Para sa maraming tao, ang mathematical analysis ay isang hanay lamang ng mga hindi maintindihang numero, icon at kahulugan na malayo sa totoong buhay. Gayunpaman, ang mundo kung saan tayo umiiral ay binuo sa mga numerical pattern, ang pagkakakilanlan nito ay nakakatulong hindi lamang upang malaman ang tungkol sa mundo sa paligid natin at malutas ang mga kumplikadong problema nito, kundi pati na rin upang gawing simple ang pang-araw-araw na praktikal na mga gawain. Ano ang ibig sabihin ng isang mathematician kapag sinabi niya na ang isang pagkakasunod-sunod ng numero ay nagtatagpo? Dapat itong talakayin nang mas detalyado.
Ano ang infinitesimal?
Isipin natin ang mga matryoshka na manika na magkasya sa loob ng isa. Ang kanilang mga sukat, na nakasulat sa anyo ng mga numero, na nagsisimula sa pinakamalaki at nagtatapos sa pinakamaliit sa kanila, ay bumubuo ng isang pagkakasunod-sunod. Kung naisip mo ang isang walang katapusang bilang ng mga maliwanag na figure, kung gayon ang resultang hilera ay magiging hindi kapani-paniwalang mahaba. Ito ay isang convergent number sequence. At ito ay may posibilidad na maging zero, dahil ang laki ng bawat kasunod na nesting na manika, na sakuna ay bumababa, ay unti-unting nagiging wala. Kaya madali langmaaaring ipaliwanag: kung ano ang infinitesimal.
Ang isang katulad na halimbawa ay isang kalsadang patungo sa malayo. At ang mga visual na sukat ng kotse na nagmamaneho palayo sa tagamasid kasama nito, unti-unting lumiliit, ay nagiging isang walang hugis na batik na kahawig ng isang tuldok. Kaya, ang makina, tulad ng isang bagay, na lumalayo sa hindi kilalang direksyon, ay nagiging napakaliit. Ang mga parameter ng tinukoy na katawan ay hindi kailanman magiging zero sa literal na kahulugan ng salita, ngunit palaging may posibilidad sa halagang ito sa huling limitasyon. Samakatuwid, ang sequence na ito ay muling nagko-converge sa zero.
Kalkulahin ang lahat ng patak ng patak
Isipin natin ngayon ang isang makamundong sitwasyon. Inireseta ng doktor ang pasyente na uminom ng gamot, simula sa sampung patak sa isang araw at pagdaragdag ng dalawa sa susunod na araw. Kaya iminungkahi ng doktor na magpatuloy hanggang sa maubos ang laman ng vial ng gamot, ang dami nito ay 190 patak. Ito ay sumusunod mula sa naunang nabanggit na ang bilang ng mga ganoon, na nakaiskedyul ayon sa araw, ay ang mga sumusunod na serye ng numero: 10, 12, 14 at iba pa.
Paano malalaman ang oras para tapusin ang buong kurso at ang bilang ng mga miyembro ng sequence? Dito, siyempre, mabibilang ng isa ang mga patak sa primitive na paraan. Ngunit mas madali, dahil sa pattern, na gamitin ang formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika na may hakbang d=2. At gamit ang pamamaraang ito, alamin na ang bilang ng mga miyembro ng serye ng numero ay 10. Sa kasong ito, a10=28. Ang numero ng ari ng lalaki ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga araw ng pag-inom ng gamot, at ang 28 ay tumutugma sa bilang ng mga patak na dapat gawin ng pasyentegamitin sa huling araw. Nagtatagpo ba ang sequence na ito? Hindi, dahil sa kabila ng katotohanang limitado ito sa 10 mula sa ibaba at 28 mula sa itaas, ang naturang serye ng numero ay walang limitasyon, hindi katulad ng mga nakaraang halimbawa.
Ano ang pinagkaiba?
Subukan natin ngayon na linawin: kapag ang serye ng numero ay naging convergent sequence. Ang isang kahulugan ng ganitong uri, tulad ng maaaring tapusin mula sa itaas, ay direktang nauugnay sa konsepto ng isang may hangganang limitasyon, ang pagkakaroon nito ay nagpapakita ng kakanyahan ng isyu. Kaya ano ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng naunang ibinigay na mga halimbawa? At bakit sa huli sa kanila, ang numerong 28 ay hindi maituturing na limitasyon ng serye ng numero X =10 + 2(n-1)?
