Kahit sa paaralan, nakikilala ng lahat ng mga mag-aaral ang konsepto ng "Euclidean geometry", ang mga pangunahing probisyon kung saan ay nakatuon sa ilang mga axiom batay sa mga geometric na elemento tulad ng punto, eroplano, linya, paggalaw. Ang lahat ng ito ay sama-samang bumubuo sa matagal nang kilala sa ilalim ng terminong "Euclidean space".
Ang Euclidean space, na ang kahulugan ay batay sa konsepto ng scalar multiplication ng mga vector, ay isang espesyal na kaso ng isang linear (affine) na espasyo na nakakatugon sa ilang kinakailangan. Una, ang scalar product ng mga vector ay ganap na simetriko, ibig sabihin, ang vector na may mga coordinate (x;y) ay quantitatively identical sa vector na may mga coordinate (y;x), ngunit kabaligtaran ng direksyon.
Pangalawa, kung gagawin ang scalar product ng isang vector na may sarili nito, magiging positibo ang resulta ng pagkilos na ito. Ang tanging exception ay ang kaso kapag ang mga inisyal at panghuling coordinate ng vector na ito ay katumbas ng zero: sa kasong ito, ang produkto nito sa sarili nito ay magiging katumbas din ng zero.
Pangatlo, ang scalar product ay distributive, ibig sabihin, posibleng i-decompose ang isa sa mga coordinate nito sa kabuuan ng dalawang value, na hindi magsasama ng anumang pagbabago sa huling resulta ng scalar multiplication ng mga vectors. Panghuli, pang-apat, kapag ang mga vector ay pinarami ng parehong tunay na numero, ang kanilang scalar product ay tataas din ng parehong salik.
Kung matugunan ang lahat ng apat na kundisyong ito, masasabi nating may kumpiyansa tayong may Euclidean space.
Euclidean space mula sa praktikal na pananaw ay maaaring ilarawan ng mga sumusunod na partikular na halimbawa:
- Ang pinakasimpleng kaso ay ang pagkakaroon ng isang set ng mga vector na may scalar product na tinukoy ayon sa mga pangunahing batas ng geometry.
- Makukuha din ang Euclidean space kung ang ibig sabihin ng mga vector ay isang tiyak na finite set ng mga totoong numero na may ibinigay na formula na naglalarawan sa kanilang scalar sum o produkto.
- Ang isang espesyal na kaso ng Euclidean space ay ang tinatawag na zero space, na nakukuha kung ang scalar length ng parehong vector ay katumbas ng zero.
Ang Euclidean space ay may ilang partikular na katangian. Una, ang scalar factor ay maaaring alisin sa mga bracket mula sa una at pangalawang factor ng scalar product, ang resulta mula dito ay hindi magbabago sa anumang paraan. Pangalawa, kasama ang distributivity ng unang elemento ng scalarprodukto, ang distributivity ng pangalawang elemento ay kumikilos din. Bilang karagdagan, bilang karagdagan sa scalar sum ng mga vector, nagaganap din ang distributivity sa kaso ng pagbabawas ng vector. Panghuli, pangatlo, kapag ang isang vector ay scalarly multiplied sa zero, ang resulta ay magiging zero din.
Kaya, ang Euclidean space ay ang pinakamahalagang geometric na konsepto na ginagamit sa paglutas ng mga problema sa mutual arrangement ng mga vector na may kaugnayan sa isa't isa, na nailalarawan sa pamamagitan ng isang konsepto bilang scalar product.
