Ang isang malawak na hanay ng mga ugnayan sa halimbawa ng mga set ay sinamahan ng isang malaking bilang ng mga konsepto, simula sa kanilang mga kahulugan at nagtatapos sa isang analytical na pagsusuri ng mga kabalintunaan. Ang pagkakaiba-iba ng konsepto na tinalakay sa artikulo sa set ay walang katapusan. Bagaman, kapag pinag-uusapan ang tungkol sa dalawahang uri, nangangahulugan ito ng mga binary na relasyon sa pagitan ng ilang mga halaga. At gayundin sa pagitan ng mga bagay o pahayag.
Bilang isang panuntunan, ang mga binary na relasyon ay tinutukoy ng simbolong R, iyon ay, kung ang xRx para sa anumang halaga x mula sa patlang na R, ang naturang katangian ay tinatawag na reflexive, kung saan ang x at x ay tinatanggap na mga bagay ng pag-iisip, at ang R ay nagsisilbing tanda ng kung o iba pang anyo ng relasyon sa pagitan ng mga indibidwal. Kasabay nito, kung nagpapahayag ka ng xRy® o yRx, kung gayon ito ay nagpapahiwatig ng isang estado ng simetrya, kung saan ang ® ay isang implication sign na katulad ng unyon "kung … pagkatapos … ". At, sa wakas, ang pag-decode ng ang inskripsiyon (xRy Ùy Rz) ®xRz ay nagsasabi tungkol sa transitive na relasyon, at ang sign na Ù ay isang conjunction.
Ang binary na relasyon na parehong reflexive, simetriko at transitive ay tinatawag na equivalence relationship. Ang kaugnayan f ay isang function, at ang pagkakapantay-pantay y=z ay sumusunod mula sa Î f at Î f. Ang isang simpleng binary function ay madaling mailapatsa dalawang simpleng argumento sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod, at sa kasong ito lamang ito nagbibigay ng kahulugang nakadirekta sa dalawang ekspresyong ito na kinuha sa isang partikular na kaso.
Dapat sabihin na ang f ay nagmamapa ng x hanggang y,
kung ang f ay isang function na may range x at range y. Gayunpaman, kapag ang f ay nag-extrapolate ng x sa y, at y Í z, nagiging sanhi ito ng f upang ipakita ang x sa z. Isang simpleng halimbawa: kung ang f(x)=2x ay totoo para sa anumang integer x, ang f ay sinasabing imapa ang nilagdaang set ng lahat ng kilalang integer sa set ng parehong integer, ngunit sa pagkakataong ito ay kahit na mga numero. Gaya ng nabanggit sa itaas, ang mga binary relations na parehong reflexive, simetriko, at transitive ay equivalence relationships.
Batay sa itaas, ang mga katumbas na relasyon ng binary relations ay tinutukoy ng mga katangian:
- reflexivity - ratio (M ~ N);
- symmetries - kung ang pagkakapantay-pantay ay M ~ N, magkakaroon ng N ~ M;
- transitivity - kung dalawang equalities M ~ N at N ~ P, pagkatapos ay bilang resulta M ~ P.
Isaalang-alang natin ang mga ipinahayag na katangian ng binary relations nang mas detalyado. Ang reflexivity ay isa sa mga katangian ng ilang mga koneksyon, kung saan ang bawat elemento ng set na pinag-aaralan ay nasa isang ibinigay na pagkakapantay-pantay sa sarili nito. Halimbawa, sa pagitan ng mga numerong a=c at a³ c may mga reflexive na koneksyon, dahil palaging a=a, c=c, a³ a, c³ c. Kasabay nito, ang kaugnayan ng hindi pagkakapantay-pantay na a>c ay antireflexive dahil sa imposibilidad ng pagkakaroon ng hindi pagkakapantay-pantay na a>a. Ang axiom ng property na ito ay naka-encode ng mga palatandaan: aRc®aRa Ù cRc, dito ang simbolo ® ay nangangahulugang ang salitang "involves" (o "implicates"), at ang sign Ù - ay ang unyon na "at" (o conjunction). Kasunod ng pahayag na ito na kung ang paghatol na aRc ay totoo, ang mga expression na aRa at cRc ay totoo rin.
Ang Symmetry ay nagsasangkot ng pagkakaroon ng isang relasyon kahit na ang mga bagay sa pag-iisip ay ipinagpapalit, iyon ay, sa isang simetriko na relasyon, ang muling pagsasaayos ng mga bagay ay hindi humahantong sa isang pagbabago ng uri ng "binary relations". Halimbawa, ang relasyon ng pagkakapantay-pantay a=c ay simetriko dahil sa pagkakapareho ng relasyon c=a; pareho din ang proposisyon a¹c, dahil tumutugma ito sa koneksyon sa¹a.
Ang transitive set ay isang property na nakakatugon sa sumusunod na kinakailangan: y н x, z н y ® z н x, kung saan ang ® ay isang sign na pumapalit sa mga salitang: "if …, then …". Ang formula ay pasalitang binabasa tulad ng sumusunod: "Kung ang y ay nakasalalay sa x, ang z ay kabilang sa y, kung gayon ang z ay nakasalalay din sa x".
