Ang pag-aaral ng mga katangian ng estado ng pinagsama-samang gas ng bagay ay isa sa mga mahalagang bahagi ng modernong pisika. Isinasaalang-alang ang mga gas sa isang mikroskopikong sukat, maaaring makuha ng isa ang lahat ng mga macroscopic na parameter ng system. Ipapakita ng artikulong ito ang isang mahalagang isyu ng molecular kinetic theory ng mga gas: ano ang Maxwell distribution ng mga molecule sa mga tuntunin ng velocities.
Makasaysayang background
Ang ideya ng gas bilang isang sistema ng mga microscopic na gumagalaw na particle ay nagmula sa sinaunang Greece. Tumagal ng mahigit 1700 taon bago ito binuo ng agham.
Ang nagtatag ng modernong molecular-kinetic theory (MKT) ng gas ay patas na isaalang-alang si Daniil Bernoulli. Noong 1738 inilathala niya ang isang gawaing tinatawag na "Hydrodynamics". Sa loob nito, binalangkas ni Bernoulli ang mga ideya ng MKT na ginagamit hanggang ngayon. Kaya, naniniwala ang siyentipiko na ang mga gas ay binubuo ng mga particle na random na gumagalaw sa lahat ng direksyon. Maraming banggaanang mga particle na may mga pader ng sisidlan ay nakikita bilang pagkakaroon ng presyon sa mga gas. Ang mga bilis ng butil ay malapit na nauugnay sa temperatura ng system. Hindi tinanggap ng siyentipikong komunidad ang matatapang na ideya ni Bernoulli dahil hindi pa naitatag ang batas ng konserbasyon ng enerhiya.
Kasunod nito, maraming mga siyentipiko ang nakikibahagi sa pagbuo ng isang kinetic na modelo ng mga gas. Kabilang sa mga ito, dapat pansinin si Rudolf Clausius, na noong 1857 ay lumikha ng isang simpleng modelo ng gas. Sa loob nito, binigyang-pansin ng siyentipiko ang pagkakaroon ng translational, rotational at vibrational degrees ng kalayaan sa mga molekula.
Noong 1859, sa pag-aaral ng gawain ni Clausius, binalangkas ni James Maxwell ang tinatawag na pamamahagi ng Maxwell sa mga molecular velocities. Sa katunayan, kinumpirma ni Maxwell ang mga ideya ng MKT, na bina-back up ang mga ito gamit ang isang mathematical apparatus. Kasunod nito, ginawang pangkalahatan ni Ludwig Boltzmann (1871) ang mga konklusyon ng pamamahagi ng Maxwell. Nag-postulat siya ng isang mas pangkalahatang istatistikal na pamamahagi ng mga molekula sa mga bilis at enerhiya. Ito ay kasalukuyang kilala bilang pamamahagi ng Maxwell-Boltzmann.
Perpektong gas. Mga pangunahing postulate ng ILC
Upang maunawaan kung ano ang Maxwell distribution function, kailangan mong malinaw na maunawaan ang mga system kung saan naaangkop ang function na ito. Pinag-uusapan natin ang isang ideal na gas. Sa pisika, ang konseptong ito ay nauunawaan bilang isang fluid substance, na binubuo ng halos walang sukat na mga particle na walang potensyal na enerhiya. Ang mga particle na ito ay gumagalaw sa mataas na bilis, kaya ang kanilang pag-uugali ay ganap na tinutukoy ng kinetic energy. Bukod dito, ang mga distansya sa pagitan ng mga particle ay masyadong malaki para sakumpara sa kanilang mga sukat, kaya napapabayaan ang huli.
