Paano nakukuha ang cosine derivative

2024 May -akda: Angel Austin | [email protected]. Huling binago: 2023-12-17 05:44

Ang derivative ng cosine ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagkakatulad sa derivative ng sine, ang batayan ng patunay ay ang kahulugan ng limitasyon ng function. Maaari kang gumamit ng isa pang paraan, gamit ang mga trigonometric reduction formula para sa cosine at sine ng mga anggulo. Ipahayag ang isang function sa mga tuntunin ng isa pa - cosine sa mga tuntunin ng sine, at pag-iba-ibahin ang sine gamit ang isang kumplikadong argumento.

Isaalang-alang ang unang halimbawa ng pagkuha ng formula (Cos(x))'

Bigyan ng hindi gaanong maliit na pagtaas Δx sa argumento x ng function na y=Cos(x). Sa isang bagong halaga ng argumentong х+Δх, nakakakuha kami ng bagong halaga ng function na Cos(х+Δх). Kung gayon ang pagtaas ng function na Δy ay magiging katumbas ng Cos(х+Δx)-Cos(x).

Ang ratio ng pagtaas ng function sa Δх ay magiging: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Isagawa natin ang magkatulad na pagbabago sa numerator ng resultang fraction. Alalahanin ang formula para sa pagkakaiba sa mga cosine ng mga anggulo, ang resulta ay ang produkto -2Sin (Δx / 2) beses Sin (x + Δx / 2). Nahanap namin ang limitasyon ng quotient lim ng produktong ito sa Δx dahil ang Δx ay may posibilidad na zero. Ito ay kilala na ang unang(ito ay tinatawag na kahanga-hanga) ang limitasyon lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) ay katumbas ng 1, at ang limitasyon -Sin(x+Δx/2) ay katumbas ng -Sin(x) bilang Δx tends to zero. Isulat ang resulta: ang derivative ng (Cos(x))' ay katumbas ng - Sin(x).

Gusto ng ilang tao ang pangalawang paraan ng pagkuha ng parehong formula

Kilala ito mula sa kurso ng trigonometrya: Ang Cos(x) ay katumbas ng Sin(0, 5 ∏-x), katulad din ng Sin(x) ay katumbas ng Cos(0, 5 ∏-x). Pagkatapos ay iniiba namin ang isang kumplikadong function - ang sine ng karagdagang anggulo (sa halip na ang cosine x).

Nakukuha namin ang produktong Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', dahil ang derivative ng sine x ay katumbas ng cosine X. Bumaling tayo sa pangalawang formula na Sin(x)=Cos(0.5 ∏-x) ng pagpapalit ng cosine ng sine, na isinasaalang-alang na (0.5 ∏-x)'=-1. Ngayon ay nakukuha natin ang -Sin(x). So, ang derivative ng cosine ay matatagpuan, y'=-Sin(x) para sa function na y=Cos(x).

Squared cosine derivative

Isang karaniwang ginagamit na halimbawa kung saan ginagamit ang cosine derivative. Ang function na y=Cos²(x) ay mahirap. Una nating mahanap ang differential ng power function na may exponent 2, ito ay magiging 2·Cos(x), pagkatapos ay i-multiply natin ito sa derivative (Cos(x))', na katumbas ng -Sin(x). Nakukuha natin ang y'=-2 Cos(x) Sin(x). Kapag inilapat natin ang formula na Sin(2x), ang sine ng dobleng anggulo, makukuha natin ang pinal na pinasimpleanswer y'=-Sin(2x)

Mga hyperbolic na function

Ginagamit ang mga ito sa pag-aaral ng maraming teknikal na disiplina: sa matematika, halimbawa, pinapadali nila ang pagkalkula ng mga integral, ang solusyon ng mga differential equation. Ang mga ito ay ipinahayag sa mga tuntunin ng trigonometric function na may haka-hakaargumento, kaya ang hyperbolic cosine ch(x)=Cos(i x), kung saan ang i ay ang imaginary unit, ang hyperbolic sine sh(x)=Sin(i x).

Ang derivative ng hyperbolic cosine ay kinakalkula nang simple.

Isinasaalang-alang ang function na y=(e^x+e^-x) /2, ito at ang hyperbolic cosine ch(x). Ginagamit namin ang panuntunan para sa paghahanap ng derivative ng kabuuan ng dalawang expression, ang panuntunan para sa pagkuha ng constant factor (Const) mula sa sign ng derivative. Ang pangalawang termino na 0.5 e^-x ay isang kumplikadong function (ang derivative nito ay -0.5 e^-x), 0.5 e^х ― ang unang termino. (ch(x)) '=((e^x+e^-x)/2)' ay maaaring isulat sa ibang paraan: (0, 5 e^x+0, 5 e^-x)'=0, 5 e ^x-0, 5 e^-x, dahil ang derivative (e - ^Ang x^{)' ay katumbas ng -1 beses e}-x^{. Ang resulta ay isang pagkakaiba, at ito ay ang hyperbolic sine sh(x).}Output: (ch(x))'=sh(x).

Tingnan natin ang isang halimbawa kung paano kalkulahin ang derivative ng function na y=ch(x

3^+1).Ayon sa hyperbolic cosine differentiation rule na may kumplikadong argumento y'=sh(x

3^{+1) (x} 3^{+1)', kung saan (x}3^{+1)'=3 x} 2^+0. Sagot: ang derivative ng function na ito ay 3 x

2^sh(x3^+1).

Tabular derivatives ng mga itinuturing na function y=ch(x) at y=Cos(x)

Kapag niresolba ang mga halimbawa, hindi na kailangang ibahin ang mga ito sa bawat pagkakataon ayon sa iminungkahing pamamaraan, sapat na ang paggamit ng hinuha.

Halimbawa. Ibahin ang pagkakaiba ng function na y=Cos(x)+Cos²(-x)-Ch(5 x). Madaling kalkulahin (gamitin ang tabular data), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).