Upang maunawaan kung ano ang mga extremum point ng isang function, hindi na kailangang malaman ang tungkol sa presensya ng una at pangalawang derivative at maunawaan ang pisikal na kahulugan ng mga ito. Una kailangan mong maunawaan ang sumusunod:
- function extrema i-maximize o, sa kabilang banda, i-minimize ang value ng function sa isang maliit na kapitbahayan;
- Hindi dapat magkaroon ng function break sa extremum point.
At ngayon ay pareho, sa simpleng wika lamang. Tumingin sa dulo ng ballpen. Kung ang panulat ay inilagay patayo, na may nakasulat na dulo, kung gayon ang pinakagitna ng bola ang magiging matinding punto - ang pinakamataas na punto. Sa kasong ito, pinag-uusapan natin ang maximum. Ngayon, kung ibabaling mo ang panulat na may dulo ng pagsulat pababa, pagkatapos ay sa gitna ng bola magkakaroon na ng isang minimum na function. Sa tulong ng figure na ibinigay dito, maaari mong isipin ang mga nakalistang manipulasyon para sa isang stationery na lapis. Kaya, ang extrema ng isang function ay palaging kritikal na mga punto: ang maxima o minima nito. Ang katabing seksyon ng tsart ay maaaring arbitraryong matalim o makinis, ngunit dapat itong umiiral sa magkabilang panig, tanging sa kasong ito ang punto ay isang extremum. Kung ang tsart ay nasa isang panig lamang, ang puntong ito ay hindi magiging isang extremum kahit na sa isang panignatutugunan ang mga matinding kondisyon. Ngayon, pag-aralan natin ang extrema ng function mula sa siyentipikong pananaw. Upang maituring na extremum ang isang punto, kinakailangan at sapat na:
- ang unang derivative ay katumbas ng zero o wala sa puntong iyon;
- pinalitan ng unang derivative ang sign nito sa puntong ito.
Ang kundisyon ay binibigyang-kahulugan nang medyo naiiba mula sa punto ng view ng mga derivative na may matataas na pagkakasunud-sunod: para sa isang function na naiba-iba sa isang punto, sapat na mayroong isang derivative na odd-order na hindi katumbas ng zero, habang lahat Ang mga lower-order derivative ay dapat na umiiral at katumbas ng zero. Ito ang pinakasimpleng interpretasyon ng mga teorema mula sa mga aklat-aralin ng mas mataas na matematika. Ngunit para sa mga pinaka-ordinaryong tao, sulit na ipaliwanag ang puntong ito sa isang halimbawa. Ang batayan ay isang ordinaryong parabola. Agad na magpareserba, sa zero point ay mayroon itong minimum. Kaunting matematika lang:
- unang derivative (X2)|=2X, para sa zero point 2X=0;
- second derivative (2X)|=2, para sa zero point 2=2.
Ito ay isang simpleng paglalarawan ng mga kundisyon na tumutukoy sa mga extremum ng function para sa mga first-order derivatives at para sa higher-order derivatives. Maaari nating idagdag dito na ang pangalawang derivative ay pareho lang ng derivative ng isang kakaibang order, na hindi katumbas ng zero, na tinalakay nang medyo mas mataas. Pagdating sa extrema ng isang function ng dalawang variable, dapat matugunan ang mga kundisyon para sa parehong argumento. Kailannangyayari ang generalization, pagkatapos ay ginagamit ang mga partial derivatives. Iyon ay, ito ay kinakailangan para sa pagkakaroon ng isang extremum sa isang punto na ang parehong first-order derivatives ay katumbas ng zero, o hindi bababa sa isa sa mga ito ay wala. Para sa sapat na pagkakaroon ng extremum, sinisiyasat ang isang expression, na siyang pagkakaiba sa pagitan ng produkto ng mga second-order derivatives at ang square ng mixed second-order derivative ng function. Kung mas malaki sa zero ang expression na ito, mayroong extremum, at kung zero, mananatiling bukas ang tanong, at kailangan ng karagdagang pananaliksik.