Upang linawin ang tanong na ito, isaalang-alang ang isa pang sequence na ibinigay ng formula sa ibaba, kung saan nabibilang ang n sa hanay ng mga natural na numero.
Ang komunidad na ito ng mga miyembro ay isang set ng mga karaniwang fraction, ang numerator nito ay 1, at ang denominator ay patuloy na tumataas: 1, ½ …
Bukod dito, ang bawat sunud-sunod na kinatawan ng seryeng ito ay lumalapit sa 0 at higit pa sa mga tuntunin ng lokasyon sa linya ng numero. At nangangahulugan ito na lumalabas ang naturang kapitbahayan kung saan ang mga punto ay nagkumpol-kumpol sa paligid ng zero, na siyang limitasyon. At habang mas malapit sila dito, mas nagiging siksik ang kanilang konsentrasyon sa linya ng numero. At ang distansya sa pagitan ng mga ito ay sakuna na nabawasan, nagiging isang infinitesimal. Ito ay isang senyales na ang sequence ay nagtatagpo.
KatuladKaya, ang maraming kulay na mga parihaba na ipinapakita sa figure, kapag lumalayo sa kalawakan, ay nakikitang mas masikip, sa hypothetical na limitasyon na nagiging bale-wala.
Walang katapusan na malalaking sequence
Napag-aralan ang kahulugan ng convergent sequence, lumipat tayo sa mga counterexamples. Marami sa kanila ay kilala na ng tao mula pa noong unang panahon. Ang pinakasimpleng variant ng divergent sequence ay ang serye ng natural at even na mga numero. Tinatawag silang infinitely large sa ibang paraan, dahil ang kanilang mga miyembro, na patuloy na dumarami, ay lalong lumalapit sa positive infinity.
Ang isang halimbawa nito ay maaari ding maging alinman sa mga arithmetic at geometric na pag-usad na may hakbang at denominator, ayon sa pagkakabanggit, mas malaki sa zero. Bilang karagdagan, ang mga numerical na serye ay itinuturing na magkakaibang pagkakasunud-sunod, na walang limitasyon. Halimbawa, X =(-2) -1.
Fibonacci sequence
Hindi maikakaila ang mga praktikal na benepisyo ng naunang nabanggit na serye ng numero para sa sangkatauhan. Ngunit mayroong hindi mabilang na iba pang magagandang halimbawa. Isa sa mga ito ay ang Fibonacci sequence. Ang bawat isa sa mga miyembro nito, na nagsisimula sa isa, ay ang kabuuan ng mga nauna. Ang unang dalawang kinatawan nito ay 1 at 1. Ang pangatlo 1+1=2, ang pang-apat 1+2=3, ang panglima 2+3=5. Dagdag pa, ayon sa parehong lohika, ang mga numero 8, 13, 21 at iba pa ay sumusunod.
Ang serye ng mga numerong ito ay tumataas nang walang katiyakan at walangpanghuling limitasyon. Ngunit mayroon itong isa pang kamangha-manghang pag-aari. Ang ratio ng bawat nakaraang numero sa susunod na isa ay papalapit ng papalapit sa halaga nito sa 0.618. Dito mo mauunawaan ang pagkakaiba sa pagitan ng convergent at divergent na pagkakasunud-sunod, dahil kung gumawa ka ng isang serye ng mga natanggap na partial divisions, ang ipinahiwatig na numerical system ay may finite limit na katumbas ng 0.618.
Sequence of Fibonacci ratios
Ang serye ng numero na nakasaad sa itaas ay malawakang ginagamit para sa mga praktikal na layunin para sa teknikal na pagsusuri ng mga merkado. Ngunit hindi ito limitado sa mga kakayahan nito, na alam ng mga Ehipsiyo at Griyego at nagawang isabuhay noong sinaunang panahon. Ito ay pinatunayan ng mga pyramid na kanilang itinayo at ng Parthenon. Pagkatapos ng lahat, ang bilang na 0.618 ay isang pare-parehong koepisyent ng gintong seksyon, na kilala sa mga lumang araw. Ayon sa panuntunang ito, maaaring hatiin ang anumang arbitrary na segment upang ang ratio sa pagitan ng mga bahagi nito ay tumutugma sa ratio sa pagitan ng pinakamalaki sa mga segment at ng kabuuang haba.
