Sa salitang "infinity" bawat tao ay may kanya-kanyang asosasyon. Marami ang gumuguhit sa kanilang imahinasyon ng dagat na lampas sa abot-tanaw, habang ang iba ay may larawan ng walang katapusang mabituing kalangitan sa harap ng kanilang mga mata. Ang mga mathematician, na nakasanayan na gumamit ng mga numero, isipin ang kawalang-hanggan sa isang ganap na naiibang paraan. Sa loob ng maraming siglo sinubukan nilang hanapin ang pinakamalaki sa mga pisikal na dami na kinakailangan para sa pagsukat. Ang isa sa kanila ay ang numero ng Graham. Gaano karaming mga zero ang nasa loob nito at kung para saan ito ginagamit, sasabihin ng artikulong ito.
Walang katapusang malaking bilang
Sa matematika, ito ang pangalan ng naturang variable x , kung para sa anumang naibigay na positibong numero M ay maaaring tukuyin ng isa ang isang natural na numero N para sa lahat ng mga numero n mas malaki kaysa sa N ang hindi pagkakapantay-pantay |x | > M. Gayunpaman, hindi, halimbawa, ang integer Z ay maaaring ituring na walang hanggan malaki, dahil ito ay palaging mas mababa sa (Z + 1).
Ilang salita tungkol sa "mga higante"
Ang pinakamalaking bilang na may pisikal na kahulugan ay itinuturing na:
- 1080. Ang numerong ito, na karaniwang tinatawag na quinquavigintillion, ay ginagamit upang tukuyin ang tinatayang bilang ng mga quark at lepton (ang pinakamaliit na particle) sa Uniberso.
- 1 Google. Ang nasabing numero sa sistema ng decimal ay isinulat bilang isang yunit na may 100 mga zero. Ayon sa ilang mga modelo ng matematika, mula sa oras ng big bang hanggang sa pagsabog ng pinakamalakas na black hole, mula 1 hanggang 1.5 googol na taon ay dapat lumipas, pagkatapos nito ang ating uniberso ay lilipat sa huling yugto ng pagkakaroon nito, ibig sabihin, maaari nating ipagpalagay na ang numerong ito ay may tiyak na pisikal na kahulugan.
- 8, 5 x 10185. Ang constant ng Planck ay 1.616199 x 10-35 m, ibig sabihin, sa decimal notation ay mukhang 0.0000000000000000000000000000616199 m. Mayroong humigit-kumulang 1 googol Planck ang haba sa isang pulgada. Tinatayang humigit-kumulang 8.5 x 10185 Ang haba ng planck ay maaaring magkasya sa ating buong uniberso.
- 277 232 917 – 1. Ito ang pinakamalaking kilalang prime number. Kung ang binary notation nito ay may medyo compact na anyo, kung gayon upang mailarawan ito sa decimal form, aabutin ito ng hindi bababa sa 13 milyong character. Natagpuan ito noong 2017 bilang bahagi ng isang proyekto upang maghanap ng mga numero ng Mersenne. Kung ang mga mahilig ay patuloy na nagtatrabaho sa direksyon na ito, kung gayon sa kasalukuyang antas ng pag-unlad ng teknolohiya ng computer, sa malapit na hinaharap ay malamang na hindi sila makakahanap ng isang numero ng Mersenne ng isang order ng magnitude na higit sa 277 232 917- 1, kahit ganoonang masuwerteng mananalo ay makakatanggap ng US$150,000.
- Hugoplex. Dito kukuha lang kami ng 1 at magdagdag ng mga zero pagkatapos nito sa halagang 1 googol. Maaari mong isulat ang numerong ito bilang 10^10^100. Imposibleng katawanin ito sa decimal na anyo, dahil kung ang buong espasyo ng Uniberso ay puno ng mga piraso ng papel, sa bawat isa kung saan 0 ay isusulat na may "Word" na laki ng font na 10, kung gayon sa kasong ito kalahati lamang ng lahat ng 0 pagkatapos ng 1 ay makukuha para sa numero ng googolplex.
- 10^10^10^10^10^1.1. Ito ay isang numero na nagpapakita ng bilang ng mga taon pagkatapos nito, ayon sa Poincaré theorem, ang ating Uniberso, bilang resulta ng mga random na pagbabago-bago ng quantum, ay babalik sa isang estado na malapit sa ngayon.
Paano nangyari ang mga numero ni Graham
Noong 1977, ang kilalang popularizer ng agham na si Martin Gardner ay naglathala ng isang artikulo sa Scientific American tungkol sa patunay ni Graham sa isa sa mga problema ng teorya ni Ramse. Sa loob nito, tinawag niya ang limitasyong itinakda ng siyentipiko na pinakamalaking bilang na ginamit sa seryosong pangangatwiran sa matematika.