Ang mga ideal na gas ay inilalarawan sa loob ng MKT. Ang mga pangunahing postulate nito ay ang mga sumusunod:
- mga sistema ng gas ay binubuo ng malaking bilang ng mga libreng particle;
- mga particle na random na gumagalaw sa iba't ibang bilis sa iba't ibang direksyon sa mga tuwid na trajectory;
- ang mga particle ay bumabangga sa mga pader ng sisidlan nang elastiko (ang posibilidad ng mga particle na nagbanggaan sa isa't isa ay mababa dahil sa kanilang maliit na sukat);
- Ang temperatura ng system ay kakaibang tinutukoy ng average na kinetic energy ng mga particle, na napapanatili sa oras kung ang thermodynamic equilibrium ay naitatag sa system.
batas ng pamamahagi ni Maxwell
Kung ang isang tao ay may instrumento kung saan posibleng sukatin ang bilis ng isang molekula ng gas, kung gayon, pagkatapos magsagawa ng naaangkop na eksperimento, magugulat siya. Ipapakita ng eksperimento na ang bawat molekula ng anumang gaseous system ay gumagalaw sa ganap na arbitraryong bilis. Sa kasong ito, sa loob ng balangkas ng isang sistema sa thermal equilibrium sa kapaligiran, parehong mabagal at napakabilis na mga molekula ay matutukoy.
Maxwell's law of velocity distribution of gas molecules ay isang tool na nagbibigay-daan sa iyong matukoy ang posibilidad ng pag-detect ng mga particle na may ibinigay na bilis v sa system na pinag-aaralan. Ang kaukulang function ay ganito ang hitsura:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
Sa expression na ito, m -particle (molekula) mass, k - Boltzmann's constant, T - absolute temperature. Kaya, kung ang kemikal na katangian ng mga particle (ang halaga ng m) ay kilala, kung gayon ang function na f(v) ay natatanging tinutukoy ng ganap na temperatura. Ang function na f(v) ay tinatawag na probability density. Kung kukunin natin ang integral mula dito para sa ilang speed limit (v; v+dv), makukuha natin ang bilang ng mga particle Ni, na may mga bilis sa tinukoy na interval. Alinsunod dito, kung kukunin natin ang integral ng probability density f(v) para sa mga limitasyon ng bilis mula 0 hanggang ∞, pagkatapos ay makukuha natin ang kabuuang bilang ng mga molekula N sa system.
Graphic na representasyon ng probability density f(v)
Ang probability density function ay may medyo kumplikadong mathematical form, kaya hindi madaling katawanin ang gawi nito sa isang partikular na temperatura. Ang problemang ito ay malulutas kung ilarawan mo ito sa isang two-dimensional na graph. Ang isang schematic view ng Maxwell distribution graph ay ipinapakita sa ibaba sa figure.
Nakikita namin na ito ay nagsisimula sa zero, dahil ang bilis v ng mga molekula ay hindi maaaring magkaroon ng mga negatibong halaga. Ang graph ay nagtatapos sa isang lugar sa rehiyon ng matataas na bilis, maayos na bumabagsak sa zero (f(∞)->0). Ang sumusunod na feature ay kapansin-pansin din: ang makinis na curve ay walang simetriko, mas mabilis itong bumababa para sa maliliit na bilis.
Ang isang mahalagang tampok ng pag-uugali ng probability density function na f(v) ay ang pagkakaroon ng isang binibigkas na maximum dito. Ayon sa pisikal na kahulugan ng pag-andar, ang maximum na ito ay tumutugma sa pinaka-malamang na halaga ng mga bilis ng mga molekula sa gassystem.
Mahahalagang bilis para sa function na f(v)
Ang probability density function na f(v) at ang graphic na representasyon nito ay nagbibigay-daan sa amin na tukuyin ang tatlong mahahalagang uri ng bilis.
Ang unang uri ng bilis na halata at nabanggit sa itaas ay ang pinakamalamang na bilis v1. Sa graph, ang halaga nito ay tumutugma sa maximum ng function na f(v). Ito ang bilis at mga halaga na malapit dito na magkakaroon ng karamihan sa mga particle ng system. Hindi mahirap kalkulahin ito, dahil ito ay sapat na upang kunin ang unang hinalaw na may paggalang sa bilis ng function na f(v) at equate ito sa zero. Bilang resulta ng mga mathematical operation na ito, nakukuha namin ang huling resulta:
v1=√(2RT/M).
Narito ang R ay ang unibersal na gas constant, ang M ay ang molar mass ng mga molekula.
Ang pangalawang uri ng bilis ay ang average na halaga nito para sa lahat ng N particle. Tukuyin natin itong v2. Maaari itong kalkulahin sa pamamagitan ng pagsasama ng function na vf(v) sa lahat ng bilis. Ang resulta ng nabanggit na pagsasama ay ang sumusunod na formula:
v2=√(8RT/(piM)).