Bumuo tayo ng isang serye ng mga ipinahiwatig na relasyon at subukang suriin ang pagkakasunud-sunod na ito. Ang serye ng numero ay ang mga sumusunod: 1; 0.5; 0.67; 0.6; 0.625; 0.615; 0, 619 at iba pa. Sa pagpapatuloy sa ganitong paraan, maaari nating tiyakin na ang limitasyon ng convergent sequence ay talagang magiging 0.618. Gayunpaman, kinakailangang tandaan ang iba pang mga katangian ng regularidad na ito. Narito ang mga numero ay tila random na pumunta, at hindi sa lahat sa pataas o pababang pagkakasunud-sunod. Nangangahulugan ito na ang convergent sequence na ito ay hindi monotone. Kung bakit ganito ay tatalakayin pa.
Monotonicity at limitasyon
Malinaw na mababawasan ang mga miyembro ng serye ng numero sa pagtaas ng bilang (kung x1>x2>x3>…>x >…) o tumataas (kung x1<x21632223<…<x <…). Sa kasong ito, ang pagkakasunud-sunod ay sinasabing mahigpit na monotoniko. Ang iba pang mga pattern ay maaari ding obserbahan, kung saan ang mga numerical na serye ay hindi bumababa at hindi tumataas (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… o x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), kung gayon ang sunud-sunod na convergent ay monotonic din, hindi lamang sa mahigpit na kahulugan. Ang isang magandang halimbawa ng una sa mga opsyong ito ay ang serye ng numero na ibinigay ng sumusunod na formula.
Kapag naipinta ang mga numero ng seryeng ito, makikita mo na ang sinuman sa mga miyembro nito, na lumalapit sa 1, ay hindi kailanman lalampas sa halagang ito. Sa kasong ito, ang convergent sequence ay sinasabing bounded. Nangyayari ito sa tuwing mayroong positibong numerong M, na palaging mas malaki kaysa sa alinman sa mga tuntunin ng modulo ng serye. Kung ang isang serye ng numero ay may mga palatandaan ng monotonicity at may limitasyon, at samakatuwid ay nagtatagpo, kung gayon ito ay kinakailangang pinagkalooban ng gayong pag-aari. At ang kabaligtaran ay hindi kailangang totoo. Ito ay pinatutunayan ng boundedness theorem para sa isang convergent sequence.
Ang aplikasyon ng naturang mga obserbasyon sa pagsasanay ay lubhang kapaki-pakinabang. Magbigay tayo ng isang partikular na halimbawa sa pamamagitan ng pagsusuri sa mga katangian ng sequence X =n/n+1, at patunayan ang convergence nito. Madaling ipakita na ito ay monotone, dahil ang (x +1 – x) ay isang positibong numero para sa anumang n halaga. Ang limitasyon ng pagkakasunud-sunod ay katumbas ng numero 1, na nangangahulugan na ang lahat ng mga kondisyon ng teorama sa itaas, na tinatawag ding Weierstrass theorem, ay nasiyahan. Ang theorem sa boundedness ng isang convergent sequence ay nagsasaad na kung ito ay may limitasyon, kung gayon sa anumang kaso ito ay lumalabas na may hangganan. Gayunpaman, kunin natin ang sumusunod na halimbawa. Ang serye ng numero X =(-1) ay nililimitahan mula sa ibaba ng -1 at mula sa itaas ng 1. Ngunit ang sequence na ito ay hindi monotoniko, walang limitasyon, at samakatuwid ay hindi nagtatagpo. Iyon ay, ang pagkakaroon ng isang limitasyon at convergence ay hindi palaging sumusunod mula sa limitasyon. Para gumana ito, dapat tumugma ang lower at upper limit, tulad ng sa kaso ng Fibonacci ratios.
Mga numero at batas ng Uniberso
Ang pinakasimpleng variant ng convergent at divergent sequence ay marahil ang numerical series X =n at X =1/n. Ang una sa kanila ay isang natural na serye ng mga numero. Ito ay, tulad ng nabanggit na, walang hanggan malaki. Ang pangalawang convergent sequence ay may hangganan, at ang mga termino nito ay malapit sa infinitesimal sa magnitude. Ang bawat isa sa mga formula na ito ay nagpapakilala sa isa sa mga panig ng multifaceted Universe, na tumutulong sa isang tao na isipin at kalkulahin ang isang bagay na hindi alam, hindi naa-access sa limitadong pang-unawa sa wika ng mga numero at mga palatandaan.
