Ang isa sa mga sangay ng matematika kung saan ang mga mag-aaral ay nakayanan ang pinakamatinding kahirapan ay ang trigonometry. Hindi nakakagulat: upang malayang makabisado ang lugar na ito ng kaalaman, kailangan mo ng spatial na pag-iisip, ang kakayahang makahanap ng mga sine, cosine, tangent, cotangent gamit ang mga formula, gawing simple ang mga expression, at magamit ang numerong pi sa mga kalkulasyon. Bilang karagdagan, kailangan mong makapag-apply ng trigonometry kapag nagpapatunay ng mga theorems, at nangangailangan ito ng binuong memorya ng matematika o ang kakayahang maghinuha ng mga kumplikadong lohikal na chain.
Ang Pinagmulan ng Trigonometry
Ang panimula sa agham na ito ay dapat magsimula sa kahulugan ng sine, cosine at tangent ng isang anggulo, ngunit kailangan mo munang malaman kung ano ang ginagawa ng trigonometry sa pangkalahatan.
Sa kasaysayan, ang mga right triangle ay naging pangunahing bagay ng pananaliksik sa seksyong ito ng agham sa matematika. Ang pagkakaroon ng isang anggulo ng 90 degrees ay ginagawang posible upang magsagawa ng iba't ibang mga operasyon na nagpapahintulot sa dalawagilid at isang sulok o dalawang sulok at isang gilid upang matukoy ang mga halaga ng lahat ng mga parameter ng figure na pinag-uusapan. Noong nakaraan, napansin ng mga tao ang pattern na ito at nagsimulang aktibong gamitin ito sa pagtatayo ng mga gusali, nabigasyon, astronomy at maging sa sining.
Inception
Sa una, ang mga tao ay nag-uusap tungkol sa ugnayan ng mga anggulo at panig nang eksklusibo sa halimbawa ng mga right triangle. Pagkatapos ay natuklasan ang mga espesyal na formula, na naging posible upang mapalawak ang mga hangganan ng paggamit sa pang-araw-araw na buhay ng seksyong ito ng matematika.
Ang pag-aaral ng trigonometrya sa paaralan ngayon ay nagsisimula sa mga tamang tatsulok, pagkatapos nito ang kaalamang natamo ay ginagamit ng mga mag-aaral sa pisika at paglutas ng mga abstract na trigonometric equation, na gumagana na nagsisimula sa high school.
Spherical trigonometry
Mamaya, nang maabot ng agham ang susunod na antas ng pag-unlad, ang mga formula na may sine, cosine, tangent, cotangent ay nagsimulang gamitin sa spherical geometry, kung saan nalalapat ang iba pang mga panuntunan, at ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok ay palaging higit pa higit sa 180 degrees. Ang seksyong ito ay hindi pinag-aaralan sa paaralan, ngunit kailangang malaman ang tungkol sa pagkakaroon nito, hindi bababa sa dahil ang ibabaw ng mundo, at ang ibabaw ng anumang iba pang planeta, ay matambok, na nangangahulugan na ang anumang pagmamarka ng ibabaw ay magiging "hugis arko. " sa three-dimensional na espasyo.
Kumuha ng globe at thread. Ikabit ang sinulid sa alinmang dalawang punto sa globo upang ito ay mahigpit. Bigyang-pansin - nakuha nito ang hugis ng isang arko. Nakikitungo ito sa mga ganitong pormaspherical geometry na ginagamit sa geodesy, astronomy at iba pang theoretical at applied field.
Kanang tatsulok
Pagkatapos ng kaunting natutunan tungkol sa mga paraan ng paggamit ng trigonometry, bumalik tayo sa pangunahing trigonometrya upang higit na maunawaan kung ano ang sine, cosine, tangent, anong mga kalkulasyon ang maaaring gawin sa kanilang tulong at kung anong mga formula ang gagamitin.
Una sa lahat, kailangan mong maunawaan ang mga konseptong nauugnay sa right triangle. Una, ang hypotenuse ay ang gilid sa tapat ng 90 degree na anggulo. Siya ang pinakamatagal. Naaalala namin na ayon sa Pythagorean theorem, ang numerical value nito ay katumbas ng ugat ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig.
Halimbawa, kung ang dalawang gilid ay 3 at 4 na sentimetro ayon sa pagkakabanggit, ang haba ng hypotenuse ay magiging 5 sentimetro. Oo nga pala, alam ito ng mga sinaunang Egyptian mga apat at kalahating libong taon na ang nakalilipas.
Ang dalawang natitirang panig na bumubuo ng tamang anggulo ay tinatawag na mga binti. Bilang karagdagan, dapat nating tandaan na ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok sa isang rectangular coordinate system ay 180 degrees.
