nang higit pa, makabisado ang iba't ibang paraan ng pagsasama at pagkita ng kaibhan, at pagkatapos lamang magsimulang pag-aralan ang materyal na inilarawan sa artikulo.
May mga taong nagulat kapag nalaman nila na ang dx ay maaaring ilipat, dahil kanina (sa paaralan) ay nakasaad na ang fraction dy/dx ay hindi nahahati. Dito kailangan mong basahin ang literatura tungkol sa derivative at unawain na ito ay ang ratio ng infinitesimal na dami na maaaring manipulahin kapag nilulutas ang mga equation.
Marami ang hindi agad nakakaalam na ang solusyon ng first-order differential equation ay kadalasang isang function o integral na hindi maaaring kunin, at ang maling akala na ito ay nagbibigay sa kanila ng maraming problema.
Ano pa ang maaaring pag-aralan para sa mas mahusay na pag-unawa?
Pinakamainam na magsimula ng higit pang immersion sa mundo ng differential calculus gamit ang mga espesyal na aklat-aralin, halimbawa, sa calculus para sa mga mag-aaral ng mga non-mathematical speci alty. Pagkatapos ay maaari kang magpatuloy sa mas espesyal na panitikan.
Dapat sabihin na, bilang karagdagan sa mga differential equation, mayroon ding integral equation, kaya palagi kang may pagpupunyagi at pag-aaralan.
Konklusyon
Umaasa kami na pagkatapos basahinAng artikulong ito ay nagbigay sa iyo ng ideya kung ano ang mga differential equation at kung paano lutasin ang mga ito nang tama.
Sa anumang kaso, ang matematika ay magiging kapaki-pakinabang sa atin sa buhay. Nagbubuo ito ng lohika at atensyon, kung wala ang bawat tao ay parang walang mga kamay.