Dahil ang ratio ay 8/pi>2, ang average na bilis ay palaging bahagyang mas mataas kaysa sa pinaka-malamang.
Naiintindihan ng bawat taong may kaunting alam tungkol sa pisika na ang average na bilis v2 ng molekula ay dapat na napakahalaga sa isang sistema ng gas. Gayunpaman, ito ay isang maling palagay. Ang mas mahalaga ay ang bilis ng RMS. Ipahiwatig natin itov3.
Ayon sa kahulugan, ang root-mean-square velocity ay ang kabuuan ng mga parisukat ng mga indibidwal na bilis ng lahat ng mga particle, na hinati sa bilang ng mga particle na ito, at kinuha bilang square root. Maaari itong kalkulahin para sa pamamahagi ng Maxwell kung tutukuyin natin ang integral sa lahat ng bilis ng function v2f(v). Ang formula para sa average na quadratic speed ay kukuha ng form:
v3=√(3RT/M).
Ipinapakita ng pagkakapantay-pantay na ang bilis na ito ay mas malaki kaysa sa v2 at v1 para sa anumang gas system.
Kaya, lahat ng itinuturing na uri ng mga bilis sa Maxwell distribution graph ay nasa sukdulan o sa kanan nito.
Kahalagahan ng v3
Nabanggit sa itaas na ang mean square velocity ay mas mahalaga para sa pag-unawa sa mga pisikal na proseso at katangian ng isang gas system kaysa sa simpleng average na bilis v2. Totoo ito, dahil tiyak na nakadepende ang kinetic energy ng ideal gas sa v3, at hindi sa v2.
Kung isasaalang-alang namin ang isang monatomic ideal gas, ang sumusunod na expression ay totoo para dito:
mv32/2=3/2kT.
Dito, ang bawat bahagi ng equation ay kumakatawan sa kinetic energy ng isang particle ng mass m. Bakit eksaktong naglalaman ang expression ng value na v3, at hindi ang average na bilis v2? Napakasimple: kapag tinutukoy ang kinetic energy ng bawat particle, ang indibidwal na bilis nito v ay parisukat, pagkatapos ay ang lahat ng bilisay idinaragdag at hinahati sa bilang ng mga particle N. Ibig sabihin, ang pamamaraan para sa pagtukoy ng kinetic energy mismo ay humahantong sa halaga ng mean square velocity.
Dependence ng function f(v) sa temperatura
Natukoy namin sa itaas na ang probability density ng molecular velocities ay natatangi na nakasalalay sa temperatura. Paano magbabago ang function kung ang T ay nadagdagan o nababawasan? Ang tsart sa ibaba ay makakatulong sa pagsagot sa tanong na ito.
Makikita na ang pag-init ng closed system ay humahantong sa smearing ng peak at ang paglipat nito patungo sa mas mataas na bilis. Ang pagtaas ng temperatura ay humahantong sa pagtaas sa lahat ng uri ng bilis at sa pagbaba ng probability density ng bawat isa sa kanila. Bumababa ang peak value dahil sa pagtitipid ng bilang ng mga particle N sa isang closed system.
Susunod, lulutasin namin ang ilang problema para pagsama-samahin ang natanggap na teoretikal na materyal.
Problema sa mga nitrogen molecule sa hangin
Kinakailangan na kalkulahin ang mga bilis v1, v2 at v3 para sa air nitrogen sa temperaturang 300 K (mga 27 oC).
Ang molar mass ng nitrogen N2 ay 28 g/mol. Gamit ang mga formula sa itaas, makakakuha tayo ng:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Problema sa tangke ng oxygen
Ang oxygen sa cylinder ay nasa isang tiyak na temperatura T1. Pagkatapos ay inilagay ang lobo sa isang mas malamig na silid. Paano magbabago ang Maxwell velocity distribution plot para sa mga molekula ng oxygen pagdating sa thermodynamic equilibrium?
Pag-alala sa teorya, masasagot natin ang tanong ng problema sa ganitong paraan: ang mga halaga ng lahat ng uri ng bilis ng mga molekula ay bababa, ang rurok ng function na f(v) ay lilipat sa kaliwa, maging mas makitid at mas mataas.