Ang mga batas ng uniberso, mula sa bale-wala hanggang sa hindi kapani-paniwalang malaki, ay nagpapahayag din ng gintong ratio na 0.618. Mga siyentipikonaniniwala sila na ito ang batayan ng kakanyahan ng mga bagay at ginagamit ng kalikasan upang mabuo ang mga bahagi nito. Ang mga ugnayan sa pagitan ng susunod at ng mga nakaraang miyembro ng seryeng Fibonacci, na nabanggit na namin, ay hindi nakumpleto ang pagpapakita ng mga kamangha-manghang katangian ng natatanging seryeng ito. Kung isasaalang-alang natin ang quotient ng paghahati ng nakaraang termino sa susunod na isa sa isa, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang serye ng 0.5; 0.33; 0.4; 0.375; 0.384; 0.380; 0, 382 at iba pa. Kapansin-pansin na ang limitadong pagkakasunud-sunod na ito ay nagtatagpo, hindi ito monotonous, ngunit ang ratio ng mga kalapit na numero na sukdulan mula sa isang partikular na miyembro ay palaging humigit-kumulang katumbas ng 0.382, na maaari ding gamitin sa arkitektura, teknikal na pagsusuri at iba pang mga industriya.
Mayroong iba pang mga kawili-wiling coefficient ng Fibonacci series, lahat sila ay gumaganap ng isang espesyal na papel sa kalikasan, at ginagamit din ng tao para sa mga praktikal na layunin. Ang mga matematiko ay sigurado na ang Uniberso ay bubuo ayon sa isang tiyak na "gintong spiral", na nabuo mula sa ipinahiwatig na mga coefficient. Sa kanilang tulong, posibleng kalkulahin ang maraming phenomena na nagaganap sa Earth at sa kalawakan, mula sa paglaki ng bilang ng ilang bacteria hanggang sa paggalaw ng malalayong kometa. Sa lumalabas, ang DNA code ay sumusunod sa mga katulad na batas.
Pagbaba ng geometric progression
May theorem na iginiit ang pagiging natatangi ng limitasyon ng isang convergent sequence. Nangangahulugan ito na hindi ito maaaring magkaroon ng dalawa o higit pang mga limitasyon, na walang alinlangan na mahalaga para sa paghahanap ng mga katangiang pangmatematika nito.
Tingnan natin ang ilankaso. Ang anumang serye ng numero na binubuo ng mga miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic ay magkakaiba, maliban sa kaso na may zero na hakbang. Ang parehong naaangkop sa isang geometric na pag-unlad, ang denominator na kung saan ay mas malaki kaysa sa 1. Ang mga limitasyon ng naturang numerical series ay ang "plus" o "minus" ng infinity. Kung ang denominator ay mas mababa sa -1, kung gayon walang limitasyon. Posible ang iba pang mga opsyon.
Isaalang-alang ang serye ng numero na ibinigay ng formula X =(1/4) -1. Sa unang tingin, madaling makita na ang convergent sequence na ito ay may hangganan dahil mahigpit itong bumababa at sa anumang paraan ay hindi kayang kumuha ng mga negatibong halaga.
Sumulat tayo ng magkakasunod na bilang ng mga miyembro nito.
Ito ay lalabas: 1; 0.25; 0.0625; 0.015625; 0, 00390625 at iba pa. Sapat na ang mga simpleng kalkulasyon upang maunawaan kung gaano kabilis bumababa ang geometric na pag-unlad na ito mula sa mga denominator na 0<q<1. Habang ang denominator ng mga termino ay tumataas nang walang katiyakan, sila mismo ay nagiging infinitesimal. Nangangahulugan ito na ang limitasyon ng serye ng numero ay 0. Ang halimbawang ito ay muling nagpapakita ng limitadong katangian ng convergent sequence.