Definition
Sa wakas, pagkakaroon ng matatag na pag-unawa sa geometric na base, maaari nating buksan ang kahulugan ng sine, cosine at tangent ng isang anggulo.
Ang sine ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran na binti (iyon ay, ang gilid sa tapat ng gustong anggulo) sa hypotenuse. Ang cosine ng isang anggulo ay ang ratio ng katabing paa sa hypotenuse.
Tandaan na alinman sa sine o cosine ay hindi hihigit sa isa! Bakit?Dahil ang hypotenuse ay bilang default ang pinakamahabang bahagi ng isang right triangle. Hindi mahalaga kung gaano kahaba ang binti, ito ay magiging mas maikli kaysa sa hypotenuse, na nangangahulugan na ang kanilang ratio ay palaging mas mababa sa isa. Kaya, kung nakakuha ka ng sine o cosine na may halagang higit sa 1 sa sagot sa problema, maghanap ng error sa mga kalkulasyon o pangangatwiran. Malinaw na mali ang sagot na ito.
Sa wakas, ang tangent ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi. Ang parehong resulta ay magbibigay ng dibisyon ng sine sa pamamagitan ng cosine. Tingnan: ayon sa pormula, hinahati namin ang haba ng gilid sa hypotenuse, pagkatapos ay hinahati namin sa haba ng pangalawang panig at i-multiply ng hypotenuse. Kaya, nakukuha namin ang parehong ratio tulad ng sa kahulugan ng tangent.
Ang
Cotangent, ayon sa pagkakabanggit, ay ang ratio ng gilid na katabi ng sulok sa kabilang panig. Nakukuha namin ang parehong resulta sa pamamagitan ng paghahati ng unit sa tangent.
Kaya, isinasaalang-alang namin ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent, at maaari naming harapin ang mga formula.
Mga simpleng formula
Sa trigonometrya ay hindi magagawa nang walang mga formula - paano mahahanap ang sine, cosine, tangent, cotangent kung wala ang mga ito? Ngunit ito mismo ang kinakailangan sa paglutas ng mga problema.
Ang unang formula na kailangan mong malaman kapag nagsisimulang mag-aral ng trigonometry ay nagsasabi na ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng isang anggulo ay katumbas ng isa. Ang formula na ito ay direktang kinahinatnan ng Pythagorean theorem, ngunit nakakatipid ito ng oras kung kailangan mong malaman ang halaga ng anggulo, hindi ang gilid.
Maraming mag-aaral ang hindi matandaan ang pangalawang formula, masyadongpopular sa paglutas ng mga problema sa paaralan: ang kabuuan ng isa at ang parisukat ng tangent ng isang anggulo ay katumbas ng isa na hinati sa parisukat ng cosine ng anggulo. Tingnang mabuti: pagkatapos ng lahat, ito ay ang parehong pahayag tulad ng sa unang pormula, ang magkabilang panig lamang ng pagkakakilanlan ay hinati sa parisukat ng cosine. Lumalabas na ang isang simpleng mathematical operation ay ginagawang ganap na hindi nakikilala ang trigonometric formula. Tandaan: sa pag-alam kung ano ang sine, cosine, tangent at cotangent, ang mga panuntunan sa conversion at ilang pangunahing formula, maaari mong hiwalay na makuha anumang oras ang mga kinakailangang mas kumplikadong formula sa isang piraso ng papel.
Mga formula ng dobleng anggulo at pagdaragdag ng mga argumento
Dalawa pang formula na matututunan ay nauugnay sa mga halaga ng sine at cosine para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga anggulo. Ang mga ito ay ipinapakita sa figure sa ibaba. Pakitandaan na sa unang kaso, ang sinus at cosine ay pinarami ng parehong beses, at sa pangalawang kaso, ang pairwise na produkto ng sine at cosine ay idinaragdag.
Mayroon ding mga formula na nauugnay sa mga argumento ng double angle. Ganap na hinango ang mga ito mula sa mga nauna - bilang isang kasanayan, subukang kunin ang mga ito sa iyong sarili, kunin ang anggulo ng alpha na katumbas ng anggulo ng beta.
Sa wakas, tandaan na ang mga formula ng double angle ay maaaring i-convert upang bawasan ang antas ng sine, cosine, tangent alpha.
Theorems
Ang dalawang pangunahing teorema sa pangunahing trigonometrya ay ang sine theorem at ang cosine theorem. Sa tulong ng mga theorems na ito, madali mong maunawaan kung paano hanapin ang sine, cosine at tangent, at samakatuwid ang lugar ng figure, at ang magnitudebawat panig, atbp.
Ang sine theorem ay nagsasaad na bilang resulta ng paghahati ng haba ng bawat panig ng isang tatsulok sa halaga ng kabaligtaran na anggulo, nakukuha natin ang parehong numero. Bukod dito, ang numerong ito ay magiging katumbas ng dalawang radii ng circumscribed na bilog, ibig sabihin, ang bilog na naglalaman ng lahat ng punto ng ibinigay na tatsulok.
