Maganda ang geometry dahil, sa kaibahan sa algebra, kung saan hindi laging malinaw kung ano ang iniisip mo at bakit, nagbibigay ito ng visibility sa object. Ang kahanga-hangang mundong ito ng iba't ibang katawan ay pinalamutian ng regular na polyhedra.
Pangkalahatang impormasyon tungkol sa regular na polyhedra
Ayon sa marami, ang regular na polyhedra, o kung tawagin din silang Platonic solids, ay may mga natatanging katangian. Maraming siyentipikong hypotheses ang nauugnay sa mga bagay na ito. Kapag sinimulan mong pag-aralan ang mga geometric na katawan na ito, naiintindihan mo na halos wala kang alam tungkol sa isang konsepto tulad ng regular na polyhedra. Ang pagtatanghal ng mga bagay na ito sa paaralan ay hindi palaging kawili-wili, kaya marami ang hindi naaalala kung ano ang tawag sa kanila. Karamihan sa mga tao ay naaalala lamang ang kubo. Wala sa mga katawan sa geometry ang kasing perpekto ng regular na polyhedra. Ang lahat ng mga pangalan ng mga geometric na katawan na ito ay nagmula sa Sinaunang Greece. Ang ibig nilang sabihin ay ang bilang ng mga mukha: tetrahedron - apat na panig, hexahedron - anim na panig, octahedron - octahedral, dodecahedron - labindalawang panig, icosahedron - dalawampu't panig. Ang lahat ng mga geometric na katawan na itosinakop ang isang mahalagang lugar sa konsepto ng sansinukob ni Plato. Apat sa kanila ang nagpapakilala sa mga elemento o entity: ang tetrahedron - apoy, ang icosahedron - tubig, ang kubo - lupa, ang octahedron - hangin. Ang dodecahedron ay naglalaman ng lahat ng bagay na umiiral. Ito ay itinuturing na pangunahing isa, dahil ito ay isang simbolo ng uniberso.
Generalization ng konsepto ng polyhedron
Ang polyhedron ay isang koleksyon ng isang may hangganan na bilang ng mga polygon na:
- bawat isa sa mga gilid ng alinman sa mga polygon ay magkasabay sa gilid ng isa pang polygon sa parehong gilid;
- mula sa bawat polygon na maaari mong makuha sa iba sa pamamagitan ng pagpasa sa mga polygon na katabi nito.
Ang mga polygon na bumubuo sa isang polyhedron ay ang mga mukha nito, at ang mga gilid nito ay mga gilid. Ang vertices ng polyhedra ay ang vertices ng polygons. Kung ang konsepto ng isang polygon ay nauunawaan bilang mga patag na saradong sirang linya, pagkatapos ay dumating ang isa sa isang kahulugan ng isang polyhedron. Kung ang konseptong ito ay nangangahulugang isang bahagi ng eroplano na nililimitahan ng mga sirang linya, kung gayon ang isang ibabaw na binubuo ng mga polygonal na piraso ay dapat na maunawaan. Ang convex polyhedron ay isang katawan na nakahiga sa isang gilid ng eroplano na katabi ng mukha nito.
Isa pang kahulugan ng polyhedron at mga elemento nito
Ang polyhedron ay isang ibabaw na binubuo ng mga polygon na naglilimita sa isang geometric na katawan. Sila ay:
- non-convex;
- matambok (tama at mali).
Ang regular na polyhedron ay isang convex polyhedron na may pinakamataas na symmetry. Mga elemento ng regular na polyhedra:
- tetrahedron: 6 na gilid, 4 na mukha, 5 vertices;
- hexahedron (kubo): 12, 6, 8;
- dodecahedron: 30, 12, 20;
- octahedron: 12, 8, 6;
- icosahedron: 30, 20, 12.
Euler's theorem
Nagtatatag ito ng ugnayan sa pagitan ng bilang ng mga gilid, vertice at mukha na topologically katumbas ng isang sphere. Sa pamamagitan ng pagdaragdag ng bilang ng mga vertices at mga mukha (B + D) ng iba't ibang regular na polyhedra at paghahambing sa mga ito sa bilang ng mga gilid, maaaring maitatag ang isang pattern: ang kabuuan ng bilang ng mga mukha at vertices ay katumbas ng bilang ng mga gilid (P) na nadagdagan sa pamamagitan ng 2. Maaari kang makakuha ng isang simpleng formula:
B + D=R + 2
Ang formula na ito ay totoo para sa lahat ng convex polyhedra.