Mga pangunahing sequence
Augustin Louis Cauchy, isang French scientist, ay nagsiwalat sa mundo ng maraming mga gawa na may kaugnayan sa mathematical analysis. Nagbigay siya ng mga kahulugan sa mga konsepto tulad ng differential, integral, limit, at continuity. Pinag-aralan din niya ang mga pangunahing katangian ng convergent sequences. Upang maunawaan ang kakanyahan ng kanyang mga ideya,ilang mahahalagang detalye ang kailangang ibuod.
Sa simula pa lang ng artikulo, ipinakita na may mga ganitong pagkakasunud-sunod kung saan mayroong isang kapitbahayan kung saan ang mga puntong kumakatawan sa mga miyembro ng isang partikular na serye sa totoong linya ay nagsimulang magkumpol, na pumila nang parami. nang makapal. Kasabay nito, ang distansya sa pagitan ng mga ito ay bumababa habang ang bilang ng susunod na kinatawan ay tumataas, na nagiging isang walang katapusang maliit. Kaya, lumalabas na sa isang partikular na kapitbahayan ang isang walang katapusang bilang ng mga kinatawan ng isang naibigay na serye ay naka-grupo, habang sa labas nito ay may isang tiyak na bilang ng mga ito. Ang mga naturang sequence ay tinatawag na fundamental.
Ang sikat na pamantayan ng Cauchy, na nilikha ng isang French mathematician, ay malinaw na nagpapahiwatig na ang pagkakaroon ng naturang property ay sapat na upang patunayan na ang sequence ay nagtatagpo. Totoo rin ang kabaligtaran.
Dapat tandaan na ang konklusyong ito ng French mathematician ay halos puro teoretikal na interes. Ang aplikasyon nito sa pagsasanay ay itinuturing na isang medyo kumplikadong bagay, samakatuwid, upang linawin ang tagpo ng mga serye, mas mahalaga na patunayan ang pagkakaroon ng isang may hangganang limitasyon para sa isang pagkakasunud-sunod. Kung hindi, ito ay itinuturing na divergent.
Kapag niresolba ang mga problema, dapat ding isaalang-alang ang mga pangunahing katangian ng convergent sequence. Ipinapakita ang mga ito sa ibaba.
Infinite sums
Ginamit ng mga sikat na siyentipiko noong unang panahon tulad nina Archimedes, Euclid, Eudoxus ang mga kabuuan ng serye ng walang katapusang bilang upang kalkulahin ang mga haba ng mga kurba, mga volume ng katawanat mga lugar ng mga figure. Sa partikular, sa ganitong paraan posible na malaman ang lugar ng parabolic segment. Para dito, ginamit ang kabuuan ng numerical series ng isang geometric progression na may q=1/4. Ang mga volume at lugar ng iba pang mga arbitrary na numero ay natagpuan sa katulad na paraan. Ang pagpipiliang ito ay tinatawag na "pagkaubos" na paraan. Ang ideya ay ang pinag-aralan na katawan, kumplikado sa hugis, ay nahati sa mga bahagi, na mga figure na may madaling sinusukat na mga parameter. Para sa kadahilanang ito, hindi mahirap kalkulahin ang kanilang mga lugar at volume, at pagkatapos ay nagdagdag sila.
Nga pala, ang mga katulad na gawain ay pamilyar na pamilyar sa mga modernong mag-aaral at makikita sa mga gawain sa PAGGAMIT. Ang natatanging paraan, na natagpuan ng malayong mga ninuno, ay sa ngayon ang pinakasimpleng solusyon. Kahit na mayroon lamang dalawa o tatlong bahagi kung saan nahahati ang numerical figure, ang pagdaragdag ng kanilang mga lugar ay ang kabuuan pa rin ng serye ng numero.
Malaon nang mas huli kaysa sa mga sinaunang Greek scientist na sina Leibniz at Newton, batay sa karanasan ng kanilang matatalinong nauna, natutunan ang mga pattern ng integral na pagkalkula. Ang kaalaman sa mga katangian ng mga sequence ay nakatulong sa kanila na malutas ang mga differential at algebraic equation. Sa kasalukuyan, ang teorya ng serye, na nilikha ng mga pagsisikap ng maraming henerasyon ng mga mahuhusay na siyentipiko, ay nagbibigay ng pagkakataon na malutas ang isang malaking bilang ng mga problema sa matematika at praktikal. At ang pag-aaral ng mga numerical sequence ang naging pangunahing problemang nalutas sa pamamagitan ng mathematical analysis mula noong ito ay nagsimula.