Sino si Ronald Lewis Graham
Ang scientist, na ngayon ay nasa kanyang 80s, ay ipinanganak sa California. Noong 1962, nakatanggap siya ng Ph. D sa matematika mula sa Unibersidad ng Berkeley. Nagtrabaho siya sa Bell Labs sa loob ng 37 taon at kalaunan ay lumipat sa AT&T Labs. Ang scientist ay aktibong nakipagtulungan sa isa sa mga pinakadakilang mathematician ng ika-20 siglo, si Pal Erdős, at siya ang nagwagi ng maraming prestihiyosong parangal. Ang siyentipikong bibliograpiya ni Graham ay naglalaman ng higit sa 320 siyentipikong papel.
Noong kalagitnaan ng dekada 70, interesado ang siyentipiko sa problemang nauugnay sa teoryaRamsey. Sa patunay nito, ang itaas na hangganan ng solusyon ay natukoy, na isang napakalaking numero, pagkatapos ay pinangalanan kay Ronald Graham.
Problema sa hypercube
Upang maunawaan ang esensya ng Graham number, kailangan mo munang maunawaan kung paano ito nakuha.
Niresolve ng scientist at ng kanyang kasamahan na si Bruce Rothschild ang sumusunod na problema:
May n-dimensional na hypercube. Ang lahat ng pares ng vertices nito ay konektado sa paraang makakuha ng kumpletong graph na may 2vertices. Ang bawat gilid nito ay may kulay alinman sa asul o pula. Kinakailangang hanapin ang pinakamababang bilang ng mga vertices na dapat magkaroon ng hypercube upang ang bawat naturang kulay ay naglalaman ng kumpletong monochromatic subgraph na may 4 na vertices na nakahiga sa parehong eroplano.
Desisyon
Pinatunayan nina Graham at Rothschild na ang problema ay may solusyon na N' na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon 6 ⩽ N' ⩽N kung saan ang N ay isang mahusay na tinukoy, napakalaking numero.
Ang lower bound para sa N ay kasunod na pinino ng ibang mga siyentipiko, na nagpatunay na ang N ay dapat na mas malaki sa o katumbas ng 13. Kaya, ang expression para sa pinakamaliit na bilang ng mga vertices ng isang hypercube na nakakatugon sa mga kundisyong ipinakita sa itaas ay naging 13 ⩽ N'⩽ N.
notation ng arrow ni Knuth
Bago tukuyin ang Graham number, dapat mong maging pamilyar sa paraan ng simbolikong representasyon nito, dahil alinman sa decimal o binary notation ang ganap na angkop para dito.
Sa kasalukuyan, ang notasyon ng arrow ni Knuth ay ginagamit upang kumatawan sa dami na ito. Ayon sa kanya:
ab=isang "pataas na arrow" b.
Para sa pagpapatakbo ng maramihang exponentiation, ipinakilala ang entry:
a "pataas na arrow" "pataas na arrow" b=ab="isang tore na binubuo ng a sa dami ng b piraso."
At para sa pentation, ibig sabihin, simbolikong pagtatalaga ng paulit-ulit na exponentiation ng nakaraang operator, gumamit na si Knuth ng 3 arrow.
Gamit ang notation na ito para sa Graham number, mayroon kaming mga "arrow" na sequence na naka-nest sa isa't isa, sa halagang 64 pcs.
Scale
Ang kanilang sikat na numero, na nagpapasigla sa imahinasyon at nagpapalawak ng mga hangganan ng kamalayan ng tao, na dinadala ito nang lampas sa mga limitasyon ng Uniberso, nakuha ito ni Graham at ng kanyang mga kasamahan bilang isang upper bound para sa numerong N sa patunay ng hypercube problemang ipinakita sa itaas. Napakahirap para sa isang ordinaryong tao na isipin kung gaano kalaki ang sukat nito.
Ang tanong tungkol sa bilang ng mga character, o kung minsan ay nagkakamali sa pagkakasabi, mga zero sa numero ni Graham, ay kawili-wili sa halos lahat ng nakarinig tungkol sa halagang ito sa unang pagkakataon.
Sapat na sabihin na kinakaharap natin ang isang mabilis na lumalagong sequence na binubuo ng 64 na miyembro. Kahit na ang unang termino nito ay imposibleng isipin, dahil binubuo ito ng n "mga tore", na binubuo ng 3-to. Ang "lower floor" nito na 3 triples ay katumbas ng 7,625,597,484,987, ibig sabihin, ito ay lumampas sa 7 bilyon, ibig sabihin ay tungkol sa ika-64 na palapag (hindi isang miyembro!). Kaya, kasalukuyang imposibleng sabihin nang eksakto kung ano ang numero ng Graham, dahil hindi ito sapat upang kalkulahin ito.ang pinagsamang kapangyarihan ng lahat ng mga computer na umiiral sa Earth ngayon.
Nasira ang record?