Mga pangunahing kahulugan
Ang konsepto ng isang regular na polyhedron ay hindi maaaring ilarawan sa isang pangungusap. Ito ay mas makabuluhan at makapal. Para makilala ang isang katawan bilang ganoon, dapat itong matugunan ang ilang mga kahulugan. Kaya, ang isang geometric na katawan ay magiging isang regular na polyhedron kung ang mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:
- ito ay matambok;
- parehong bilang ng mga gilid na nagtatagpo sa bawat vertice nito;
- lahat ng mukha nito ay mga regular na polygon, pantay sa isa't isa;
- lahat ng dihedral na anggulo nito ay pantay.
Mga katangian ng regular na polyhedra
May 5 iba't ibang uri ng regular na polyhedra:
- Cube (hexahedron) - mayroon itong flat angle sa itaas na 90°. Mayroon itong 3-sided na anggulo. Ang kabuuan ng mga flat angle sa itaas ay 270°.
- Tetrahedron - flat angle sa itaas - 60°. Mayroon itong 3-sided na anggulo. Ang kabuuan ng mga flat angle sa itaas ay 180°.
- Octahedron - flat vertex angle - 60°. Mayroon itong 4-sided na sulok. Ang kabuuan ng mga flat angle sa itaas ay 240°.
- Dodecahedron - flat angle sa vertex 108°. Mayroon itong 3-sided na anggulo. Ang kabuuan ng mga flat angle sa itaas ay 324°.
- Icosahedron - mayroon itong flat angle sa itaas - 60°. Mayroon itong 5-sided na anggulo. Ang kabuuan ng mga flat angle sa itaas ay 300°.
Lugar ng regular polyhedra
Ang surface area ng mga geometric body na ito (S) ay kinakalkula bilang ang area ng isang regular na polygon na minu-multiply sa bilang ng mga mukha nito (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Ang dami ng isang regular na polyhedron
Kinakalkula ang value na ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng volume ng isang regular na pyramid, sa base nito ay mayroong regular na polygon, ayon sa bilang ng mga mukha, at ang taas nito ay ang radius ng inscribed na sphere (r):
V=1: 3rS
Mga volume ng regular na polyhedra
Tulad ng ibang geometric na katawan, ang regular na polyhedra ay may iba't ibang volume. Nasa ibaba ang mga formula kung saan maaari mong kalkulahin ang mga ito:
- tetrahedron: α x 3√2: 12;
- octahedron: α x 3√2: 3;
- icosahedron; α x 3;
- hexahedron (kubo): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Mga elemento ng regular na polyhedra
Ang
Hexahedron at octahedron ay dalawahang geometric na katawan. Sa madaling salita, maaari silang makuha mula sa isa't isa kung ang sentro ng grabidad ng mukha ng isa ay kukunin bilang vertex ng isa, at kabaliktaran. Ang icosahedron at dodecahedron ay dalawahan din. Tanging ang tetrahedron ay dalawahan sa sarili nito. Ayon sa paraan ng Euclid, maaari kang makakuha ng dodecahedron mula sa isang hexahedron sa pamamagitan ng pagbuo ng "mga bubong" sa mga mukha ng isang kubo. Ang mga vertices ng isang tetrahedron ay magiging anumang 4 na vertices ng isang cube na hindi magkatabi sa mga pares sa isang gilid. Mula sa hexahedron (kubo) maaari kang makakuha ng iba pang regular na polyhedra. Sa kabila ng katotohanan na mayroong hindi mabilang na mga regular na polygon, mayroon lamang 5 regular na polyhedra.
Radius ng mga regular na polygon
Mayroong 3 concentric sphere na nauugnay sa bawat isa sa mga geometric na katawan na ito:
- inilalarawan, na dumadaan sa mga taluktok nito;
- nakasulat, hinawakan ang bawat mukha nito sa gitna nito;
- median, hinahawakan ang lahat ng gilid sa gitna.
Ang radius ng sphere na inilarawan ay kinakalkula ng sumusunod na formula:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Ang radius ng isang inscribed sphere ay kinakalkula ng formula:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
kung saan ang θ ay ang dihedral na anggulo sa pagitan ng mga katabing mukha.