Ang cosine theorem ay nagsa-generalize ng Pythagorean theorem, na pinalalabas ito sa anumang mga triangles. Lumalabas na mula sa kabuuan ng mga parisukat ng dalawang panig, ibawas ang kanilang produkto, na pinarami ng dobleng cosine ng anggulo na katabi ng mga ito - ang resultang halaga ay magiging katumbas ng parisukat ng ikatlong panig. Kaya, ang Pythagorean theorem ay lumalabas na isang espesyal na kaso ng cosine theorem.
Mga pagkakamali dahil sa kawalan ng pansin
Kahit na alam kung ano ang sine, cosine at tangent, madaling magkamali dahil sa kawalan ng pag-iisip o pagkakamali sa pinakasimpleng mga kalkulasyon. Para maiwasan ang mga ganitong pagkakamali, tingnan natin ang mga pinakasikat.
Una sa lahat, huwag i-convert ang mga common fraction sa mga decimal bago makuha ang huling resulta - maaari mong iwanan ang sagot bilang isang common fraction, maliban kung iba ang nakasaad sa kundisyon. Ang ganitong pagbabago ay hindi matatawag na pagkakamali, ngunit dapat tandaan na sa bawat yugto ng gawain, maaaring lumitaw ang mga bagong ugat, na, ayon sa ideya ng may-akda, ay dapat mabawasan. Sa kasong ito, mag-aaksaya ka ng oras sa mga hindi kinakailangang operasyon sa matematika. Ito ay totoo lalo na para sa mga halaga tulad ng ugat ng tatlo o dalawa, dahil nangyayari ang mga ito sa mga gawain sa bawat hakbang. Ang parehong napupunta para sa rounding. Mga numerong "pangit."
Susunod, tandaan na ang cosine theorem ay nalalapat sa anumang tatsulok, ngunit hindi ang Pythagorean theorem! Kung nakalimutan mong ibawas nang dalawang beses ang produkto ng mga panig na pinarami ng cosine ng anggulo sa pagitan nila, hindi ka lamang makakakuha ng isang ganap na maling resulta, ngunit nagpapakita rin ng isang kumpletong hindi pagkakaunawaan ng paksa. Mas masahol pa ito kaysa sa walang ingat na pagkakamali.
Ikatlo, huwag malito ang mga halaga para sa mga anggulo na 30 at 60 degrees para sa mga sine, cosine, tangent, cotangent. Tandaan ang mga halagang ito, dahil ang sine ng 30 degrees ay katumbas ng cosine ng 60, at vice versa. Madaling ihalo ang mga ito, at hindi maiiwasang makakuha ka ng maling resulta.
Application
Maraming mag-aaral ang hindi nagmamadaling magsimulang mag-aral ng trigonometry, dahil hindi nila naiintindihan ang inilapat na kahulugan nito. Ano ang sine, cosine, tangent para sa isang engineer o astronomer? Ito ang mga konsepto salamat sa kung saan maaari mong kalkulahin ang distansya sa malayong mga bituin, hulaan ang pagbagsak ng isang meteorite, magpadala ng isang pagsisiyasat sa pananaliksik sa ibang planeta. Kung wala ang mga ito, imposibleng magtayo ng isang gusali, magdisenyo ng kotse, kalkulahin ang pagkarga sa ibabaw o ang tilapon ng isang bagay. At ito ang mga pinaka-halatang halimbawa! Pagkatapos ng lahat, ang trigonometrya sa isang anyo o iba pa ay ginagamit sa lahat ng dako, mula sa musika hanggang sa medisina.
Sa konklusyon
So, alam mo kung ano ang sine, cosine, tangent. Magagamit mo ang mga ito sa mga kalkulasyon at matagumpay na malutas ang mga problema sa paaralan.
Ang buong puntoAng trigonometrya ay nabawasan sa katotohanan na ayon sa mga kilalang parameter ng tatsulok, kinakailangan upang kalkulahin ang mga hindi alam. Mayroong anim na parameter sa kabuuan: ang haba ng tatlong panig at ang magnitude ng tatlong anggulo. Ang buong pagkakaiba sa mga gawain ay nakasalalay sa katotohanan na iba't ibang data ng input ang ibinigay.
Paano hanapin ang sine, cosine, tangent batay sa kilalang haba ng mga binti o hypotenuse, alam mo na. Dahil ang mga terminong ito ay nangangahulugan ng hindi hihigit sa isang ratio, at isang ratio ay isang fraction, ang pangunahing layunin ng trigonometriko problema ay upang mahanap ang mga ugat ng isang ordinaryong equation o isang sistema ng mga equation. At dito makakatulong sa iyo ang karaniwang matematika ng paaralan.