Sa proseso ng pagpapatunay sa theorem ni Kruskal, ang numero ni Graham ay “naitapon sa pedestal nito”. Iminungkahi ng scientist ang sumusunod na problema:
Mayroong walang katapusang pagkakasunod-sunod ng mga may hangganang puno. Pinatunayan ni Kruskal na palaging mayroong isang seksyon ng ilang graph, na parehong bahagi ng isang mas malaking graph at ang eksaktong kopya nito. Ang pahayag na ito ay hindi nagdudulot ng anumang pagdududa, dahil malinaw na palaging may eksaktong paulit-ulit na kumbinasyon sa infinity
Mamaya, medyo pinaliit ni Harvey Friedman ang problemang ito sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang lamang ng mga acyclic graph (mga puno) na para sa isang partikular na may coefficient i mayroong hindi hihigit sa (i + k) vertices. Nagpasya siyang alamin kung ano dapat ang bilang ng mga acyclic graph, upang sa ganitong paraan ng kanilang gawain ay laging posible na makahanap ng subtree na ilalagay sa isa pang puno.
Bilang resulta ng pagsasaliksik sa isyung ito, nalaman na ang N, depende sa k, ay lumalaki sa napakabilis na bilis. Sa partikular, kung k=1, pagkatapos ay N=3. Gayunpaman, sa k=2, ang N ay umabot na sa 11. Ang pinaka-kagiliw-giliw na bagay ay nagsisimula kapag k=3. Sa kasong ito, ang N ay mabilis na "tumaalis" at umabot sa isang halaga na ay maraming beses na mas malaki kaysa sa numero ng Graham. Upang isipin kung gaano ito kalaki, sapat na upang isulat ang numero na kinakalkula ni Ronald Graham sa anyo ng G64 (3). Pagkatapos ang halaga ng Friedman-Kruskal (rev. FinKraskal(3)), ay magiging sa pagkakasunud-sunod ng G(G(187196)). Sa madaling salita, isang mega-value ang nakuha, na walang hanggan na mas malakiisang hindi maisip na malaking numero ng Graham. Kasabay nito, kahit na ito ay magiging mas mababa sa infinity ng napakalaking bilang ng beses. Makatuwirang pag-usapan ang konseptong ito nang mas detalyado.
Infinity
Ngayong naipaliwanag na natin kung ano ang numero ng Graham sa mga daliri, dapat nating maunawaan ang kahulugan na inilalagay at inilalagay sa pilosopikal na konseptong ito. Pagkatapos ng lahat, ang "infinity" at "isang walang katapusang malaking bilang" ay maaaring ituring na magkapareho sa isang partikular na konteksto.
Ang pinakamalaking kontribusyon sa pag-aaral ng isyung ito ay ginawa ni Aristotle. Hinati ng dakilang palaisip ng sinaunang panahon ang kawalang-hanggan sa potensyal at aktuwal. Sa huli, ang ibig niyang sabihin ay ang realidad ng pagkakaroon ng walang katapusang mga bagay.
Ayon kay Aristotle, ang mga pinagmumulan ng mga ideya tungkol sa pangunahing konseptong ito ay:
- oras;
- paghihiwalay ng mga halaga;
- ang konsepto ng hangganan at ang pagkakaroon ng isang bagay sa kabila nito;
- ang hindi mauubos na likas na pagkamalikhain;
- pag-iisip na walang limitasyon.
Sa modernong interpretasyon ng infinity, hindi ka maaaring tumukoy ng quantitative measure, kaya ang paghahanap para sa pinakamalaking bilang ay maaaring magpatuloy magpakailanman.
Konklusyon
Maaari bang ituring na magkasingkahulugan ang metapora na "Gaze into infinity" at ang numero ni Graham? Sa halip oo at hindi. Parehong imposibleng isipin, kahit na may pinakamalakas na imahinasyon. Gayunpaman, tulad ng nabanggit na, hindi ito maaaring ituring na "pinaka, ang pinaka." Ang isa pang bagay ay sa ngayon, ang mga halaga na mas malaki kaysa sa numero ng Graham ay walang itinatagpisikal na pakiramdam.
Gayundin, wala itong mga katangian ng isang walang katapusang bilang na, gaya ng:
- ∞ + 1=∞;
- may isang walang katapusang bilang ng parehong kakaiba at kahit na mga numero;
- ∞ - 1=∞;
- ang bilang ng mga kakaibang numero ay eksaktong kalahati ng lahat ng numero;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Upang buod: Ang numero ni Graham ay ang pinakamalaking bilang sa pagsasagawa ng mathematical proof, ayon sa Guinness Book of Records. Gayunpaman, may mga bilang na maraming beses na mas malaki kaysa sa halagang ito.
Malamang, sa hinaharap ay mangangailangan ng mas malalaking "higante", lalo na kung ang isang tao ay lumampas sa ating solar system o nag-imbento ng isang bagay na hindi maiisip sa kasalukuyang antas ng ating kamalayan.