Ang radius ng median sphere ay maaaring kalkulahin gamit ang sumusunod na formula:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
kung saan ang h value=4, 6, 6, 10 o 10. Ang ratio ng circumscribed at inscribed radii ay simetriko sa p at q. Itokinakalkula ng formula:
R/r=tg π/p x tg π/q
Simetrya ng polyhedra
Ang symmetry ng regular na polyhedra ay nagdudulot ng pangunahing interes sa mga geometric na katawan na ito. Ito ay nauunawaan bilang isang paggalaw ng katawan sa kalawakan, na nag-iiwan ng parehong bilang ng mga vertice, mukha at mga gilid. Sa madaling salita, sa ilalim ng epekto ng pagbabagong simetrya, mapapanatili ng isang gilid, vertex, mukha ang orihinal nitong posisyon o lumipat sa orihinal na posisyon ng isa pang gilid, vertex, o mukha.
Ang mga elemento ng simetrya ng regular na polyhedra ay katangian ng lahat ng uri ng gayong mga geometric na katawan. Narito ang pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang magkatulad na pagbabagong-anyo na nag-iiwan ng alinman sa mga punto sa orihinal nitong posisyon. Kaya, kapag inikot mo ang isang polygonal prism, maaari kang makakuha ng ilang mga simetriko. Anuman sa mga ito ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng mga pagmuni-muni. Ang isang simetrya na produkto ng isang pantay na bilang ng mga pagmuni-muni ay tinatawag na isang tuwid na linya. Kung ito ay produkto ng isang kakaibang bilang ng mga pagmuni-muni, kung gayon ito ay tinatawag na kabaligtaran. Kaya, ang lahat ng mga pag-ikot tungkol sa isang linya ay direktang simetrya. Ang anumang reflection ng polyhedron ay isang inverse symmetry.
Para mas maunawaan ang mga elemento ng symmetry ng regular na polyhedra, maaari nating kunin ang halimbawa ng isang tetrahedron. Anumang tuwid na linya na dadaan sa isa sa mga vertices at sa gitna ng geometric figure na ito ay dadaan din sa gitna ng mukha na katapat nito. Ang bawat isa sa 120° at 240° na pag-ikot sa linya ay maramihan.symmetry ng tetrahedron. Dahil mayroon itong 4 na vertex at 4 na mukha, mayroon lamang walong direktang simetriko. Anuman sa mga linyang dumadaan sa gitna ng gilid at ang gitna ng katawan na ito ay dumadaan sa gitna ng kabaligtaran na gilid nito. Ang anumang 180° na pag-ikot, na tinatawag na kalahating pagliko, sa paligid ng isang tuwid na linya ay isang simetriko. Dahil ang tetrahedron ay may tatlong pares ng mga gilid, mayroong tatlo pang direktang simetriko. Batay sa nabanggit, maaari nating tapusin na ang kabuuang bilang ng mga direktang simetriko, kabilang ang magkaparehong pagbabago, ay aabot sa labindalawa. Ang tetrahedron ay walang ibang direktang symmetries, ngunit mayroon itong 12 inverse symmetries. Samakatuwid, ang tetrahedron ay nailalarawan sa pamamagitan ng kabuuang 24 symmetries. Para sa kalinawan, maaari kang bumuo ng isang modelo ng isang regular na tetrahedron mula sa karton at tiyaking ang geometric na katawan na ito ay mayroon lamang 24 na simetriko.
Ang dodecahedron at ang icosahedron ay pinakamalapit sa sphere ng katawan. Ang icosahedron ay may pinakamaraming bilang ng mga mukha, ang pinakamalaking dihedral na anggulo, at maaaring idikit nang mahigpit laban sa isang nakasulat na globo. Ang dodecahedron ay may pinakamaliit na angular na depekto, ang pinakamalaking solidong anggulo sa vertex. Maaari niyang punan ang kanyang inilarawang globo nang maximum.
Mga sweep ng polyhedra
Regular unwrapped polyhedra, na pinagsama-sama nating lahat noong pagkabata, ay may maraming konsepto. Kung mayroong isang koleksyon ng mga polygon, na ang bawat panig nito ay kinikilala na may isang bahagi lamang ng polyhedron, kung gayon ang pagkakakilanlan ng mga gilid ay dapat matugunan ang dalawang kundisyon:
- mula sa bawat polygon, maaari mong talakayin ang mga polygon na mayroonnatukoy na bahagi;
- may mga natukoy na panig ay dapat magkapareho ang haba.
Ito ang hanay ng mga polygon na nakakatugon sa mga kundisyong ito na tinatawag na pagbuo ng polyhedron. Ang bawat isa sa mga katawan na ito ay may ilan sa kanila. Kaya, halimbawa, ang isang cube ay may 11 sa mga ito.
